Introduction to Stochastic Analysis
(by Z. Qian and J. G. Ying),
2008




Contents
1 Preliminaries 3
1.1 The monotone class theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Probabilities and processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Conditional expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Uniform integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Borel-Cantelli's lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Elements in the martingale theory 9
2.1 Martingales in discrete time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Doob's optional sampling theorem . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Doob's inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 The martingale convergence theorem . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Martingales in continuous time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Local martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Additional topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Brownian motion 23
3.1 Construction of Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Scaling properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Markov property and ¯nite-dimensional distributions . . . . . . . 28
3.4 The re°ection principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Martingale property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Quadratic variational processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7 Additional topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 It^o's calculus 43
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Quadratic variational processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Stochastic integrals for simple processes . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Stochastic integrals for adapted processes . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.1 Stochastic integrals as martingales . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.2 Summary of main properties . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5 It^o's integration for semi-martingales . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5.1 Extended to continuous local martingales . . . . . . . . . 56
.......................
CONTENTS v
7.2.1 Invariant and symmetric measures . . . . . . . . . . . . . 152
7.2.2 Dirichlet (energy) forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.2.3 Dirichlet spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3 Symmetric Markov processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3.1 Energy integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.3.2 Lyons-Zheng's decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.3.3 Fukushima's decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.4 Pinned di®usion processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4.1 Conditional di®usions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4.2 Cameron-Martin's formula for pinned di®usions . . . . . . 172
7.4.3 Brownian bridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.5 Additional topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8 Analysis of Dirichlet forms 183
8.1 Heat semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.1.1 Riemannian metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.1.2 The heat kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.1.3 The heat semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.1.4 Curvature and dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.1.5 Di®usion semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.2 Contractivity of di®usion semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.1 The integral maximum principle . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.2 Universal Gaussian upper bound . . . . . . . . . . . . . . 198
8.3 Hypercontractivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.1 Logarithmic Sobolev inequality . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.2 Ornstein-Uhlenbeck semigroup . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3.3 Gross' theorem on hypercontractivity . . . . . . . . . . . 204