Girsanov theorem 有个 multiple dimensional 的版本， 这里是一个vector 下的变换。 R（t） 的要求是adapted process  所有它可以是driven by the same Brownian motion

1. multi dimensional Girsanov Theorem。一个个单独决定肯定会出现套利机会，而且这里是一个特殊情况，你假设你假设每一个risk factor Si都有单一的Browian motion驱动，互相之间是正交的。更一般的情况dSi(t)/Si(t)=ai(t)dt+Σbij(t)dWjt，这时候market price of risk需要用联立方程决定

例如两个的情况：

a1-r=mpr1*b11+mpr2*b12
a2-r=mpr1*b21+mpr2*b22， mpr=market price of risk

一维的change of measure一个measure对应一个mpr，多维的是一个measure对应一个mpr向量，而不是有很多个measure对应很多mpr。这个跟多维的Girsanov theory是consistent的。这个Hull的书第八版27章讲得还挺不错的，可以一看


2. r是随机的，定价可以变成在风险中性测度下E'(), 求解E'(D(T)*payoff)的问题, 注意E'(D(T))其实是一个T时刻到期的bond 的price（P(t,T))，因此将E'(D(T))提出，剩余的payoff自然会转换到以E'(D(T))为numeraire的测度底下，即Forward measure,E*()。 E'(D(T)payoff)=P(t,T)E*(payoff)。forward measure会有自己的market price of risk，因此payoff里面的underlying asset的drift又会跟着调整。这方面可以去看看基于vasicek 模型的bond option pricing。即D(T)和payoff都是r的函数，而r又是随机的。里面转两次测度。

楼主辛苦了。