呵呵,让闲人兄取笑了.

人家劳神费力来"指导"俺,虽然一开始还不太好意思说出口,咱要不做点回复,未免也太不礼貌了.

说一句题外的。这个问题（不管出于什么动机）既然涉及到了“量纲”。

三角函数、指数函数、对数函数的自变量应该是无量纲的量，其函数值也应该是无量纲的量，虽然这些自变量与因变量都可以有自己明确的“单位”（依人们规定，但这些单位是“无量纲的”）。

研究动态经济学的人常会涉及exp(rt)这类的表达式，这里的rt则是无量纲的量，r的量纲即时间量纲的负一次方。

不过，这里确实有一个问题：dlnx=dx/x，这样有量纲的x其微分值与本值的比值仍无量纲，而其值在数值上又等于其自然对数的微分，而自然对数的自变量是不能有量纲的，那么如何理解这一恒等式呢？我们在用这一恒等式时还是应该先对x做无量纲处理吧。

能再解释一下吗，我也遇到了自然对数的自变量有量纲的情况。

[此贴子已经被作者于2004-12-20 11:55:49编辑过]

许多人认为研究量纲很trivial，这也情有可原。

对x乘以某系数做无量纲化：ax，则lnax=lna+lnx。由于a与lna是常数，求相关弹性的运算与a无关。另外，计量模型中，“lna”部分其实也隐含在截距项里。（尤其在计量模型中）强调各量的量纲及量纲运算对解释计量模型的经济含义还是有很大帮助的。

消量纲的一种方法是指数化，采用相对值而非绝对值。

我的问题没有那么深入。

是在推导一个效用函数时遇到。某种效用函数是K / X对X的积分，X是一种消费品量，自然有量纲。于是积分为 KlnX，如果X不允许有量纲，就遇到障碍。想知道为什么不能有量纲，或者E是否也可以有量纲？

[此贴子已经被作者于2004-12-20 13:09:39编辑过]

首先，量纲表现了各量与“基本量”之间“乘方之积”的关系——量纲的定义。量纲的作用在于，同量纲的量才可进行加减运算或以等号相联。如果将三角函数、指数、对数引入（即对它们规定量纲），则不再保持“乘方之积”的关系，并且，加减运算与等号关系也有困难。这种“扩展”量纲定义的方法从学术意义上说当然可以探讨，但使用起来可能太麻烦。

经济学虽然可以模仿物理学讨论量纲，但经济学尚没有统一的量纲制（也许确实是没有必要）。

在这里，先在这种意义下讨论。无论是按“基数效用”还是按“序数效用”，效用表达为（基或序）数，因而其没有量纲（当然，我们可以规定效用有单位——“效用单位”——无量纲的量完全可以有单位）。

如果硬给效用规定了某种“量纲”（只要我们能给出一个严格的定义——从实证角度看，这个定义应以可观测的方式给出，这样才使经济学有可经验的意义），也不是完全不可以。但实质结果是一样的。

再说商品量。进入效用函数中的商品也可以是千奇百怪的，从而可以有千奇百怪的单位。如果在量纲上不统一，这些商品进入效用函数的方式就不能是“可加性”的——既然我们坚持量纲的原则。

对于单商品效用，如果我们以“Klnx”来表达效用，则该式的量纲要么为1（无量纲），要么为“效用量纲”。无论在上面哪种意义下，如果x是有量纲的，则“lnx”的量纲不是基本量纲（x的量纲）的“乘方之积”关系，从而K的量纲也不是这种关系。同义反复地说，这违背了量纲的定义。

解决这个问题的方法可以这样：求定积分时有一个确定不定积分中常数项的过程，该过程包含消量纲的过程。在序数效用论中，两个形式不同的效用函数完全可以表达同质的效用。

根据指数对数关系，e~lnx=X; 如果实证使X有量纲, 由于lnX 不应有量纲,只须使得e的量纲为X~1/lnX,即可满足等式. 如果e只是作为一个计算用参数,对量纲要求不严格, X有量纲似是可以成立的。

关于效用，无量纲的性质是基于人们认为不同的消费品的消费会带来同一性的效用。这种认识未必全面。个人现在研究的认识是效用可以先是类、是束，其次才是值，效用单位应当由符合经验和逻辑的消费品与满足感的详细映射关系决定，也许符合以前的猜设，也许不符合。

