1 Lecture 1: Elementary Measure Theory 3
1.1 Course Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Basic Probability & Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Probability & Measure Space . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Random Variables and Expectations . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5 Absolutely Continuous Probability Measures . . . . . 10
1.3 Important Distribution Function in Finance . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Binomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Normal and Log-Normal Distribution . . . . . . . . . 12
1.3.3 Application: Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Basic concepts on Stochastic Process . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Stochastic Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Lecture 2: Poisson Process 16
2.1 De¯nition and Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Arrival time and the distribution of arrival time . . . . . . . . 17
2.3 Conditional Distribution of arrival time . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Compound Poisson processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 A compound Poisson Identity . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Lecture 3: Markov Chain 20
3.1 De¯nition and Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Transition Probability Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 State Classi¯cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Lecture 4: Martingale Theory 25
4.1 De¯nition: Discrete-parameter martingale . . . . . . . . . . . 25
4.2 Some important martingale theorem . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Martingale and Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 some others Important theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
4.5 Continuous time martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Lecture 5: Brownian Motion 36
5.1 Brownian Motion: De¯nition and Properties . . . . . . . . . . 36
5.2 Normal Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Sample Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 First Hitting time and Maximum . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.5 Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.6 Further reading: Integrals involving Brownian motion . . . . 40
6 Lecture 6: Stochastic Calculus 46
6.1 Review:Riemann and Riemann-Stelties integral . . . . . . . . 46
6.2 De¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.1 Simple Stochastic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.2 It^o Stochastic Integration . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 It^o Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.4 It^o Formula in Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5 It^o Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Lecture 7 : Stochastic Di®erential Equation 53
7.1 Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 How to solve a SDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3 Feyman-Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.4 Girsanov Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.5 Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . 56
7.6 Simulation of SDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.7 Parameter estimate in SDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Lecture 8 : Black-Scholes Formula 58
8.1 De¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.2 EMM: Equivalent martingale measure . . . . . . . . . . . . . 59
8.3 Option Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.4 Hedge the call option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9 Exercise 63
10 Final Examination

是英文的

少点啦