原文信息：James Hamilton (1989). A New Approach to theEconomic Analysis of Nonstationary Time Series and the Business Cycle. Econometrica,57: 357-384.

很多宏观经济和金融变量会出现非平稳的特征，即这些变量的分布是随时间在改变的，不是同分布的。比如有时间趋势或者季节趋势的时间序列，往往是非平稳的，单位根过程也是非平稳的。对非平稳的时间序列如何基本上有两种处理方法，第一种是通过恰当的变换，将非平稳序列变成平稳序列，比如一阶差分；第二种则是直接model非平稳的时间序列及其相互关系，比如协整。还有一种非平稳的时间序列在经济学中也经常出现，就是带有structural change的时间序列。在某一个特定的时间点，经济系统发生了突然的系统性改变，使得经济变量的统计性质也发生了突变。在这个改变发生以前，时间序列是平稳的，在这个改变发生以后，时间序列是平稳的。但把这个时间序列当成一个整体来看待时，则不是平稳的。很典型的一个例子是柏林墙的倒塌，倒塌前的东柏林和倒塌后的东柏林，经济制度迥然不同，如果能把一些时间序列绘制在一张图上的话，就会看到一个明显的jump或者drop，感觉这个时间序列不再是连续的。再比如亚洲金融危机中很多东南亚国家被迫放弃固定汇率制而转向浮动汇率制，都会导致时间序列的不平稳性。如何去model这种structural change就是计量经济学里需要解决的一个重要问题。

Hamilton (1989)提出了一个很一般化的parametric model来描述时间序列的这种不平稳性，这个模型也就做Markov Regime Switching Model。在宏观经济学领域，这个模型得到了非常广泛的应用，在中国知网上搜索“马尔科夫机制转换模型”，会出来很多的文章，不胜枚举，大都是使用这个模型来研究某一经济变量在不同regime下的统计性质。这个模型之所以叫“Markov”，是因为它假设了一个latent dummy variable s(t)，这个dummy variable刻画了经济中不可观测的状态，并且s(t)服从一个二维的Markov Chain，也就是说s(t)的值只取决于s(t-1)。s(t)是不可观测的，但是它会影响可观测的经济变量Y(t)，Y(t)的统计性质完全取决于s(t)是1还是0。假如s(t)=1表示经济处于扩张阶段，s(t)=0表示经济处于收缩阶段，那么机制转换模型中可观测变量Y(t)的统计性质就取决于t期是扩张还是收缩，比如，当s(t)=1时，Y(t)=a1+b1*Y(t-1)+u(t)，当s(t)=0时，Y(t)=a0+b0*Y(t-1)+v(t)，Y(t)在两种状态下，呈现出不同的动态特征。虽然我们不能直接观测到t期经济是扩展还是收缩，但通过观察Y(t)的性质，就可以间接推断出它背后的经济状态s(t)。具体说来，我们可以把可观测变量的似然函数写作f(Y|theta)=\int f(Y|s,theta(1))f(s|theta(2))ds。这里f(Y|theta)是给定参数theta以后，可观测变量Y的联合密度，f(Y|s,theta(1))是给定状态s和参数theta(1)以后，Y的联合密度函数(一般假设为多元正态分布)，f(s|theta(2))则是状态s的边际密度函数，它只依赖于参数theta(2)。总的参数theta=(theta(1),theta(2))。\int是关于状态s的积分，实际上就是求s的期望。这里的样本量有多大，就有多少个s，也就要求多少个积分，所以基本上\int是个T重积分，这个likelihood function可以用Kalman filter的方法计算得到，在目前常用的统计软件中都可以找到相应的执行命令，通过选择theta让f(Y|theta)达到最大，就可以得到theta的极大似然估计，在这个估计出的theta里，不仅含有每个方程(a1,b1,a0,b0)=theta(1)的估计量，还含有(p11,p00)=theta(2)两个Markov Chain的转换概率的估计量，p11表示如果s(t)=1，那么s(t+1)=1的条件概率，p00则表示如果s(t)=0，那么s(t+1)=0的条件概率。

运用估计出来的参数theta，我们可以用这个模型做很多有意思的工作，首先，我们可以通过观察Y在整个样本中的性质变化，推断某一期经济处于收缩期的概率，从而为forecasting business cycle提供一个很一般的分析框架；第二，我们可以以样本信息为基础，预测下一期的Y(T+1)会是多少，这个预测分两步进行，第一步需要预测T+1期s是1还是0，也就是说T+1期经济将处于哪个状态；给定某个状态后，再用相应的动态方程预测Y(T+1)的取值；第三，如果Y不仅依赖于其滞后值，也依赖于一组解释变量X的话，我们可以分析X对Y的影响是否存在异质性，当s=1的时候，X对Y的影响和当s=0的时候，X对Y的影响是不是一样（可以作为假设去检验），如果不一样的话，说明什么问题，对政策又有什么启示？所有这些问题都可以在机制转换的模型框架下去研究和分析。这个模型也有很多扩展，比如Y不一定是单元的，可以是多元的，更多的Y总是能带来更精确的推断；s也不一定只取1和0，s可能会取一组有限的数，条件分布f(Y|s,theta(1))也不一定非要是正态分布，可以是t分布或者其他有fat-tail特征的分布，因为大部分金融资产的收益率都不是正态分布。

Abstract

This paper proposes a very tractable approach to modeling changes in regime. The parameters of an autoregression are viewed as the outcome of a discrete-state Markov process. For example, the mean growth rate of a nonstationary series may be subject to occasional, discrete shifts.

The econometrician is presumed not to observe these shifts directly, but instead must draw probabilistic inference about whether and when they may have occurred based on the observed behavior of the series. The paper presents an algorithm for drawing such probabilistic inference in the form of a nonlinear iterative filter. The filter also permits estimation of population parameters by themethod of maximum likelihood and provides the foundation for forecasting future values of the series.

An empirical application of this technique to postwar U.S. real GNP suggests that the periodic shift from a positive growth rate to anegative growth rate is a recurrent feature of the U.S. business cycle, and indeed could be used as an objective criterion for defining and measuring economic recessions. The estimated parameter values suggest that a typical economic recession is associated with a 3% permanent drop in the level of GNP.

论文链接：http://www.jstor.org/stable/1912 ... e_scan_tab_contents

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