<p>《概率理论》是《经济学》的重要分析工具，它真的是那么科学、那么完美、那么无暇可击吗？</p><p>我们先来看个例子：</p><p>  一个袋子里有9个形状大小重量都一样的小球，它们是3组分别写着1-3的数字的小球。随机摸3个小球，问：摸到3个数字相同的小球和摸到3个数字都不同的小球，哪个概率小？</p><p>  显然数字相同的小球只有3个组合：111，222，333；而数字都不同的小球有6个排列（123，132，213，231，312，321），所以答案一定是<font color="#0000ff">摸到数字相同的3个小球的概率小</font>。 </p><p>现在我们用不同的颜色代替数字，给这些小球上涂上红兰棕三色，每种颜色涂3个小球。 </p><p>随机摸3个小球，问：摸到3个颜色相同的小球和3个颜色都不同的小球，哪个概率小？ </p><p>  颜色相同的3个小球只有三个组合——红红红、蓝蓝蓝、棕棕棕；颜色都不同的3个小球有6种不同排列（红蓝棕、红棕蓝、蓝红棕、蓝棕红、棕红蓝、棕蓝红），所以答案一定是<font color="#0000ff">摸到颜色相同的3个小球的概率小</font>。</p><p>现在我们再在三组颜色相同的小球上分别写上“1、2、3”三个不同的数字：</p><p><font color="#ff0000">1</font>  <font color="#0000ff">1</font> <font color="#a2795e"> 1</font></p><p><font color="#ff0000">2 </font><font color="#0000ff"> 2</font> <font color="#a2795e"> 2</font></p><p><font color="#ff0000">3 </font> <font color="#0000ff">3 </font><font color="#997b66"> 3</font><br/> </p><p>于是，如上图所示，9个小球中，<font color="#3300ff">颜色相同的小球，数字一定不同；数字相同的小球，颜色一定不同</font>。</p><p>A问：随机取3个球，会出现3种可能，3球颜色相同；3球颜色都不同；3球中2个球颜色相同，另一个球颜色不同。哪种可能出现的概率最小？ </p><p>B问：随机取3个球，会出现3种可能，3球数字相同；3球数字都不同；3球中2个球数字相同，另一个球数字不同。哪种可能出现的概率最小？ </p><p>C不知如何回答为好！因为从上图可以看出，颜色相同的小球，数字一定不同；而数字相同的小球，颜色一定不同。如果说“出现3球颜色相同的可能”概率最小，这3球的数字却一定不同，3球数字不同的概率就一定不是最小的；如果说“出现3球数字相同的可能”概率最小，这3球的颜色一定不同，3球颜色不同的概率就一定不是最小的。 </p><p>概率是门严密精确的数学，怎么会得到如此矛盾的结果呢？ </p><p> 我们来分析其中的原因：</p><p>   如上图所示，我们先来研究一下，这里颜色和数字的关系。取颜色相同就是取列，颜色相同数字一定不同；取数字相同就是取行，数字相同颜色一定不同，因而颜色和数字在这里的关系是“正交”，也是等价的（转90度就互相转换了）。</p><p>   我们从哲学角度看，两个正交的特征，本身体现了一种对立与辩证的关系。</p><p>  数学是严格遵守形式逻辑的科学，是以形式逻辑为生命的，因而绝对排斥辩证逻辑。所以在同一个题目里，它只能认定两个正交特征中的一个，而将另一个排斥。</p><p>  我们以“数字”作为标识特征来具体论证上述结论：</p><p>  在这个三球的例子里，三球数字都不同时，会出现六种排列（123，132，213，231，312，321）；而三球数字相同时，却只有三个组合 ——111，222，333 ，不是排列，为什么不排列呢？我们很清楚的知道，这里的111（或222，333）肯定不是同一种球（看颜色就知道，三个1其实是三种不同颜色的小球），完全可以排列，也应该排列，但实际上你就是排列了，也是白忙！因为即使排列后，也一定被压缩（同类项合并），原因在于形式逻辑在这里只认数字，数字相同的小球，虽然颜色不同，无论你如何排列，它们都只是同一个数字，所以被合并（压缩）了！</p><p>以“颜色”作为标识特征，也能得到同样的分析结果。</p><p>  这个现象显然与计算概率的理论相悖，根据概率的理论，任何一种可能的排列或组合，就是一种可能出现的基本事件，必须被计算进去，不能因为形式逻辑的“识别能力”的局限，遗漏了不该遗漏的基本事件！三个同样数字的小球（或三个同样颜色的小球）的排列，客观上是存在的，代表了不同的出现几率，但是由于逻辑上无法判断，被作为“非基本事件”而忽略了！</p><p>  假定我们给三种颜色的小球分别标上1-9的数字，我们可以发现，每次摸3个球，假定按颜色排列组合，我们只能得到21个基本事件。