贝克尔的时间分配理论与广义动量定理分析

2.5.1.2 时间t与贝克尔的时间分配理论

         1992年诺贝尔经济学奖获得者加里•S•贝克尔创立了“新消费者论”、“时间经济学”、“人力资本论”、“社会相互作用论”等理论。他证明了经济学中人的“偏好稳定”的基本假设，可从个人偏好或需求结构随时间的推移而变化加以发展，重要的是“唯一改变的是时间的价值”。根据这一观点，新产品是作为新的“方法”和“技术”而出现的，是消费者努力追求更有效的以较低的费用满足自己的需要的产物。以此类推，新产品的普及、更新和加速废弃等，这类“产品生命周期”现象，并不是根源于消费者的需求质变或欲望变化，而是“消费生产率”提高的结果。

        贝克尔的时间经济学是广义的时间消费效用研究，研究时间的消费效用的最大化的。

        贝克尔在《人类行为的经济分析》的第五章‘时间分配理论’写道：“

家庭使其效用函数极大化，家庭效用函数形如

       受资源限制

        这里，xi表示从市场购买的商品，pi表示这些商品的价格，I表示货币收入，W表示报酬，V表示其他收入。分析过程必须充分考虑非工作时间，据此，家庭综合运用时间及市场产品，生产出更为基本的产品，这些产品可以直接纳入家庭效用函数。观看演出可以视为家庭产品之一，它取决于演员、剧本、剧场和观看时间等投入要素；睡眠也是一种家庭产品，它取决于卧榻、房间及时间等投入要素。这些产品统称为Zi，写作

        这里，xi表示市场商品向量，Ti表示用于生产第i种产品的时间投入量。一般来说，Zi对xi与Ti的偏导数非负。

家庭不仅是效用极大化单位，而且是生产单位。家庭综合运用时间与市场商品，通过“生产函数”fi生产基本产品Zi，并选择家庭产品的最优组合，使效用函数极大化

        求效用函数的极大值，商品的限制可以写作

        这里，pi表示xi单位价格向量，Tw表示用于工作的时间向量，w(—)表示每单位Tw的报酬，时间限制可以写作

       这里，Tc表示既定的用于消费的时间向量，T表示现有的时间总量，生产函数可以写作恒等式

       这里，ti表示每单位Zi的时间投入量，bi表示市场商品的类似向量。

       利用时间限制，消去Tw，得到

       利用上述恒等式得到

       每单位Zi（πi）的全部价格是商品的价格与单位Zi使用的时间价格之和，即消费的全部价格等于直接价格和间接价格之和。效用函数极大化的条件为

      这里，λ表示货币收入的边际效用。

”

       贝克尔的时间分配理论描述的情况是时间既可以用于生产市场产品，从而赚取报酬；也可以用来消费，生产家庭产品。而生产家庭产品除了需要时间外，还需要使用收入购买来的商品。所以家庭产品受消费时间影响和收入的影响，而收入又受工作时间影响。

      可以将贝克尔的推导进行简化，时间和商品的约束如下

      生产家庭产品Zi需要时间Ti和商品xi。

       从广义动量定理Fαt=MV的角度说，xi对应广义动量定理中的F，Ti对应时间，Zi对应广义质量M，α是力量xi的方向，可以省略不写。得到

        其中∑ZiVi表示成果，对应贝克尔的效用函数。

        求∑ZiVi的极大值。即函数为

       后两个式子为约束。

        为了书写和理解方便，省略求和符号∑和下角标。得到

       分别求时间Tc和x的最优值

       通过第一个约束，得到

       将x带入第二个约束，得到

      求ZV的极大值，对Tc求导

       得到Tc最优值为

       此结果的含义是为了达到家庭效用函数极大化，当其他收入V越多时，则消费的时间Tc应该越多，而当工资越高时，消费时间应该越少，因为工资越高可以购买的商品越多，商品越多，则效用函数越大。

      通过第一个约束得到

       将Tc代入第二个约束得到

       求ZV的极大值，对x求导

       得到x的最优值为

       此结果的含义是为了使家庭效用函数极大化，当其他收入V越大时，可以消费的商品x越多；当工资越高时，可以消费的商品x越多；当价格越高时，可以消费的商品越少。