An Introduction to Stochastic PDEs
July 23, 2009
Martin Hairer
The University of Warwick / Courant Institute
Contents
1 Introduction 1
1.1 Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Some Motivating Examples 2
2.1 A model for a random string (polymer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 The stochastic Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 The stochastic heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 What have we learned? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Gaussian Measure Theory 7
3.1 A-priori bounds on Gaussian measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 The Cameron-Martin space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Images of Gaussian measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Cylindrical Wiener processes and stochastic integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 A Primer on Semigroup Theory 28
4.1 Strongly continuous semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Semigroups with selfadjoint generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Analytic semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Interpolation spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Linear SPDEs / Stochastic Convolutions 44
5.1 Time and space regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Long-time behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Convergence in other topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Semilinear SPDEs 63
6.1 Local solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Interpolation inequalities and Sobolev embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Reaction-diffusion equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 The stochastic Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73