但是数学家不久就发现,复数的利用是受到限制的.例如,当几个力作用于一个物体时,这些力不一定在一个平面上.为了能从代数上处理这些力,就需要复数的一个三维类似物.然而,虽然我们能很容易地用三维笛卡儿坐标表示从原点到该点的向量,但数学家很快认识到,不存在三元数组的运算来表示向量的运算.
对复数的类似推广作出重要贡献的是爱尔兰数学家哈密顿.
哈密顿推广复数的工作是从他把复数处理成实数的有序数偶开始的.哈密顿在1837年发表的一篇文章中指出,复数不是2十3意义上的一个真正的和,加号的使用是历史的偶然,而 是不能加到 上去的,复数 不过是有序实数偶 . 哈密顿给这种数偶定义了加法和乘法,如:
并且证明这两种运算具有封闭性,交换性和结合性.
哈密顿下一步试图要做的事就是推广有序实数偶的思想.他考虑会不会有一种三元数组作为复数的三维类似物,它具有实数和复数的基本性质.
但是经过长期的努力之后,哈密顿发现他所要找的新数应包含四个分量,而且必须放弃乘法的交换性.他把这种新数命名为四元数.
哈密顿的四元数形如
其中 为实数, 满足
两个四元数相乘可以根据上面的规则仿照复数乘法那样去做,例如设
则
可见 ,但哈密顿证明了四元数乘法具有"结合性",这是第一次使用这个术语.

在生命的最后二十多年中,哈密顿花费了大部分时间和精力推演其四元数,他认为这将在数学物理中引起巨大的变革.他的伟大著作《论四元数》发表于1853年. 四元数这个课题曾一度获得许多坚定的支持者.但是,由于后来有了美国物理学家和数学家,耶鲁大学的吉布斯的更方便的向量分析,有了格拉斯曼的更一般的有序n元数组,四元数理论被淹没而成为数学史上一件有趣的古董.
物理学者常见到哈密顿的名字:哈密顿函数和动力学的哈密顿—雅科比微分方程;在矩阵理论中的哈密顿—凯利定理,方程和多项式;在数学游戏中,有在十二面体上玩的哈密顿博奕.
8.2.2 格拉斯曼超复数( 维向量空间)
在哈密顿之后,各种新的超复数像雨后春笋般涌现出来.事实上,就在哈密顿建立四元数时,一位德国数学家格拉斯曼(H.G.Grassmann)也在对复数作出推广.与哈密顿相比,格拉斯曼的推广更为大胆,1844年,也就是哈密顿宣布发现四元数的第2年,格拉斯曼出版了他的《线性扩张论》.但由于他把神秘的教义和本来就抽象难懂的数学内容揉合在一起,再加上语言晦涩,所以这本书影响很小.直到1862年,格拉斯曼对他的书作了修订,简化,他的理论的独创性才逐渐为人所知.
格拉斯曼实际上涉及的是向量空间.他所说的"扩张的量"就是一种有个分量的超复数.格拉斯曼定义了两个超复数的加减法和两种乘法,一种称为内积,另一种称为外积.对于外积,没有交换律.
格拉斯曼还在1855年的一篇文章中,对超复数给出了16种不同类型的乘积.他对这些乘积作了几何解释,并给出了它们在力学,磁学和结晶学等方面的应用 .
我们在前面曾提到,将复数推广到超复数的一个重要动力是来自物理方面的需要.格拉斯曼的超复数在一定程度上满足了这种需要,但他的工作在相当长的一段时间里被人忽视了.四元数倒是立刻吸引了人们的注意力,但它却不适合物理学家的需要.
将四元数改造成物理学家所需要的工具的第一步,是由英国数学物理学家麦克斯韦(J.C.Maxwell)迈出的.他区分了四元数的数量部分和向量部分.在—个四元数
中,称 为数量部分,称 为向量部分.他说,要规定一个向量需要三个量(分量),这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度.
麦克斯韦在此基础上创造了大量的向量分析,不过他还是没有把向量与四元数完全分开,仍然经常用四元数作为基本的数学实体.

独立于四元数的三维向量代数和向量分析,是在19世纪80年代初由美国数学物理学家吉布斯(J.W.Gibbs)和英国数学物理学家亥维赛(O.Heaviside)创立的.根据吉布斯和亥维赛所提出的思想,—个向量只是四元数的向量部分,但独立于任何四元数,因此,向量是
其中 是分别沿 轴的单位向量, 是三个实数,称为向量的分量.两个向量的和仍是一个向量,它的分量就是相加的两个向量相应分量的和.
向量的乘法有两种,一种是数量乘法,用"."表示,也称为"点乘",在这种情形中, 满足
因此,把 和 点乘就得到
这个乘积不再是向量而是一个数量,称为数量积.所以,两个向量的数量乘法与两个实数或复数或四元数的乘法都不同,它不满足封闭性.
向量的另一种乘法是向量积,用" "表示,也称为"叉乘",在这种情形中, 满足
因此,把 和 叉乘就得到
它也可写成行列式的形式
两个向量的向量积是一个向量,它的方向垂直于 和 所决定的平面,且指向 通过较小的角度转到时右手螺旋所指的方向.向量积不具有交换性.
我们看到,不论是哈密顿的四元数,格拉斯曼的超复数,还是向量,这些特定的代数都不能完全保持我们通常印象中的数的运算的基本性质.那么类似这样的代数能够有多大的自由度呢后来的数学家也对这个问题进行了讨论.例如,魏尔斯特拉斯在1861年证明:有有限个基元素的实系数或复系数线性结合代数,如果要服从乘积定律和乘法交换律,就只有实数代数和复数代数.这就从数学上严格证明了为什么哈密顿寻求"三维复数"的努力是徒劳的.假如他知道这样一些定理的话,他就会节省下许多宝贵的时间.