但是按数字排列组合(这次不会有任何遗漏)，我们居然得到了504个基本事件！原来，“正交”特征的被排斥，不仅排斥了同色小球的排列，也排斥了不同色小球的组合！</p><p>形式逻辑排斥辩证逻辑——这就是《概率理论》在这里出现问题的根本原因！</p><p>《概率理论》的问题仅仅于此吗？</p><p>不是！</p><p>  凡是严格遵守形式逻辑的科学，一定是“线性科学”，是离散结构。它对真实世界的连续结构只能是一种“逼近和近似”，在标度、维度、精度超过一定范围时，它的“误差”一定会显现。从哲学角度看，真实世界是辨证的，是连续结构，形式逻辑是人造的，是离散结构，离散结构（线性科学）与连续结构（真实世界）之间的矛盾，本质上就是形式逻辑与辩证逻辑之间的矛盾。用线性科学去逼近和近似的分析真实世界，矛盾是一定会显现的！</p><p>我再举个例子：</p><p>《生日悖论》是个有名的《概率理论》的结论。</p><p>先把百度百科的相关内容转摘如下：</p><p>  <font color="#0000ff">生日悖论是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那幺至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计着名的密码攻击方法：生日攻击。</font></p><p><font color="#0000ff"> </font></p><p><font color="#0000ff">生日悖论是这样描述的：</font></p><p><font color="#0000ff">不计特殊的年月，如闰二月。</font></p><p><font color="#0000ff">先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么</font></p><p><font color="#0000ff">第一个人的生日是 365选365</font></p><p><font color="#0000ff">第二个人的生日是 365选364</font></p><p><font color="#0000ff">第三个人的生日是 365选363</font></p><p><font color="#0000ff">:</font></p><p><font color="#0000ff">第n个人的生日是 365选365-(n-1)</font></p><p><font color="#0000ff">所以所有人生日都不相同的概率是：</font></p><p><font color="#0000ff">(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×(365-n+1/365)</font></p><p><font color="#0000ff">那幺，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：</font></p><p><font color="#0000ff">1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×(365-n+1/365)</font></p><p><font color="#0000ff">所以当n=23的时候，概率为0.507</font></p><p><font color="#0000ff">   当n=100的时候，概率为0.9999996 </font></p><p><font color="#0000ff">真是不算不知道，一算吓一跳。</font></p><p><font color="#0000ff">【理解生日悖论】</font></p><p><font color="#0000ff">  理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如在前面所提到的例子，23个人可以产生23 × 22/2 = 253种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。 </font></p><p><font color="#0000ff">于是我开始在网上查，看看有没有人提出过这个论断是错的，结果不但没有找到有人说它错，还看到了这些数据：</font></p><p><font color="#0000ff">当：</font></p><p><font color="#0000ff">N=50，概率为96.3%，</font></p><p><font color="#0000ff">N=60, 概率已经大于99%； </font></p><p><font color="#0000ff">N=100，概率为99.99996%; </font></p><p><font color="#0000ff">N=200时，居然为0后面29个9！