（1）先证${{\hat{y}}_{j}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{w}_{ji}}{{y}_{i}}}$
利用残差制造者M进行证明：
$M=I-X{{\left( {X}'X \right)}^{-1}}{X}'$
$\hat{y}=y-e=\left( I-M \right)y=X{{\left( {X}'X \right)}^{-1}}{X}'y=Py$ ，
矩阵P的各元素为
$P=\left[ \begin{matrix}
   {{w}_{11}} & \ldots  & {{w}_{1n}}  \\
   \vdots  & \ldots  & \vdots   \\
   {{w}_{n1}} & \ldots  & {{w}_{nn}}  \\
\end{matrix} \right]$ ，因而对每一个${{\hat{y}}_{j}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{w}_{ji}}{{y}_{i}}}$
（2）接下来证$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{w}_{i}}}=1$该式相当于证明$PZ=Z$，其中$Z$ 为一列1。
由于$IZ=Z$ ，因而
$PZ=PIZ=P\left( X{{X}^{-1}} \right)Z=X{{\left( {X}'X \right)}^{-1}}\left( {X}'X \right){{X}^{-1}}Z=Z$
得证。

非常感谢您的反馈意见，我再想想办法

请注意回复中提到的如下事实: ``线性组合系数和为~1'' 这个结论成立是要有条件的.