1 向量自回归（VAR）模型

1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

1.1 VAR模型定义

VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型

y1, t = f (y1, t-1,y1, t-2, …)

y2, t = f (y2, t-1,y2, t-2, …)

则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。VAR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。

以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例，

    y1, t = m1 + p11.1 y1,t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1 t

    y2, t = m2 + p21.1 y1,t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2 t                                  (8.1)

其中u1 t, u2 t ~ IID (0, s 2), Cov(u1t, u2 t) = 0。写成矩阵形式是，

   =++                            (8.2)

设，    Yt =, m=, P1 =, ut =,

则，   Yt = m + P1 Yt-1+ ut                                                (8.3)

那么，含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：

        Yt = m + P1 Yt-1+ P2 Yt-2+ … + Pk Yt-k + ut,  ut~ IID (0, W)               (8.4)

其中，

  Yt= (y1, t  y2, t …  yN, t)'

        m = (m1  m2 … mN)'

        Pj =,  j = 1, 2, …, k

        ut = (u1 t u2,t … uN t)',

Yt为N´1阶时间序列列向量。 m为N´1阶常数项列向量。P1, … , Pk 均为N´N阶参数矩阵，ut ~ IID (0, W) 是N´1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。