</font></p><p><font color="#0000ff"> </font><font color="#0000ff"> 我也看到了描述这个结论的曲线——N过了60人之后，概率已经大于99%，曲线就像一根渐近线，以几乎平行的方式接近概率等于1的直线，最终在N=366处达到1。</font></p><p><font color="#0000ff">还找到Paul Halmos （1916-2006）用数学论证（非数字方法）对这个论断的证明，Halmos还写了这样一段话：</font></p><p><font color="#0000ff">“这个推导是基于一些数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾经是一个绝妙的例子，用来演示纯思维是如何胜过机械计算：一两分钟就可以写出这些不等式，而乘法运算则需要更多时间，并更易出错，无论使用的工具是一只铅笔还是一台老式电脑。计算器不能提供的是理解力，或数学才能，或产生更高级、普适化理论的坚实基础。”</font></p><p><font color="#0000ff">  同一篇文章中还有这样的说明：生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2N次而是只有2N/2次。这一结论被应用到破解cryptographic hash function的生日攻击中。生日问题所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。</font></p><p><font color="#0000ff">  还有不少国外的数学家，用其他一些方法，也得出了生日悖论的结果；甚至还有很多如何用各种程序产生随机数来检验这个悖论正确的例子！我在网上查到的概率学，不管国内外，无一例外将它作为教材；我还查到很多用生日悖论作为直观靠不住的例子的文章和书，很多还是科学家写的书……</font></p><p> </p><p>生日悖论难道真的是如此神奇而正确的吗？</p><p> </p><p>我用两个办法来证实它的谬误：</p><p>一个就是，直接计算“发生两个人以上生日相同的概率”，而不是先算发生生日不同的概率，再用1去减。</p><p>由于每个人只能在365天里的某一天出生，所以每个人的生日取值就是1/365。</p><p>N=1 时，不可能发生生日相同的事件，概率: P=0；</p><p>N=2 时，“任意两个人生日相同”的概率: P=1/365；</p><p>N=3;时，设3人为A，B，C； </p><p>三个人之间有三个“任意两个人生日相同”的可能（三人及三人以上生日都相同的不是基本事件，被排除）：</p><p>AB，AC，BC；</p><p>因为“任意两个人生日相同”的概率为 1/365；所以三人之间发生两两生日相同的概率为3*（1/365）=3/365；</p><p>N=4 ；A，B，C，D</p><p>AB，AC，AD；</p><p>BC，BD；</p><p>CD</p><p>这里有六个“任意两人生日相同”的可能，所以P=6/365；</p><p>N=5； A，B，C，D，E</p><p>AB，AC，AD，AE</p><p>BC，BD，BE</p><p>CD，CE</p><p>DE</p><p>这里有10个“任意两个人生日相同”的可能，所以P=10/365；</p><p>显然，这是个等差级数，等差级数求和的公式为 N（N-1）/2</p><p>则，N个人生日相同的概率P=[N*（N-1）] /（2*365）</p><p>但是，当</p><p>N=20时，有两个人生日相同的概率为 52%，已经超过50%。当N=27时，有两个人生日相同的概率为 96%</p><p>N=28时，有两个人生日相同的概率为 103%！</p><p>算到这里显然看出这个公式错了！因为概率是不能大于1 的！</p><p>但是从逻辑上、计算上看,我们完全遵循了《概率理论》，这里并没有任何错啊？！</p><p>问题在哪里呢？我们后面再分析。</p><p>  我用了第二种方式——扩大它的标度，假定1年有1000天、10000天、100000天……</p><p>   按《生日悖论》的算法，我计算出1-1000中，只要随机取38个数，其中两个数相同的概率就达到50%；在1-10000中，只要随机取118个数，其中两个数相同的概率就达到50%；在1-100000中，只要随机取363个数，其中两个数相同的概率就达到50%。</p><p>  如果计算1-100000个数中，取多少数就能使发生两个相同数的概率超过99.999%, 我估计不会超过5%，将它画成曲线，我们一定会看到这根曲线离开0点后，会很快“直冲云霄”（接近1），这时离开“终点（100000）还有十万八千里！后面的数字却早就全部没有意义了，只有那个100000在终点守门！因为最后确定概率为1 非它出场不可。</p><p>  我知道这里一定出问题了！