微分几何学历史简介

我们借用杨振宁先生的以下诗句来开始对几何学的一个简介：

天衣岂无缝，匠心剪接成。

浑然归一体，广邃妙绝伦。

造化爱几何，四力纤维能。

千古寸心事，欧高黎嘉陈。

最后一句诗提到了五位伟大的几何学家：Euclid, Gauss, Riemann, Cartan, 和陈省身。 其中，Euclid为古希腊人，Gauss和Riemann为十九世纪德国人，Cartan为二十世纪法国人。 陈省身先生二十世纪三十年代在清华大学数学系读硕士，抗日战争中在西南联大任教授，现定居于南开大学。下文参考了他写的“九十初度说数学”。
几何是geometry的音译。其词头geo是“土地”的意思,词尾metry是“测量学”的意思, 合起来是“土地测量学”的意思。这反映了几何学起源于实际问题。
Euclid写了一本书“Elements”,中文译名为“几何原本”，内容包含平面几何学、空间几何学和数论，总结了古希腊的很多数学知识，可能是从古至今影响最大的科学著作。
中学课本中的平面几何学内容大都来源于“Elements”, 从中可以学到古希腊人用以逻辑为基础的理性思维进行科学研究的方法。Einstein认为一个人如果在年轻时对平面几何从没产生过兴趣的话，恐怕很难在科学上做出重要发现。
几何学的下一个进展由哲学家Descarte取得，据说他身体不好，经常需要卧床休息，有一次看到在墙角织网的蜘蛛，受启发引进了坐标的概念。由此产生了解析几何学， 使得代数方法可以在几何问题中应用。例如，圆周、椭圆、双曲线、抛物线等古希腊人即开始研究的几何对象有很简单的代数描述。
解析几何学促进了微积分的诞生。由Newton和Leibnitz创立的这门学问在现代科学中的重要性是不用赘述的。 将微积分应用于几何问题的研究就是所谓微分几何。最初研究的是三维空间中的曲线、曲面。Gauss于1827年写了一本50页左右的小书，研究曲面的微分几何，包括大学学的微分几何的主要内容。这本书标志着微分几何学的诞生。Gauss当时主持一项土地测量的的项目，他写这本是为了给这项工作一个理论基础。Gauss也是非欧几何学（non-Euclidean geometry)的创始人之一。需要指出的是Gauss工作的主要领域是数论。
同Gauss一样，Riemann工作的主要领域也不是几何学，而是单复变函数，但他是现代微分几何与解析数论的创始人。在他为取得大学教授资格的公开讲演中，Riemann提出了微分几何学发展的新思想，其中包括流形、Riemann度量、Riemann曲率等重要概念。简单的说，就是用局部坐标和坐标变换来描述一个空间，用Riemann度量做最基本的几何量，空间的几何性质如弯曲程度由度量用特定方式决定。
Riemann的工作由Christoffel、Ricci、Levi-Civita等人发展，后来成为Einstein创立的广义相对论的数学基础。简单的说，广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说：时空的物理量（能量动量张量）等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。
Einstein的工作激发了数学家对微分几何的兴趣，从而极大地促进了这门学科的发展。数学家和物理学家当时关心的自然的问题是Maxwell的电磁理论的几何化和引力理论与电磁理论的统一。Einstein后期致力于大统一理论的研究没有取得有意义的进展，一个重要的原因可能是他没有利用广义相对论出现以后发展的几何学。
数学家Hilbert、Weyl和Cartan都对以上问题做过研究。他们的工作突出了流形上联络的重要性，他们都对数学上用来描述连续对称性的Lie群的研究做出过重大贡献。Cartan的工作为现代微分几何的发展奠定了基础。他引进的微分形式理论是研究流形的代数拓扑的基本工具，纤维丛及其联络成为几何学的基本研究对象。Weyl提出的规范原理后来被杨振宁等人发展为规范场论，成为各种统一理论的基础。杨振宁先生上一世纪五十年代提出规范场论时并不清楚与几何学的关系，后来人们逐渐认识到了它与几何学的一致性，引发了理论物理和微分几何的深入交流，产生了Donaldson理论，Seiberg-Witten理论、Gromov-Witten理论等。
陈省身先生的工作建立了流形的局部几何性质与整体的拓扑性质的关系。他引进的陈示性类是几何学发展的一个里程碑，以后的重要进展无不建立在其基础上，例如高维Riemann-Roch定理、指标理论等等。陈先生1984年度的Wolf奖的证书上写到：“他在整体微分几何上的卓越成就，其影响遍及整个数学。”

这里我们简单介绍了微分几何早期的一些历史发展（到二十世纪四十年代），我写的综述文章有更多的信息。完备准确的微分几何史只能等待陈先生这样的大师来写。对代数几何因为与本课程的内容相差较远则完全没有提及。但我想指出微分几何与代数几何是密切相关的学科，陈先生的工作也是代数几何的基本工具。 Fields奖获得者丘成桐先生的得奖工作一个在广义相对论领域(正质量猜想），一个 在代数几何（Calabi猜想）。后者在超弦理论中起关键的作用。 有趣的是其他得过Fields奖的亚洲数学家如Kodaira、Hironaka、Mori都是代数几何学家。
对于有志于理论物理特别是超弦理论的研究的学生来说， 微分几何与代数几何是必修的学科。对这一点有疑问的话，可以参看Brian Greene的通俗读物“宇宙的琴弦”(The Elegant Universe)，特别是第十章。去年夏天来到中国引起轰动的Hawking的重要结果之一是与Penrose利用微分拓扑证明的黑洞存在性。丘成桐先生认为Hawking在微分几何上的贡献胜过大部分的微分几何学家。见他的 讲话稿。
最后抄录我一次通俗讲演时所作的打油诗《场论有感》作结：

宇宙无穷秘，

万物皆是场。

百代谁奠基，

法麦爱外杨。

最后一句中五人为：Faraday, Maxwell, Einstein, Weyl和杨振宁。对他们的工作与几何学的关系感兴趣的话可以参看我的文章。