其实是当时授课老师自己总结的

实际用的时候就这样做肯定没问题

如果你要推导，我可以把当时学习的课件发给你，但是是全英文，不过很简单。

把你邮箱给我

在BS公式中，这个PUT 和 call 是不能定价的，也就是说不是在一个NS公式中就同时又买权也有卖权。这么说有点抽象，你想一个简单例子，袋子里有N个白球，M个黑球，如果摸到白球你就付出10元，摸到黑球你就挣20元。那么你参加这个游戏的期望收益是多少呢？

所以所类比于BS公式，就能知道，无论是对PUT还是CALL去定价，谁跟在K后面，那个就是行权的概率。之所以PUT和CALL的公式不一样，是因为中间差了一个PUT&CALL parity.转换一下就可，呵呵。

以下是引用dy8654在2009-5-27 14:39:00的发言：

在BS公式中，这个PUT 和 call 是不能定价的，也就是说不是在一个NS公式中就同时又买权也有卖权。这么说有点抽象，你想一个简单例子，袋子里有N个白球，M个黑球，如果摸到白球你就付出10元，摸到黑球你就挣20元。那么你参加这个游戏的期望收益是多少呢？

所以所类比于BS公式，就能知道，无论是对PUT还是CALL去定价，谁跟在K后面，那个就是行权的概率。之所以PUT和CALL的公式不一样，是因为中间差了一个PUT&CALL parity.转换一下就可，呵呵。

我理解你的意思是说：C = S * N(d₁) − Ke ^{− rT}N(d₂)     中，N(d2)  是买权执行的概率，

而通过平价关系得到的式子 P =Ke ^{− rT}[ 1-N(d₂) ]-  S * [ 1-N(d₁) ]  中，1-N(d2) 是卖权执行的概率

对吗？感觉怪怪的

那我想问的是两个式子里 N（d1）表示什么呢？

[此贴子已经被作者于2009-5-27 15:36:50编辑过]

感激不尽～ 呵呵

carol119@126.com

[此贴子已经被作者于2009-5-27 15:36:06编辑过]

认真看书，书上都有

不是没有认真看书，我们用的教材是T.E.Copeland and J. F. Weston:Financial Theory and Corporate Policy. , (2001 by Prentice Hall),上面只说说了N()表示单位正态变量的累计概率，并没有解释它的经济含义。

现在倒是找到了一个解释，放在这里给大家分享：

N(d1)和N(d2)都是股票价格超过行权价格的概率（也就是买权执行的概率）,但是是分别在不同的概率测度下定义的概率,前者是在等价指数鞅概率下的预期股票价格超过行权价格的概率；后者就是我们通常说的风险中性概率测度下预期股票价格超过行权价格的概率。

如此，可以知道股票价格低于行权价格的概率（也就是卖权执行的概率）应该是 1-N(d1) 和 1-N(d2)，同样是在两种不同概率测度下定义的。

欢迎指正。

[此贴子已经被作者于2009-5-27 22:02:28编辑过]

sounds right.

BS模型中,看涨期权中的N（d1)代表的经济含义是对冲比率，而N（d2)代表的是看涨期权被执行的概率（也就是可能性）；同样的，看跌期权，期权被执行的概率（可能性）是N(-d2），也就是【1-N（d2）】；对冲比率是-N（-d1）。好久没有看这方面的书了，呵呵！

对于call，期权的定价是（St-K）+，当St>K时就执行买权，否则不执行；对于put，期权定价是（K-St）+，St<K就执行卖权，否则不执行。由d1、d2的来历可以推出哪个是执行买权的概率，哪个是卖权的概率。d2是由call中St>K条件下推出的，所以N（d2）是买权执行的概率；1-N(d2) 是卖权执行的概率。d1是为了计算引入的变量，既不是买权执行的概率，也不是卖权执行的概率。

delta of the option

delta of the option

以call作例子:

n(d1)其實是一個conditional expectation E( ST | ST>K);  n(d2)才是真正的pr( ST>k),call的被执行的概率

ct=value of call   ST=stock price at maturity T , k=stirke price
NPV- net present value

proof:
ct = NPV[Expected cash flows]

ct = NPV[E (max{0, ST – K})].

ct = e-r(T-t)[max{E(0, ST – K)}].

ct= e-r(T-t) {[E(ST–K);ST>K]Prob(ST>K)}

ct = e-r(T-t)E[(ST);ST>K]Prob(ST > K)                           where E[(ST);ST>K]*Prob(ST > K)
  – Ke-r(T-t)Prob(ST > K)                                                             = E(ST)|ST>k] *(Prob(ST>k) *[1/Prob(ST > K) ]
                                                                                                           =E[(ST)|ST>k]

ct = e-r(T-t)E[(ST)|ST>k]– Ke-r(T-t)Prob(ST > K)      where  E[(ST)]=exp (r(T-t))* St
ct= St * N(d1)- Ke-r(T-t)N(d2)

同樣方法可以證明1-n(d2)才是真正的put的被执行的概率

Options will be exercised only if they end in-the-money。
lnS is normally distributed: lnS~N (lnS0+(r-sigma^2/2)T, sigma^2*T)  
for calls: P (S>K) = P (lnS>lnK)  = N ( d2 )
for puts: P(S<K) = P (lnS<lnK) = 1- N (d2)

等价指数鞅概率测度是怎么来的
？
额。。。

N(d1)的计算方法为什么像买卖被执行的概率，反倒N(d2)不知道是怎么来的？

N(d2) is the probability that the call is exercised under risk neutral measure.

N(d1) can be viewed as the probability that the call is exercised under forward risk neutral measure with the numeraire S (underlying price).

none of them is the real probability of the call will be exercised.

best,

非常谢谢终于弄明白了！