计算积分\[I=\underset{D}{\iint}\frac{3x}{y^2+xy^3}dxdy.\] 其中D为平面曲线\[xy=1,xy=3,y^2=x,y^2=3x\]所围成的有界闭区域。（华南理工2002 一，4）
解：
此题画出D区域，直接计算，会发现相当麻烦，且容易出错。采用换元法，则容易得多。
令：\[\left\{\begin{matrix}
u&=xy \\
v&=\frac{y^2}{x}
\end{matrix}\right.\]
积分区域：\[D\rightarrow {D}'\{(u,v)|1\leq u\leq 3,1\leq v\leq 3\}.\]
\[\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\frac{1}{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}=\frac{1}{3v}.\]
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\[\begin{align*}
I&=\underset{D}{\iint}\frac{3x}{y^2+xy^3}dxdy=\underset{D'}{\iint}\frac{3}{v+uv}\cdot \frac{1}{3v}dudv \\
&=\int_{1}^{3}\frac{du}{1+u}\int_{1}^{3}\frac{dv}{v^2}=\ln (1+u)|_1^3 \cdot \left ( -\frac{1}{v} \right )|_1^3 \\
&=\frac{2}{3}\ln 2.
\end{align*}\]
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