X和Y相互趋近指的是什么意思？收敛于同一个值，还是趋向于同分布

指收敛于同一个值。可以认为是Y-X逐渐趋于0，或者Y/X逐渐趋于1.

如果是这样的话，c(1),c(2)和c(3)将收敛于左侧端点，实际上n充分大时，V3约等于S1和S2，应该是从这个思路解题。

嗯嗯，是的，n充分大时X和Y的极限值是一样的，这个我已经证明。我想要的是随着n增大，Y和X的期望值之差越来越小，也就是想证明单调性。不知道阁下有没有什么好的思路证明这点？

你应该看的是统计量N变大的情况，而不是随机变量n变大的情况。
也就是看下面三个序列：\[\begin{alignat}{1}&c_{(1)}^{(1)},c_{(1)}^{(2)},c_{(1)}^{(3)},\cdots,c_{(1)}^{(N)}\\&c_{(2)}^{(1)},c_{(2)}^{(2)},c_{(2)}^{(3)},\cdots,c_{(2)}^{(N)}\\&c_{(3)}^{(1)},c_{(3)}^{(2)},c_{(3)}^{(3)},\cdots,c_{(3)}^{(N)}\end{alignat}\]
这时候把c_{(1)},c_{(2)},c_{(3)}看成随机变量。
f(c)的连续一定能保持c_{(1)},c_{(2)},c_{(3)}都收敛到c_。
c的连续是很强的假设。对任何e>0,若|f(c_{(2)})-f(c_{(3)})|<e,都存在\delta>0,使得|c_{(2)}-c_{(3)}|<0
独立同分布也是很强的假设。
假设\epsilon>0,因为:
\[\begin{alignat}{1}X-Y&={V_3}^2-\left(\frac{(1+\theta)S_1^2}{2}+\frac{{\left((S_2-\theta S_1)^+\right)}^2}{2(1-\theta)}\right)\\&={\left(1-\frac{c_{(3)}}{r}\right)}^2-\left(\frac{(1+\theta){\left(1-\frac{\Psi (c_{(1)})}{r}\right)}^2}{2}+\frac{{\left(\left({(1-\frac{\Psi (c_{(2)})}{r})}-\theta {\left(1-\frac{\Psi (c_{(1)})}{r}\right)}\right)^+\right)}^2}{2(1-\theta)}\right)\end{alignat}\]
式子变得很复杂了，构造个辅助函数\alpha，X,Y就是\alpha,\psi的复合函数：
\[\alpha(x)=\frac{1-x}{r},x\in R,X=\alpha^2(c_{(3)}),Y=\frac{(1+\theta)\alpha^2(\psi(c_{(1)}))}{2}+\frac{{\left(\left(\alpha(\psi(c_{(2)}))-\theta {\left(\alpha(\psi(c_{(1)}))\right)}\right)^+\right)}^2}{2(1-\theta)}\]
用\cdot表示函数的复合：
\[X=\alpha^2(c_{(3)}),Y=\frac{(1+\theta)\,\alpha^2 \cdot \psi(c_{(1)})}{2}+\frac{{\left(\left(\alpha \cdot \psi(c_{(2)})-\theta \,{\alpha \cdot \psi(c_{(1)})}\right)^+\right)}^2}{2(1-\theta)}\]
用c_1,c_2,c_3表示c_{(1)},c_{(2)},c_{(3)}：
\[X=\alpha^2(c_3),Y=\frac{(1+\theta)\,\alpha^2 \cdot \psi(c_1)}{2}+\frac{{\left(\left(\alpha \cdot \psi(c_2)-\theta \,{\alpha \cdot \psi(c_1)}\right)^+\right)}^2}{2(1-\theta)}\]
\[\begin{alignat}{1}计算X-Y,&(1)如果\alpha \cdot \psi(c_2)-\theta \,{\alpha \cdot \psi(c_1)}\leq 0:X-Y=\alpha^2(c_3)-\frac{(1+\theta)\,\alpha^2 \cdot \psi(c_1)}{2}\\&(2)如果\alpha \cdot \psi(c_2)-\theta \,{\alpha \cdot \psi(c_1)}>0:\end{alignat}\]
\[\begin{alignat}{1}X-Y&=\alpha^2(c_3)-\frac{(1-\theta^2)\,\alpha^2 \cdot \psi(c_1)+{\left(\alpha \cdot \psi(c_2)-\theta \,{\alpha \cdot \psi(c_1)}\right)}^2}{2(1-\theta)}\\&=\alpha^2(c_3)-\frac{(1-\theta^2)\,\alpha^2 \cdot \psi(c_1)+\alpha^2 \cdot \psi(c_2)+\theta^2 \alpha^2 \cdot \psi(c_1)-2\theta \, \alpha \cdot \psi(c_2)\,\alpha \cdot \psi(c_1)}{2(1-\theta)}\\&=\alpha^2(c_3)-\frac{\alpha^2 \cdot \psi(c_1)+\alpha^2 \cdot \psi(c_2)-2\theta \, \alpha \cdot \psi(c_2)\,\alpha \cdot \psi(c_1)}{2(1-\theta)}\end{alignat}\]
\[研究两类复合函数\alpha \cdot \psi(x)，\alpha^2 \cdot \psi(x)：\]