所以，如果推出一个函数U=Xo-XilnXo（Xi，Xo具有相同量纲），而且推导及前提正确的话，这个效用就可以是有量纲的。

但在数学上应无障碍，lnXo是无量纲的单纯数，而允许Xo有量纲。个人认为还是可以，请再指正。

“关于效用，无量纲的性质是基于人们认为不同的消费品的消费会带来同一性的效用。”

序数效用论中，效用的“同性质”是指对同一商品集，偏好的次序是相同的。这与基数效用论中效用的“同性质”是不同的。

如果允许lnx中的x有量纲，那么lnx也要有量纲，这样不仅是规定lnx的量纲，而且是修改量纲的定义（不再表现“乘方之积”的关系）。前面说过了，这样做从学术上说完全可以探讨，但要考虑操作的便利性——涉及人们提出量纲的目的性。

序数效用论的相同偏好次序是指偏好无差异的消费束集合吗？这不是“等效用量”？为什么是“同性质”？

基数效用论的“同性质”是指各个不同种类的效用有统一的满足感性质。

能否说基数效用论的“同性质”是序数效用论“同性质”的基础和前提？

“如果允许lnx中的x有量纲，那么lnx也要有量纲，。。。。。”

为什么？X可以是本身指数为1而其它基本量指数为0的量纲。lnX 则不必有量纲，为什么一定要有？

序数效用论中，只能讨论两个人的偏好次序是否相同，而不能讨论谁获得的“效用”更大——这是序数的性质。如果两个人对同一事物的偏好次序相同，我们就说他们的偏好是“同性质”的——当然这么说可能产生歧义，但序数效用的本质就是（偏好）次序——这时我们可以用同一个（序数）效用函数来表达两个人的效用。

从数学分析讲，序数效用与基数效用的区别是两类数的区别。序数效用论中也可以用一个效用函数来描述偏好，但该函数值是序数的，而非基数的；该函数值越大，表明对应的消费者对自变量的偏好越优先。表达同一偏好（次序）的（序数）效用函数可以有无数个（可以通过单调变换实现）。

序数效用论的提出，其中一个原因正是考虑到人际效用“量”的“不可比较”或“不易比较”。我们不能根据两个消费者的序数效用函数的取值来比较或说明谁获得的效用“更大”（这是违反“序数”的意义的；同时，表达同一偏好次序的效用函数可以有无数个），但可以比较他们的偏好次序是否相同。

基数效用论的“同性质”是序数效用论“同性质”的基础和前提，这句话的模糊性太大。从数学上讲，我们可不可说“基数的性质”是“序数的性质”的基础和前提呢？

量纲就是表达某量与基本量的“乘方之积”的关系，如果“X可以是本身指数为1而其它基本量指数为0的量纲”，那么X是不是基本量？如果不是，则按此说法，要么X就是无量纲的（因为其他基本量指数为0）；要么X本身也是基本量——而“基本量的自然对数”不是现有的量纲定义的内容，所以要修改量纲的定义，或对“基本量的自然对数”补充量纲的定义。因为我们既然提出了“基本量的自然对数”这个量，就要说明其他量与该量的关系（即量纲运算），这种说明也是说明“基本量的自然对数”是何种量纲的过程。

量的乘与幂会表现在量纲上，为什么其他运算不能表现在量纲上？为了避免其他运算也表现在量纲上的麻烦——或者说我们定义量纲，不是为了反映某量与基本量在其他运算方面的关系，所以我们规定参与其他运算的量是无量纲的，这样才能贯彻量纲的定义——某量与基本量乘方之积的关系。

“人们对利率的看法是一致的，即单位时间内的变化幅度。”这样说当然没有错。

但熊彼特说，经济学的任务是找出决定经济现象的非经济原因。是什么隐藏在时间面纱的后面在决定利率呢？是流动性、偏好还是稀缺，还是别的什么？

关于序数效用请教几个问题：

1、不同人的相同偏好次序是否意味着这些不同人选择某种消费品的数量会一致？如果不是那么确定这个相同次序有什么作用？ 基数也好，序数也好，个人理解都是针对一个消费者而言的。不同的消费者之间效用无可比较也无须比较。请讲解一下不同消费者效用比较的必要性或现实意义。

