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1．A B C 三人通过考试竞争进入两校，每校只录取一人。进入较好的学校效用为H，进入较差的效用为L，而没有读书的效用为0，H〉L〉0。每个人的成绩都是私人信息，他们是在区间[0，1]上服从均匀分布的随机变量。三人考后正决定如何申报院校。申报方案是函数B：[0，1]映射到{好校，差校}，它是申请人在此不完全信息静态博弈下的一个策略。录取规则如下：（i）当某校有3个人申报时，取最高分，中等分转到另一院校，而最低分无书读。（ii）当某校有2个人申报时，申请另一个学校的人必然被录取，而申请该校的2人中取较高分，较低分者无书读。（iii）某校只有1人申报时，录取该人，另一学校的录取方法见（ii）。（4）某校无人申报时，所有人都申请另一院校，录取方法见（i）

（1）写出每人的策略函数

（2）以上博弈中是否存在一个对称的贝叶斯纳什均衡？如存在，请找出，否则，说明不存在的原因

2 卖方拥有一个成本为C的物品，买方对此物品的主观价值为V，V与C都是私人信息，他们相互独立且服从区间[0，1]上的均匀分布

（i）设计一个事后有效（Ex post Efficient）分配此物品的机制

（ii）证明不存在这样的激励相容事后有效机制，参与双方在观察到私人信息之后（Interim），其期望效用非负。

3．一个地产商用Take-it-or-Leave-it-offer的方式来卖一套房，假设成本为0，定义Take-it-or-Leave-it-offer为：卖方出价P，买方接受则成交，否则一拍两散。有两个买房的，他们的私人主观价值x1,x2,服从[0，1]区间的i.i.d均匀分布，只要地产商的喊价P低于其主观价值，他们即接受，博弈随即结束。每个人的贴现系数为r, r属于[0，1]。

（1）       如果两买家等概率随机前来问价，地产商每次的最优叫价P*t，t=1,2是多少？

（2）       如果总是主观价值大的先来问价，地产商每次的最优叫价又是多少？

（3）       如果总共有10个买家，总是主观价值大的先来问价，地产商的最优叫价序列P*t，t=1,2,…10,是什么？

4 有两个买家参与一个物品的二价拍卖，假设卖方的成本为0，买家的私人主观价值x1,x2服从[0，1]上的i.i.d均匀分布，只要买家的出价大于等于0，卖家都卖

（1）考虑一种合谋方式，即两买家商定均投标0，在获得物品后，应用抛硬币的方法来决定谁得到物品。问在在这种合谋方式，买家的ex ante(观测到私人主观价值xi之前)期望效用是多少？该期望效用是不合谋时的ex ante 期望效用的百分之几？

（2）如果进行着这种二价拍卖的无穷重复博弈，（1）中的合谋行为在贴现系数r,r属于[0，1]满足什么条件中，能被纳什回归所支持？