也就是说，我们在365个数字中随机取占总数6.5%个数——23个；在1-1000个数中，只要随机取占总数3.8% 的数——38个；在1-10000中，只要随机取占总数1.18%个数——118个，在1-100000中，只要随机取占总数0.36%个数——363个，则取出的这些数中有两个相同数的概率就都达到50%！</p><p>  如果我们把数字扩大到1亿，我相信这个比例会小于万分之一！在1亿个数里随机的取出不到万分之一的数，却能使这些取出的数里有两个相同数的概率大于50%——这绝对是个不符合事实的结论，与之相悖的不是直观，而是事实！</p><p>  根据对题目的分析，我们知道，这个被取样的系统，是设定为一个最均衡的系统，也就是熵为最大的系统。那就是说，无论你如何取样，无论你取样后如何计算，都无法改变原系统的熵值，也不应该改变原系统的熵值；同样，无论你怎样取样、取样多少，在被取样的群体中，熵值也应该是最大的、与原系统是一致的。但是《生日悖论》的结论却等于告诉我们，只要一取样，被取样部分的“熵值”就变小了！而且这个变小与系统的标度有关，标度越大的系统，被取样部分的熵值越低！这与题目给出的先决条件显然是相悖的。所以从熵的角度，我们很容易得出生日悖论是个谬误的结论！</p><p>  这种熵最大的分布，意味着它也不会对任何用于计算的公式以任何影响，因此，计算结果的线性和非线性，完全取决于计算所用公式本身的线性和非线性。所以《生日悖论》的谬误，实际上完全是由于《概率理论》的公式谬误所致。</p><p>我们来进一步分析概率的计算理论：</p><p>  综合概率的频率定义、古典定义、和严格定义，我们知道，概率计算的原始想法就是：把所有可能发生的基本事件用排列组合全部列出来，算出你感兴趣的事件出现的次数与所有可能出现的基本事件总数的比例，就得出你感兴趣的事件出现的概率。</p><p>问题出在哪里呢？问题就出在“<font color="#3300ff">所有可能出现的基本事件，它们的出现几率本身并不是等价的</font>！”</p><p>  拿上面举过的只写数字的小球例子来讲，同样作为基本事件，111，222，333出现的几率，与123，321，213……出现的几率并不是等价的，因为111本质上是几个排列的集合；……即使排除正交的因素，我们把9个小球标上1-9的数字，你又凭什么认定经过所有的排列或组合出现的504个基本事件，出现的几率是等价的？那只是人为的设定而已！</p><p>  我的第一种算法的出错，也在于线性的设定了“任何情况下，任意两个人发生生日相同的概率是一样的，都是1/365”。实际上在人数变化时，这个概率也是变化的。</p><p>  这就象我们在广泛应用的微积分，微分就是用线性的函数去无穷的逼近非线性函数的局部，从而达到用线性办法解决非线性问题的目的。其实本质上微分就是一种“模数转换”，就像现代数字音频系统，用有限的数字量去转换变幻无穷的模拟量，把真实世界的模拟量量子化，并把每个同类的量子都看成等价的！但是学过模数转换的人都知道，任何精度的模数转换，所得到的数字量，只能是模拟量的“逼近和近似”，总有“高频损失”，所以实际上这些同类的量子并不等价，只是在精度允许的情况下，我们人为的设定它们是等价的。概率理论也是用基本事件作为量子，去量子化真实世界的实际概率，并人为的设定这些基本事件（量子）是等价的。所以，概率理论在精度要求不高、标度不大时，计算结果是“管用”的，但是千万不要把它看成是“绝对真理”，是可以运用在任何场合、可以适用任何标度！这种人为的认定，就是一种线性方式，建筑在这个设定基础上的理论和公式，一定是线性的，在标度和精度要求高的地方、在描述真实世界时，它的线性本质一定会暴露的！</p><p>  这里不是数学论坛，但是我可以告诉大家一个事实，我曾经抛开概率公式，假定一年的天数分别从1-20（由于时间和精力的关系，我没有算到365），根据可能发生生日相同的事件（两人生日相同、三人生日相同、四生日人相同……），列出一组数字，它们居然是标准的“分形”！有兴趣的朋友可以自己去试验，我相信你会得出与我一样的结论——非线性的概率理论，一定是分形的理论！因为分形理论实际上就是非线性数学（几何）的理论。</p><p>《概率理论》的线性本质，是由形式逻辑的线性本质决定的，因此，所有以形式逻辑为“生命”的学科，都存在同样的问题。</p><p>  我们来看看《欧氏几何》，这是大家最熟悉和运用最多的学科。</p><p>  现在建房的图纸，都是根据欧氏几何画的，但是造完房子后，如果我们去精确的测量房子，一定会发现图纸上矩形的房子，实际上屋顶一定比楼房的底要长，房子两边的墙也是不平行的（它们都垂直于地面），因为矩形房子在真实世界里都是扇形的。</p><p>  根据欧氏几何的理论，两个平直的平面，是一定可以“处处吻合”的。我们日常生活中所见的桌面，就是实际的例子。但是当我们把标度放大后，就会发现并非如此！譬如：飞机的跑道必须是个绝对水平的面，我们用水平仪在飞机跑道上的任何一段测试，都可以发现它是水平的，假定一个小球静止的放在跑道的一端，它可以一直保持静止。