严格的讲，未必是正相关的。
只以欧式期权介绍原理。

如果标的资产的期末价格是一个连续分布
那么它必然有一个期望和方差
再假设方差随着标的资产的到期日推后绝对的增加
到现在为止标的资产的价格就已经满足了扩散过程的基本假设
而这个过程包括Brownian Motion 和Geometric Brownian Motion等等

如果期权的in the money在标的资产期末价格的一边
例如当价格高于某个预设值时会给投资者付钱
那么显然根据Markov不等式
当期望不改变时
方差越大则获得支付的概率就越高
而方差由两个因素构成，时间以及单位时间的方差
后者就是波动率。因此在总时间不变的前提下，当然是波动率越高，投资者得到支付的机会越高。

根据无套利定理，越容易得到支付的期权当然价格更高，这和彩票的道理一样。
这就是Call和Put相对于波动率的偏导数为正的必然原因。
但是如果期权被设计成只在中间一个段进行支付，比如期望上下的某段。
则波动率越大，期权最终对投资者付钱的概率越低，因此也越便宜。

如果使用BS模型，只需写出vega的表达式并证明其大于零就可以了吧

Agree, like double barrier digital option. I think he is just asking about vanilla option. :-)

嗯哪，我是这么干的。不过毕竟BS公式不是期权价格，因此2楼的看法比较有道理，受教了！