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Contents
0 Introduction 7
0.1 The Di erent Asset Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 The Correct Price for Futures and Forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Discrete Models 15
1.1 The Arrow-DebreuModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 The State-Price Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 The Up-Down and Log-BinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 Hedging in the Log-BinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5 The Approach of Cox, Ross and Rubinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6 The Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7 Introduction to the Theory of Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8 Numerical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Stochastic Calculus, Brownian Motion 45
2.1 Introduction of the BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Some Properties of the BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Stochastic Integrals with Respect to the BrownianMotion . . . . . . . . . . 61
2.4 Stochastic Calculus, the Ito Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 The Black-Scholes Model 89
3.1 The Black-Scholes Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3
4 CONTENTS
3.2 Solution of the Black-Scholes Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3 Discussion of the Black and Scholes Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4 Black-Scholes Formula for Dividend Paying Assets . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 Interest Derivatives 111
4.1 TermStructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 ContinuousModels of Interest Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Martingales, Stopping Times and American Options 113
5.1 Martingales and Option Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 Stopping Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3 Valuation of American Style Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4 American and European Options, a Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6 Path Dependent Options 149
6.1 Introduction of Path Dependent Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2 The Distribution of Continuous Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.4 Asian Style Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

 

  

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