假定给它一个初速度让它开始做匀速直线运动，只要忽略摩擦力，它一定能匀速的跑到跑道的另一端。那么这样的两个飞机跑道“面对面”的贴合，理论上应该是处处吻合的。实际上我们都知道，飞机跑道其实是曲面，这样的两个跑道是绝对不会“面对面”的贴合的。假定我们按欧氏几何的定义，把跑道真正做成“平直”的（就像一根筷子放在碗底上），那么我们在跑道的一段放一个静止的小球，那个小球一定会自己动起来，它在跑道上的运动轨迹，一定等同于在一个碗型跑道上的运动轨迹——先加速滚向当中，再减速滚向另一端，然后再滚回来，不断循环震荡!——所以在标度大的真实世界的空间，线性理论与真实世界是不“吻合”的！在宏观世界里(譬如相对论的计算中)，我们也确实不能用线性的欧氏几何，而只能用非线性的“黎曼几何”。（我们不妨用这个例子去理解“引力场里空间的形变”）</p><p>  事实上数学的基础——复平面数系，也是线性的，它也有致命的矛盾——以实数轴为例，它是所有实数的集合，所有的实数，都对应数轴上的一个点。但是，点是0维的，没有长度和面积，线是1维的，有长度，数轴的长度是哪里来的呢？请各位不要在这里引进“无穷和极限”的概念，因为这里的“点”是精确定义没有长度和面积的，无论有多少点，都是没有长度和面积的。</p><p>  我用自己的非线性哲学研究后发现，再简单的形，都是模拟量，再复杂的数，还是数字量，无论是用“线”去表达“点”，还是用“点”去表达“线”，本质上都是在做“模数转换”或者“数模转换”。只有“圆”，才能在理论上实现精确的“模数转换（用圆的内接多边形求π）”，所以用数轴（形）去表示数的集合，这个数轴一定是个圆！那么在这样的数系里，又如何来解释上面的矛盾呢？这里我们对“点”的定义还是0维的，对“线（圆弧）”的定义也还是1维的，0维的“点”的集合怎么会变成1维的“线”呢？我的解释很简单：因为这些“点”不同于一般意义上的“点”，它们有个内在的“自相似性”——到圆心的距离相等，所以它们本质上是最简单的“分形（圆）”，而“分形”是具有分数维的，这些“点”的维度不是0维，而是大于0小于1的分数维，它们的集合，就形成了1维的弧线。所以现在的复数平面，精确的讲，应该是个球面，它是两维的，占据了三维空间——<font color="#ff0000">这就是全世界的数学家花了几百年，都没能找到“三维数系”的本质原因！</font></p><p> </p><p>写到这里，再来分析《经济学》的线性局限问题，就很容易了。</p><p>我要强调的是两点：</p><p>第一、《经济学》的线性特征，除了因为它用于分析的数学本身是线性的，还在于它的研究方式也是线性的，《经济学》在建立每一个理论时，都必须忽略或设定一些条件，这些被忽略或设定的条件，实际上在建立该理论时，都在发生变化，都在时时刻刻影响着哪些被研究的项，就像用经典力学分析“天体的三体运动”一样，三体之间的关系是耦合，不是线性的叠加，所以这些理论，都是“排除了非线性因素”后的线性定律！他们与真实世界只是“逼近和近似”，是很难真正吻合的！</p><p>第二、数学的研究对象是忽略了被研究事物的内容后，只研究事物存在形式中的数、量、积、形，研究的对象是最“抽象的、精确的”，可以完全人为设定的，数学遵循的是严格的形式逻辑，完全排斥了辩证逻辑。自然科学的研究对象是精确界定的物，切断了“人”与这些研究对象的关系，从而排除了由“人”带来的不确定性；自然科学基本遵循形式逻辑，基本排除了辩证逻辑带来的不确定性。《经济学》最不幸！它研究的对象是人类最重要的社会活动，是动态和辨证的现象，它无法排除由“人”带来的各种不确定性，也无法排除同样设定条件下，出现的很多矛盾的可能性（辨证现象）。</p><p>   所以《经济学》的线性特征不仅表现在应用他们去分析经济现状的时候，还表现在各类经济学派之间永无休止和永不统一的矛盾和争斗中！</p><p>   最后我要强调的是：非线性科学是覆盖线性科学的（牛顿力学是量子力学和相对论的最简式），非线性科学不排斥线性科学，线性科学是基础，在精度要求不高和常规标度内，它的线性本质（可精确复制、可逆、可叠加、易推广……等），决定了线性科学还是很好用，所以大学生一定要认真学好基础知识！！！</p><p> </p><p>  以上供各位参考，欢迎批评指正！</p><p> </p><p>  节假日有点空闲，写这个帖子供有兴趣的朋友参考。如果版主觉得这个话题更适合在其他栏目讨论，请把它移掉。如果觉得根本不适合在这个论坛讨论，或者我根本就是在胡说八道，没有讨论的价值，就请删除。我只想与大家交流想法，并听到大家的批评与指教，决无意干扰这里的讨论，请千万谅解！！</p><p> </p><p>谢谢！</p><p> </p><p>商与儒（余季方）</p><p> </p>

[此贴子已经被作者于2009-5-4 10:52:24编辑过]

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