我又仔细思考了一下儿，觉得这个解法好象有问题，又好象没有问题。

原因如下，如果考虑价格在内的因素，从利润最大化或者成本最小化的角度出发，应当在边际效用除以相应的价格下取相等；

但是，如果不考虑价格因素，只考虑题目中要求的三个变量，则所求的最大化只是关于三个变量的效用最大化，那么价格P只不过是一个联系效用函数和限制条件的一个纽带，这样就避开了价格P的变化的复杂局面。

请大家多多指正。

这个题目肯定是没有解了！

“Q的边际效用递减，S的边际效用递增。”

首先谢谢斑竹的答复，我已经完全明白了。这个题的问题的确是出在没有一般性的最优值上面。下面我给大家详细解释一下

考虑更简化的问题

MAX(A,B)=A^aB^b

s.t.:AB=1

a<b

转化为无约束问题：

MAX(A,B)=B^b-a

可知在原来约束下没有最大值（最大值实际上是无穷，当且仅当B取无穷）

把A、B看作两种不同的要素，B边际报酬要高于A。此例显示要最大化幂积形式的目标函数就要求将所有预算尽可能的投入报酬更高的要素B。只有当A的投入量有明确的下限并且该下限不为零时，目标函数才能取得最大值。

拉格朗日法本身并没有问题。只是当原规划没有最值的时候，拉格朗日法就得不出答案。

上例可以看作是原题的简化，反映的问题是一样的。只是变量由两个变成了三个。在现实问题中由于商品的单位至少为1，因此有Q>=1的条件。这样就有最大值了。

to cluo：

原题MAX(M,S,Q)说的很清楚，P不是自变量，加入P只是为了让预算约束式显得更直观。实际求解过程中根本用不到P

to 万岁大中华

你的做法在有内点解时是对的，对角点解就失效了。还有这是效用问题。条件只是形如CD函数而已。

这道题是由一个模型变化而来的，当中漏了点条件。该题目的最大意义在于揭示了效用最大化要求把资源全部投入边际报酬最高的要素。

本题试解如下：

解：首先必须指出，题目中给出的约束条件，即M＋PQ≤m，是对于所有投入品的约束，即总成本约束，因此才会称为预算约束；

其次，在本题中的成本投入应当包括两种：一是计价品M，二是对于改进质量的投入P_S·S。由于计价品M是以货币投入量来代表的，因此我们可以得出如下的分析结论：

M + P_S·S ≤m　　　　　　　　　　　　　（1）

由效用函数最大化的一阶条件有：

MU_M/P_M＝MU_S /P_S　　　　　　　　　　　　（2）　

（注意，真正的成本投入品为S和M，不是Q）

MU_M/P_M ＝ Q^αS^β/P_M ＝Q^αS^β（P_M的单价为1）（3）

MU_S /P_S＝βMQ^αS^β-1/P_S； 　　 　　　 （4）

而由原题中给出的约束条件：M＋PQ≤m （5）

可以得到PQ≤m－M 　　　　　　　　 　 （6）

其中m－M为预算中对于S的约束，取最大值有

P_S·S= m－M，而PQ≤m－M = P_S·S；

假定厂商是理性的，那么他一定会在利润最大化的条件下运行，

得出PQ = P_S·S（M可以看作是沉淀成本）　（7）

那么P_S＝P·Q/S　　　　　　　　　　　　　（8）

已知条件有：P＝ηS^γ 　　　　　　　　 （9）

将（9）式代入（8）式中有，P_S＝ηS^γ－1·Q　（10）

联立（2）式、（3）式、（4）式、（9）式和（10）式有：

= P·Q = ηS^γQ＝βM　　　　　 　　 （11）

代入约束条件（5）式中，有M + βM = m（这里取了约束边界点）

从而得出M＝m/（1+β） （13）

由于厂商对于质量上的投入可以控制市场需求的价格，因此，厂商属于完全垄断市场地位，又由于M已经得出，并且为常数，因此，可以看成为沉淀成本。

该垄断性厂商的需求函数为： P·Q =βm/（1+β），它没有供给函数，但是有关于S的边际成本的变化，即P_S·S ＝βm/（1+β）＝P·Q；根据垄断性厂商的均衡条件有：MC＝MR，

即P_S＝P，那么可以得出S＝Q　　　　　　　（14）

将（9）式和（14）式代入到（11）式中，有

P_S·S＝ηS^γ－1·Q·S＝ηS^γ+1＝βm/（1+β）

从而可以求出P_S =｛βm/［（1+β）η］｝^{1/ (γ+1)}＝Q；（15）

将（13）式与（15）式代入到效用函数中，有

maxU（M，Q，S）＝m/（1+β）·｛｛βm/［（1+β）η］｝^{1/ (γ+1)}｝^（α+β）

即maxU（M，Q，S）＝（α/β）^{(α+β)/ (γ+1)}［m/（1+β）］^{(α+β+1)/ (γ+1)}

我觉得你举的例子有点问题，我也做了相似的数学模型，按照你设计的，是没有解，但是纯数学中没有考虑到经济模型中的其它约束，比如厂商的理性在于追求利润的最大化，你的数学模型中没有体现出来。

