很简单，用立方差公式就可以推导出来。

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1，是恒等式，用这个移项可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
将n+1替换成n，n替换成n-1，代入得
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
……
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

谢谢，楼上两位都是高手呀。

应该用LATEX来编辑啊，

由完全立方公式$(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1$，移项得:$(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$,
将$n+1$替换成$n$, $n$替换成$n-1$, 代入得
\begin{align*}
n^3-(n-1)^3&=3(n-1)^2+3(n-1)+1,\\
\cdots &\cdots\\
3^3-2^3&=3\cdot (2^2)+3\cdot 2+1,\\
2^3-1^3&=3\cdot (1^2)+3\cdot 1+1,
\end{align*}
把这n个等式两端分别相加,得:
$(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2)+3(1+2+3+\cdots +n)+n,$
由于$1+2+3+\cdots +n=(n+1)n/2,$
代人上式得:
$n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2)+3(n+1)n/2+n$
整理得:
$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$