2、传统说偏好决定效用函数；为什么不是效用函数值决定偏好？

3、“该函数值是序数的，而非基数的；该函数值越大，表明对应的消费者对自变量的偏好越优先。”怎么理解“序数函数值”？所谓“函数值越大，。。。。”不是基数性的值越大吗？ 一个基数性函数值越大表明对自变量的偏好越优先，如不是这个意思，望讲解。

4、所说“基数效用论的“同性质”是序数效用论“同性质”的基础和前提”，意思是只有承认不同消费品提供同一性的效用，不同的消费品束之间才可以（依据这个效用值）比较大小。错在哪里？

经济学的基本量是否要沿用物理学的基本量？可能是要研究的。一辆汽车，这个辆能说不起到量纲的作用？但它既不是体积，也不是重量，也不是两者的乘方积。但它不能与一把餐桌相加。不知经济学是否有自己的量纲体系。

从数学上说，X可以有“量纲”——假定是经济学的基本量。而lnX则可以是无量纲的值（超越数？）。这样的理解有何不合理？

量纲与单位是不同的。量纲强调的是某量与“基本量”的“乘方之积”关系。在物理学中，只有7个基本量。“辆”、“次”、“个”、“弧度”等并不计入“基本量”，它们可以是“单位”，用这些单位所描述的量是无量纲的量——与“基本量”的“乘方关系”是“零指数”的。

经济学没有像物理学那样的量纲制，因为经济学没有规定统一的“基本量”。

如果规定某量（设其有量纲）的乘方（这种运算关系）在量纲上亦表现为对应量纲的乘方，为什么规定“该量的自然对数（这种运算关系）”就是无量纲的？运算的平权性也应体现在量纲运算上，正是为了照顾这种平权性，我们要求自然对数中的自变量是无量纲的。如前面已经说过的一样，既要照顾运算的平权性，又要照顾量纲所表现的“乘方之积”关系，我们要求其他函数的自变量是“无量纲的”。已经反复说了，你重新定义（规定）量纲制不是完全不可以，但要想到达到何种目的及其简洁性。

“不同人的相同偏好次序是否意味着这些不同人选择某种消费品的数量会一致？”

举例说可能更明显一些。“相同的偏好次序”就是指，两个消费者都认为（2个面包 1瓶可乐）至少不比（1个面包 2瓶可乐）差；而（4个面包 2瓶可乐）至少不比（2个面包 1瓶可乐）差。不知这个例子能否表达“相同的偏好次序”的含义——对于各种可能的商品束（当然也包括其中量的因素），两个消费者对它们的排序都一样。

我们是根据“偏好公理”理解（理性的）偏好的，不是首先从数的意义上表达偏好的。在对偏好追加进一步的假设之后，我们得以用数来描述偏好——效用函数的提出依赖于进一步的假设。如果说谁决定谁，这更像一个哲学问题了。你完全可以从另一个角度出发做出新的经济学理论，从学术意义上说这是允许的。

至于“越大越优先”的问题，这可能要到数学书中寻找你想要的答案。我们用数来表达次序（从而提出“序数”），就必须对“数”与“次序”规定一种“对应”关系。这也就是后面所说的，可不可以说“基数的性质”是“序数的性质”的前提？本人不是学数学的。对于“数”与“次序”的对应关系（从而序数的提出），应该如何精确表达其中的逻辑，你从数学家那里会得到更满意的答案。（如果你是学数学的，我就更不该多说了）

假定某量e量纲为克，其平方量X的量纲为克*克，那么是否可以有 2=lnX？这不就是对数的变量有量纲，而对数本身无量纲吗？或者说，是否可以当底为有量纲时，真数也允许有量纲？

量纲似乎是单位的总结和归纳，而且特定于物理学的范畴。因此单位也有量纲的某些性质，或量纲的性质是从单位来的。比如不同量纲的不可加性，来源于不同单位的不可加性。在这个意义上，无物理学的单位（基本量），就不能认为也无量纲的某些性质。比如消费品的单位虽然不属于量纲（物理学量纲），但不同的单位仍然不可以相加。为免歧义，也许就讨论单位更好。比如是否X允许有单位而lnX可以无单位？这样也可能会衍生出经济学的量纲体系。