<P>看到大家在论坛上把弹性这个不是非常难的数学问题谈得如此热烈……不知道是应该高兴，还是烦恼……好吧，我也来阐述一下这个东西吧，希望能对需要的人有所帮助。</P>
<P>首先要举一个例子，不知道大家想没有想过这么一个问题：假设有两个数学量M和N，当然都是大于零的确定的实数，M乘以N的乘积很容易算，但是如果M增大（1+p）倍，而N减小（1-p）倍，那他们的乘积应该怎么变化呢？（0<p<1）其实就是M、N分别增大和减小相同的比例，比如M增大其20%，N减小其20%等等……</P>
<P>很多人会不经过思考的回答，相同！不知道你是不是也这么想呢？</P>
<P>但是其实，是肯定变小！证明也非常简单，如下：</P>
<P>M*(1+p)*N*(1-p)=MN*(1-p^2)（注意：*为乘号，^表示幂运算，亦即p的平方）</P>
<P>这是显然比MN小的数，注意p的取值范围，0到1之间的开区间。</P>
<P>现在把数学换成经济学，让M代表需求量，让N代表价格，且M上升(1+p)倍，N上升(1-q)倍，暂时先设价格下降的情况，改变其p、q符号就是价格上升。</P>
<P>弧弹性公式为：</P>
<P>e=-(ΔM/M) * (N/ΔN)</P>
<P>显然：ΔM=pM, ΔN=-qN ，e=p/q</P>
<P>那么如果e=1的话，可以得到p=q！</P>
<P>我们可以得到结论，当使用这样的弧弹性公式时候，e=1时，收入（就是MN的乘积）不可能不变！不论是上升还是下降。</P>
<P>看到这里大家千万不要对我扔东西！我话还没有说完！以上只是把大家的困惑说出来而已！下面才是我真正要说的！</P>
<P>如果我没有记错的话，弧弹性公式应该有两个才对。除了上面那一个失败的，还应该有一个！</P>
<P>另外一个老是被大家遗忘的弧弹性公式就是，把弧弹性公式中的M和N项替换成所谓的中点m和n。</P>
<P>这个中点是怎么来的呢？</P>
<P>如果在两组需求和价格之间变动，我暂时记为(M,N)和(M',N')，那么其中点为：</P>
<P>m=(M+M')/2,  n=(N+N')/2</P>
<P>从(M,N)变动到(M',N')和从(M',N')变动到(M,N)，在弧弹性e的算法上，ΔM和ΔN一样，但是M和N两项会不同，所以两个e会是完全不同的值，所以这个新的弧弹性算法采用两点中点的做法，来使得不论从从(M,N)变动到(M',N')还是从(M',N')变动到(M,N)，其e都相同。</P>
<P>我们就有了新的弧弹性公式如下：</P>
<P>E=-(ΔM/m)*(n/ΔN)</P>
<P>还是设从(M,N)变动到(M',N')，且变化分别还是p和q，有：</P>
<P>m=(M'+M)/2=(1+p/2)M, n=(N'+N)/2=(1-q/2)N</P>
<P>则</P>
<P>E=-(p/(1+p/2))*((1-q/2)/-q)=1</P>
<P>则有</P>
<P>p(2-q)=q(2+p)</P>
<P>得到</P>
<P>p-q=pq</P>
<P>我们再重新回到一开始的那个数学问题里：</P>
<P>当这次新的E=1成立的时候，</P>
<P>M'*N'=MN(1+p)(1-q)=MN(1-q+p-pq)=MN  （因为p-q-pq=0）</P>
<P>所以我们得到结论，使用中点运算得到的弧弹性为1，则收入不论是价格上升，还是价格下降，均不变！</P>
<P>写到这里，大家应该明白，到底该用哪个弧弹性公式了吧。</P>
<P>至于为什么会有一开始的那个弧弹性公式，我也来简单的解释一下，这还是要回到一开始的数学问题中去。</P>
<P>M和N是两个确定不变的常数，我们设p和q会变化，M'和N'的乘积是应变量，那么使用一开始的那个弧弹性，我们有</P>
<P>e=e=-(ΔM/M) * (N/ΔN)=p/q
如果要e为1，那么p一定要等于q才可以。我们就设p=q好了。</P>
<P>这时候虽然e为1，但是M'N'永远不可能等于MN。但是如果，我们把p无限的趋近于零呢？那会怎么样？下面是M'N'的公式：</P>
<P>M'N'=MN(1+p)(1-q)=MN(1-p^2) ，其中p=q</P>
<P>p无限趋近于零，M'N'和MN无限接近！这个时候，点弹性诞生了！所以一开始的那个初始的不能使用的弧弹性公式引出了点弹性的概念。这就是它的意义。</P>
<P>还有很多很多人问，点弹性似乎一点实际用处都没有嘛，干嘛要发明这个概念呢？这里我要说，点弹性的意义比任何弧弹性公式都要大得多！下面我也会慢慢解释其意义的。</P>
<P>任何书本都会这么写，点弹性为1，减低价格或提高价格对收入都不会有影响。这确实没有错，但只是在其价格微小变化的前提下，近似的认为没错。但点弹性的意义并非如此而已！</P>
<P>大家有没有做过这样的遐想，沿着需求曲线做一次遨游，并且时刻注意到达的那一点的点弹性，大家会发现，线性方程（y=kx+b这种类型的方程）当斜率小于零时，每一点点弹性都不一样！大致可以把这种线性关系的需求函数分为两个部分，一个部分是属于e>1的那一部，另一个部分是e<1的部分。在e>1的那一部分线段上面，降价（涨价）收入确实会增加（减少），而e<1的那一部分线段上面，降价（涨价）收入确实会减少（增加）。而点弹性为1的那一点，成为这两种现象的分界点！就好像在曲线函数上，斜率为零的那一点是曲线上升和下降的分界一样！在数学中，求极值极为重要，在经济学中，求点弹性为1的那一点也一样重要！</P>
<P>再给大家一个更好说明点弹性重要的例子，如果一个需求函数是形如Q=K/p(K>0)，这样的双曲线函数，大家可以证明一下，该需求不论p在什么值，点弹性都是1，亦即点弹性处处为1！这种需求函数下，不论价格上涨或是下降，不论上涨多少或是下降多少，收入都不变！这是为什么呢？就是因为在价格上涨或者下降时，沿着曲线向上或者向下的过程中所有的点弹性都是1，但是在线性需求中并不是这样！</P>
<P>所以，由于价格变动造成的需求变动，如果其移动轨迹上处处点弹性为1，则收入不会变化！</P>
<P>好了，终于写完了，不知道大家数学掌握如何，总想写的简单一些，让大家能够明白这个道理。对于弹性如果有更大的疑问，请大家自行翻阅数学书籍，因为说到底，弹性是一个数学概念，而非经济学提出的。</P>