资料摘自:网络

四年一度的美国总统选举又到了，大家讨论比较多是候选人的丑闻、政纲及辩论表现等等，可是，背后更重要是候选人如何从部署在「选举人票」的规则中获胜。在2012年，美国总统选举是相当紧凑，虽然欧巴马（BarackObama）的得票率只是51.1%，但在选举人票的得票率却高达61.7%，看似轻松地击败了罗姆尼（Mitt Romney）。美国的总统选举制度是以选举人票（Electoralvote）方式选出，每个州都会有一定比例的选举人票，而候选人只要在某州份得票最高，就能全取该州的所有选举人票，即我们俗称的「胜者全取」（winner-take-all）。不过，究竟选举人票的分布以什么准则，每个州份该拿多少选举人票，大家却比较少留意及讨论。

建国由无到有，当年美国如何苦思选总统

1787年美国国内最大争议之一，是如何选举总统，曾有四种不同方案，包括：由国会间选、各州州长间选、全国人民直选及选举人票制度选出。在刚开始讨论时，州长间选及全国人民直选就已经被否决了。最后在谈论到对总统的弹劾权时，他们认为应该将行政及立法部门分开，两者互相独立，所以采纳了选举人票制度，而不是由国会间选。

在现时美国总统选举的制度，选举人票共有538位，包括100位参议院（UnitedStates Senate）议员、435位众议院（United States House of Representatives）议员及3位哥伦比亚特区（即俗称华盛顿特区，Washington,D.C.）。美国参议院不是以人口比例作分配，而是50个州自动获分配2个席位。值得讨论的部分，就是众议院代表及哥伦比亚特区（即俗称华盛顿特区，Washington, D.C.）合共438个选举人票的分布，以什么的数学模型去分配，就值得大家讨论。

18世纪的美国，人口分布极不平均，多数集中在近岸经济繁荣的城市。如果以人口比例作分配，当时有部分州份会一张选举人票都分不到。当时的设计为了保障小州份，即使人口不足，都会最少获分一席（不计参议院那两席），避免候选人过分倾向大州或人口较集中的城市。

总统否决了对家乡不利的选举人票方式

在1792年，美国国会通过了第一个的分配方式——Hamilton’s method，但被当时的总统乔治·华盛顿（GeorgeWashington）否决了，亦是美国总统历史上第一次使用了否决权。否决的原因是，这种编配方法会令到华盛顿的家乡——弗吉尼亚州（Commonwealthof Virginia）不利，由可以获取19席，变成只得18席。于是，时任国务卿、后来成为了美国第三任总统的托马斯·杰佛逊（Thomas Jefferson）提出了另一种分配方法——Jefferson’s method，国会通过之余，更获得总统同意，因可以令弗吉尼亚州得到19席选举人票。这个分配选举人票的方式就由1800年的总统大选开始沿用，直至1832年。

在1832年的美国总统选举，经计算的纽约州（State ofNew York）的议席比例为38.59，议席数目理应在38与39之间。但当年的计算方法却使纽约州得到40席，全因Jefferson’s method是对大州份比较有利。于是，当年的总统参选人，亦是双料议员（参众两院）丹尼尔·韦伯斯特（DanielWebster）发现这个问题，向国会提交议案，以另一种计算方法－Webster’s method去作出分配，令到小州份在计算余额时可以占优，国会最后在1842年通过，在1844年总统选举开始使用。

保障小州的角力，触发细致探讨计票的选举演变

在1942年，阿肯色州（State ofArkansas）的议员发现，以由数学家爱德华亨廷顿（Edward Huntington）及统计学家约瑟希尔（Joseph Hill）发明的计算方法——Huntington-Hill’s method，可以从另一个大州密执安州（State ofMichigan）手上拿多一席，所以他们以更保障小州份为由，向国会提交法案。在1940年的总统大选，密执安州是支持共和党，阿肯色州是支持民主党。于是，当时控制国会的民主党，便支持这个议案，这个计算方式沿用至今。

以下便会举简单例子，尝试说明不同计算方法的分别，及为何他们会令大州份或小州份占优。假设我们有一个国家，有A、B、C及D四个州份，人口分别为5900、2600、1600及700人，国会有12席。

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不论任何的计算方法，所有州份都最少会获分议席下限（Lowerquota）的数目，所以State A、B及C会先分别获分派6、2及1席。虽然State D的比例没有达到1席，但因确保每个州最少有1席，所以State D因此亦得1席。那么有10席已经分配好，余下的2席就需要按他们的余额作分配。不同的方法相异的地方，就是在计算余额是，以不同的除数（Divisor）去计算余额，以致在分配席位上，出现不同的结果。

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根据上述的例子，Jefferson’s method明显比Webster’s method及Huntington-Hill’s method，对大州是更为有利。因Jefferson’s method会令到人口较多的State A得到多一席，而另外两个方法却可保障小州State C可多获一席。那么为何Huntington-Hill’s method会比Webster’s method更令小州份得益呢？就需要比较他们的除数了。

Webster’s使用的是算术平均数（Arithmeticmean），而Huntington-Hill’s是几何平均数（Geometric mean），他们的分别如下：

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当几何平均数愈大，就会愈接近算术平均数，所以当小州取得的议席愈小，在Huntington-Hill的除数会愈小，令到余额较大，较有利争取剩下的议席。