Concentration Risk in Credit Portfolios
With 17 Figures and 19 Tables

Contents
Part I Introduction to Credit Risk Modeling
1 RiskMeasurement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Variables of Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 The General Model Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Exchangeable Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Modeling Credit Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 The Regulatory Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Expected and Unexpected Loss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Expected Shortfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Economic Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 The Merton Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 The General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 The Multi-Factor Merton Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Industry Models Based on the Merton Approach . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 The KMV Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2 The CreditMetrics Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 The Asymptotic Single Risk Factor Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 The ASRF Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 The IRB Risk Weight Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 The Loss Distribution of an Infinitely Granular Portfolio . . . . . 38
5 Mixture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1 Bernoulli and Poisson Mixture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 The Influence of the Mixing Distribution on the Loss
Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Relation Between Latent Variable Models and Mixture Models 50
X Contents
6 TheCreditRisk+ Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1 Basic Model Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 The Poisson Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 Model with Random Default Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Part II Concentration Risk in Credit Portfolios
7 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8 Ad-Hoc Measures of Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.1 Concentration Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9 Name Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1 A Granularity Adjustment for the ASRF Model . . . . . . . . . . . . . 76
9.1.1 Example as Motivation for GA Methodology . . . . . . . . . . 77
9.1.2 The General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.1.3 The Granularity Adjustment in a Single Factor
CreditRisk+ Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.4 Data on German Bank Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.1.5 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.1.6 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2 The Semi-Asymptotic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.2.1 The General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.2.2 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.3 Methods Based on the Saddle-Point Approximation . . . . . . . . . . 93
9.3.1 The General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.3.2 Application to Name Concentration Risk . . . . . . . . . . . . . 96
9.4 Discussion and Comparison Study of the Granularity
Adjustment Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.4.1 Empirical Relevance of the Granularity Adjustment . . . . 100
9.4.2 Why a Granularity Adjustment Instead of the HHI? . . . 100
9.4.3 Accuracy of the Granularity Adjustment and
Robustness to Regulatory Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.4.4 Comparison of Granularity Adjustment with Other
Model-Based Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.4.5 Agreement of Granularity Adjustment and Saddle-
Point Approximation Method in the CreditRisk+
Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10 Sector Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.1 Analytical Approximation Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.1.1 Analytical Approximation for Value-at-Risk . . . . . . . . . . 109
10.1.2 Analytical Approximation for Expected Shortfall . . . . . . 117
10.1.3 Performance Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Contents XI
10.1.4 Summary and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.2 Diversification Factor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.2.1 The Multi-Sector Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2.2 The Capital Diversification Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.2.3 Marginal Capital Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.2.4 Parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.2.5 Application to a Bank Internal Multi-Factor Model . . . . 127
10.2.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11 Empirical Studies on Concentration Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.1 Sector Concentration and Economic Capital . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.1.1 The Model Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.1.2 Data Description and Portfolio Composition . . . . . . . . . . 133
11.1.3 Impact of Sector Concentration on Economic Capital . . 135
11.1.4 Robustness of EC Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.1.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2 The Influence of Systematic and Idiosyncratic Risk on Large
Portfolio Losses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.2.1 Descriptive Analysis of SNC Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.2.2 Simple Indices of Name and Sector Concentration . . . . . 141
11.2.3 Modeling Dependencies in Losses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.2.4 Monte Carlo Simulation of the Portfolio Loss
Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.2.5 Empirical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.2.6 Summary and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Part III Default Contagion
12 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13 Empirical Studies on Default Contagion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13.1 The Doubly Stochastic Property and its Testable Implications 156
13.2 Data for Default Intensity Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
13.3 Goodness-of-Fit Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
13.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14 Models Based on Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
14.1 Equivalence of Latent Variable Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.2 Sensitivity of Losses on the Dependence Structure . . . . . . . . . . . 168
14.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
XII Contents
15 A Voter Model for Credit Contagion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
15.1 The Model Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.2 Invariant and Ergodic Measures for the Voter Model . . . . . . . . . 177
15.3 The Non-Dense Business Partner Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
15.4 The Dense Business Partner Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
15.5 Aggregate Losses on Large Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
15.6 Discussion and Comparison with Alternative Approaches . . . . . 186
15.6.1 The Mean-Field Model with Interacting Default
Intensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
15.6.2 A Dynamic Contagion Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.7 Contagion Through Macro- and Microstructural Channels . . . . 190
15.7.1 A Model with Macro- and Micro-Structural Dependence 191
15.7.2 The Rating Migrations Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
15.7.3 Results and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
16 Equilibrium Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
16.1 A Mean-Field Model of Credit Ratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
16.2 The Mean-Field Model with Local Interactions . . . . . . . . . . . . . . 202
16.3 Large Portfolio Losses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
16.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

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