请仔细看一下儿我做的答案，如果正确，向版主建议给加点儿金钱，我被扣了许多了次了，每次都是10大元，可惜；如果不正确，请你提出建议。

这道题是由一个质量品效用最大化模型改进而来。原模型的确假设只能在S和M上投资。改进后的假设为可以在Q、S和M上投资。也就是可以选择投入到少量高质量商品上或者是以同样的预算投入到较多的劣质品上。

针对本题，采用无约束规划法，必须对α－β／γ进行讨论，如果α－β／γ小于0，则质量S具有比较优势，应该将预算尽可能投入到S上，在Q>=1的条件下，原规划可以求得最大值。

如果α－β／γ等于0，则Q和S的规模报酬相同，两个要素可以有任意的投入组合。原规划可以求得最大值。（此时最大值仅和M相关）

如果α－β／γ小于0，则数量Q有比较优势，应该优先投入于Q上，原规划无解。意味着消费者将购买尽可能多的劣质品，而对于质量丝毫不关心。

α代表数量Q的规模报酬，小于0说明规模报酬递减。β代表质量S的规模报酬。γ代表质量S的规模成本。这里隐含的是Q的规模成本不变。即α／1和β／γ相比较。数值大的一方具有比较优势。

出现无解的原因

如果预算约束为aM^α+bQ^β+cS^γ=m的形式，规划就一定会有解。这是因为隐藏着M,Q,S>0的假设，使得M,Q,S都存在上限。而如果其中有两个因素同处于一个因子之内，就使得其中一个可能没有上限，从而会导致无解

我觉得你理解的有误，

关键在于，如果Q是投入品，那么PQ就没有经济解释，因为Q是被出售的，它的成本是由S和M决定的，因此，我觉得Q是产出，不是投入，它的大小由S和M共同决定。你也可以假定现在资本品为M，而在S方面的投入认为是劳动L，那么产出就是Q，这样，就好解多了。

如果只考虑边际效用的话，那么就没必要出什么约束条件，你只要全投在S上就成了，不然就不是效用最大化，还有，Q要大于1，那么M应当大于什么？只有质量投入、或者只有数量投入，没有M投入，恐怕不成。所以，Q不是投入，而是产出，在所有的经济学上都是这样规定的，在Q上投入的，就是成本，即生产要素的投入。在本题中我认为是S和M，而不是Q。

理解有误的是你不是我

再次强调这是一个关于质量品投入的效用最大化模型。这是站在消费者的立场上。Q是带给消费者效用的一个要素，和生产论中的要素不是一个概念，你可以理解为统计中的因子，其矢量方向和S垂直。Q的成本与M是无关的。下面详细解释这个问题：

质量品投入方式与效用

定义如下变量：

P_s单位质量因子的价格

P_Q单位商品的价格

Q商品数量

S质量因子总数

S_Q单位商品所含质量因子数

T技术等级（与S_Q 正相关）

解释方式a

不考虑商品数量Q，把商品看作是单纯由质量因子构成。将预算投入解释为质量因子总数和单位质量因子的乘积。

即m=P_sS

解释方式b

把商品看作可分的，将预算投入解释为商品数量和单位商品价格的乘积。把单位商品价格看作是单位商品所含质量因子数和单位质量因子的乘积。

即m=P_QQ，由于P_Q=P_sS_Q，因此有m=P_sS_QQ（也就是S=S_QQ，太显而易见了）

可以看出，解释方法a和解释方法b都有效，区别在于有S=S_QQ。也就是说解释方式b考虑了商品分割与商品规格。是否考虑数量因子Q对预算投入而言无关痛痒，但在效用最大化问题上会产生影响。

投入方式A

把效用看作只与质量因子总数相关。

即U=S^θ

投入方式B

把效用看作与数量因子和质量因子都相关。

即U=Q^αS_Q^β

本题的原型就是以投入方式A为出发点的。其经济含义意味着所有预算将用于提高技术等级，也就是提高P_S。而本题的改进点就在于以投入方式B为出发点，提出预算可以投资于低技术等级的规模扩张上，也就是不提高P_S而提高Q。或者说，本题考虑了集约式扩张和粗放式扩张两种情况。

投入方式A其实是投入方式B中令Q=1时的特例。在投入方式B的框架内，粗放式扩张可能达到比集约式更高的效用。而现实中用更多的劣质品代替少量高质品的现象比比皆是。比如消费者宁愿购买两袋低价方便面而不是购买一袋高价方便面。这就是本题的经济意义所在。

[此贴子已经被作者于2005-10-10 15:41:14编辑过]

