1、有一点儿小错误，估计老兄粘贴之后忘了修改了：

A恒等于{t>=0 | x≧t*e }；

B恒等于{t>=0 | t*e≧x}；

2、这个问题的其实是问“偏好的连续性，是否意味着上等值集和下等值集都是闭集？”

所以这个问题反过来问，其实更难。

即“上下等值集皆为闭集，是否意味着偏好连续？”

3、在MWG中文版64-65页，有对这个问题轻描淡写的回答。

按我自己的理解，应该是这个意思：

连续性保证了在序列的任何一个点上，都有x≧y的情况，而y又属于X（空间），

因此y能够达到不大于x的任何一个点，y必然包括边界（因为连续性要求在极限上y仍然小于x）。

反之亦然。

4、落实到您的原题，其实更好理解：

te是空间内的向量，随着t的变化，向量的“长度”可以任意变化，无论怎样变化，即使在极限上，

te还是不会超过x，所以te自然可以达到以x为边界的任意位置，包括边界。

请您和sungmoo指点。

附上原书：

[此贴子已经被作者于2008-12-12 10:18:10编辑过]

谢谢了

“按我自己的理解，应该是这个意思：

连续性保证了在序列的任何一个点上，都有x≧y的情况，而y又属于X（空间），

因此y能够达到不大于x的任何一个点，y必然包括边界（因为连续性要求在极限上y仍然小于x）。

反之亦然。”

根据二元关系单调性

y能够达到不大于x的任何一个点<——y能够达到不优于x的任何一个点。反之不行，如果再加入严凸，则这一点可以保证。

而只有：y能够达到不优于x的任何一个点——>y必然包括边界。

PS：你的理解可能有点点问题。x是任意的消费束。不是指边界。边界是无差异于x的集合。有点区别。

“4、落实到您的原题，其实更好理解：

te是空间内的向量，随着t的变化，向量的“长度”可以任意变化，无论怎样变化，即使在极限上，

te还是不会超过x，所以te自然可以达到以x为边界的任意位置，包括边界。”

但是你知道在e方向上存在一点属于边界正是最终要证的。这一点基本上不是x。

[此贴子已经被作者于2008-12-12 15:10:58编辑过]

确实粘错了 谢谢指出 我修改下

证明 设A为开的

那么根据单调性只能形如[0,b）（谁能证明这个），

b不属于A，而be属于n维非负空间，根据完备性be严格优于x。

根据偏好关系连续性和单调性存在一个t1e<<be,使得t1e严格优于x。

t1e<<be,可得t1<b,那么t1属于A，矛盾。那么b属于A。

那么A为闭区的。

[此贴子已经被作者于2008-12-12 14:23:15编辑过]

请大牛给个明确的证明 谢谢

证明：

利用数列与集合关系的定理

{t(k)}是A内任何一个收敛子序列，收敛于t，那么显然序列{t(k)e}也收敛于te。

显然{t(k)e}属于“不比x好的”集合，根据偏好关系的连续性，有te属于“不比x好的”集合，那么t也是属于A的。

根据定理A1.9（数列与集合关系定理）有A是个闭集。

Take a convergent sequence {t_n} in A, t_n --> t.

Since (t_n)e>= x for all n, and (t_n)e --> te and x is a constant sequence

Continuity of >= implies the order of limit is not reversed, i.e., te>=x

so t is in A.

Hence A is closed. Similar argument applies to closedness of B.

谢谢vesperw

我也想到这个方法了 在14楼！

数学学的不好 所以之前没想起利用序列和集合的关系定理

还是你厉害！

您说有问题，那看来就是有问题了，呵呵。

不过很多东西不好编辑，确实是个问题。

比如作为偏好的x和y，和每个点的xn和yn，要想说清楚它们的序列啦，极限啦，不是很好弄呢。

我感觉这里和凸性关系不大，我认为用连续性——>极限说明上下等值集是闭集已经够了。

[此贴子已经被作者于2008-12-12 19:34:20编辑过]

（1）C是闭集，等价于，X中任意收敛序列的极限属于C。

（2）偏好是连续的，等价于，任意给定消费束x，x的不劣集与不优集都是闭集。

可用反证法。

任意给定消费束x，假设A（或B）非闭集，则A（或B）中存在一个收敛序列，其极限不属于A（或B），而这与连续偏好的定义相悖。

（本证明不需要偏好的强单调性）

其实楼主2008-12-12 15:03:00的发言已经接近完成了。

关键就是：楼主提到的“{t(k)e}属于‘不比x好的’集合”——收敛序列{t(k)e}是x的不优集中的收敛序列。

这里最好不用“上下等值集”这类词吧？

（“偏好”本身还不涉及“数量”：个人编了两词“不优集”与“不劣集”）

学习了

顶起

证的漂亮

有理！！

两个“大于等于号”是完全不同的意思，这区别也应该反映在中文的表达上。

非常谢谢sungmoo的回复 非常受用！

也很感谢猫爪同学，受教了！

下面又是一个小问题，麻烦了

https://bbs.pinggu.org/thread-396108-1-1.html

[此贴子已经被作者于2008-12-14 18:37:44编辑过]