个人愚见，应该不存在一一对应的关系吧。
MLE能表示成参数的任一充分统计量的函数，即充分利用了样本中所包含的参数的信息，当样本容量n固定时，在某些分布族中就是MVUE或者接近于MVUE。
基于充分完备统计量的无偏估计一定是MVUE，两者还是存在很大区别的。至少我觉得从考虑的角度，思想上不一样。
只是个人意见，我数理统计也学得很肤浅。
楼主还是再参考一下相关的书籍比较好，也可以自己推一下，应该能看出两者的不同之处在哪里，关系怎样。

我是一个本科生，今年才学了概率论与数理统计，了解也不多。说说我对MLE与UMVUE的理解，不一定对你有帮助，只是想交流学习。
    MLE是用极大似然估计法得到的未知参数的估计。极大似然估计法得思想是把样本值作为一个事件，得到这个样本即这个事件已经发生了，我们有理由认为这时的未知参数的值是使这个事件发生概率最大的值。在这个思想指导下，建立似然函数，求使其最大的未知参数的值作为未知参数的极大似然估计即MLE。
    考虑参数估计的有效性与充分统计量时，教材引出一直最小方差无偏估计。如果有一个未知参数的无偏估计，在参数空间上，其方差小于等于任何其他估计的方差，则称这个估计为最小方差无偏估计，记为UMVUE。UMVUE的有效性高于其他估计。一般的，如果依赖充分统计量的无偏估计只有一个，则它就是UMVUE。
    MLE可以用极大似然估计法求得，而貌似在我所学的范围里还没有直接求UMVUE的方法，只是判断一个估计是不是UMVUE。UMVUE必然是无偏估计，而MLE未必是无偏的，比如总体方差的极大似然估计就不是无偏的估计。我觉得他们没有什么直接的联系，MLE多数情况下不是UMVUE。
    也许我学的太少，没弄清他们的联系，说的也有不准确的地方，请高手们指点~

没有直接的联系
是从两个不同“标准”建立的估计

楼上正确

没有直接的关系

都最小化经验风险？ 按Vapnik的理论