所谓在Q上投入，指的是技术等级不变下的规模扩张。

形象的说，好比你本来的钱够买一袋素方便面。现在你的预算增加了。你有两种选择，要么所有的钱用来买一袋加肉的方便面，这就叫做在S（其实是S_Q）上投入；要么用来再买一袋素方便面，这就叫做在Q上投入。

整个问题只有一种成本，就是S_Q。由于采用粗放式扩张不会令S_Q上升，所以说Q的规模成本不变。而规模报酬指的是Q的增加带来的效用的增加。在这里S_Q相当于生产论中的要素价格。因此Q并不是产出。

显然并非“全投在S上”才是效用最大化，这取决于Q和S_Q的规模报酬和规模成本的比较。

可以设Q的最小值为0，但是显然不能允许Q取无穷小的正数。以本题的效用函数而言应当允许M取不小于0的数。

你前面给出的解法是从解释方法a出发的。

“那么P_S＝P·Q/S　　　　　　　　　　　　　（8）

已知条件有：P＝ηS^γ 　　　　　　　　 （9）”

（8）式实际上是P_S=P_QQ/S

（9）式实际上是P_Q=ηS_Q^γ

明白了吧，两个式子里的S只有当Q=1时才是相等的，这就是你用解释方法a来杂糅的结果

[此贴子已经被作者于2005-10-10 15:32:49编辑过]

我觉得PsS是整个质量提高的一个整体投入，不是单个商品质量提高的一个投入。

如果按你的理解，是否有解？那么M是多少？

M对于消费者的意义是什么？

消费者在购买时用考虑M吗？跑腿费吗？我想知道，如果对于厂商还可以理解，

这个问题从厂商出发与从消费者出发，可能是不同的。你事先必须指出是从谁出发。

“我觉得PsS是整个质量提高的一个整体投入，不是单个商品质量提高的一个投入。”

对啊，因为S是是质量因子的总数。你说的就是不考虑商品分割，或者把商品的数量看作为1，也就是令Q=1啊

表示单个商品质量提高的是P_sS_QQ,区别就在于S=S_QQ,也就是是否存在商品分割。把我的话再仔细看一遍吧

是否有解我不是讨论过了吗，现在附上答案。

αγ<β的时候，解为Q=1，S=[βm/η(β+γ)]^1/γ，M=γm/(β+γ)

当αγ=β时，解为M=m/(α+1)，S、Q可以是任何值

代进去即得最大值，形式太麻烦就不写了

M是计价品，也就是除了质量品外其他所有商品的总和，为了简化不考虑M因子在效用中的指数。可以理解为其边际效用不变。M不是跑腿费，跑腿多了只会有负效用，M投资多了会有正效用的。

如果把这个模型应用于生产论，Q可以代表劳动力总数，S代表劳动力的质量，M代表其他要素。最大化效用转化为最大化产量。预算约束转化为成本约束。当然参数上要有变化。经济含义是类似的。

本题试解如下：

解：从消费者采购商品从中获得的效用最大化来出发，我们有：

M是对于其他商品的购买，P·Q是对于A商品的购买，根据给定的效用函数和约束条件，我们有：

U（M，L，S）＝M·Q^α·S^β

约束条件M + P·Q≤m；

于是，根据效用最大化的条件有：

MU_M/P_M= MU_Q/P_Q= MU_S/P_S；

根据效用函数，我们有

MU_M/P_M = Q^α·S^β（因为M的价格就是货币的价格，即P_M =1）

MU_Q/P_Q = α·M·Q^α-1·S^β/（ηS^γ）＝（α/η）·M·Q^α-1·S^β-γ

MU_S/P_S =β·M·Q^α·S^β-1/ P_S

在本题目中，商品A的品质S关系到单位商品的价格，因此有P_S·S＝P_Q

于是P_S＝ηS^γ-1

那么MU_S/P_S =β·M·Q^α·S^β-1/ηS^γ-1＝（β/η）·M·Q^α·S^β-γ

根据上述的最大化条件有；

（α/η）·M·Q^α-1·S^β-γ＝（β/η）·M·Q^α·S^β-γ＝Q^α·S^β

从而可以得出：（α/η）·M·Q^α-1·S^β-γ＝（β/η）·M·Q^α·S^β-γ＝Q^α·S^β

Q＝α/β　　（1）

α·M ＝Q·ηS^γ即PQ＝αM　　（2），

将（2）式代入约束条件有M + P·Q＝M +αM≤m

从而M可以取最大值M＝m/（1+α）　　（3）

那么PQ＝αM＝αm/（1+α）　　（4）

将（1）式代入到（4）式，可以得到

P＝βm/（1+α）＝ηS^γ

即S＝｛βm/［η（1+α）］｝^1/γ （5）

将（1）式、（3）式和（5）式代入到效用函数中，得到：

maxU（M，Q，S）＝m/（1+α）·（α/β）^α·｛βm/［η（1+α）］｝^β/γ

化简后可得，

maxU（M，Q，S）＝α^α·β^β-α·［m/（1+α）］^(β+γ)/γ·η^γ/β