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1 Introduction to Probability Theory 11
1.1 TheBinomialAssetPricingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Finite Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 LebesgueMeasure andtheLebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 General Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.1 Independenceof sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.2 Independence of -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.3 Independence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.4 Correlationandindependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.5 Independence andconditionalexpectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.6 LawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5.7 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Conditional Expectation 49
2.1 ABinomialModel forStockPriceDynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 Anexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 Definition of Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3 FurtherdiscussionofPartialAveraging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.4 PropertiesofConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.5 Examples fromtheBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Arbitrage Pricing 59
3.1 BinomialPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Generalone-stepAPT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Risk-Neutral ProbabilityMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1 PortfolioProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2 Self-financing Value of a Portfolio Process
. . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Simple European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 TheBinomialModel isComplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 The Markov Property 67
4.1 BinomialModelPricingandHedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 ComputationalIssues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 MarkovProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.1 Differentways towrite theMarkovproperty . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Showingthata process isMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 ApplicationtoExoticOptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Stopping Times and American Options 77
5.1 AmericanPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 ValueofPortfolioHedginganAmericanOption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Information up to a Stopping Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Properties of American Derivative Securities 85
6.1 Theproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Proofsof theProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Compound European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 OptimalExerciseofAmericanDerivativeSecurity. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Jensen’s Inequality 91
7.1 Jensen’s Inequality for Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 OptimalExerciseof anAmericanCall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 StoppedMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 RandomWalks 97
8.1 FirstPassageTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2  is almost surelyfinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3 The moment generating function for  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.4 Expectation of  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.5 TheStrongMarkovProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.6 GeneralFirstPassageTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.7 Example: PerpetualAmerican Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.8 DifferenceEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.9 DistributionofFirstPassageTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.10 TheReflectionPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9 Pricing in terms ofMarket Probabilities: The Radon-Nikodym Theorem. 111
9.1 Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2 Radon-NikodymMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3 TheStatePriceDensityProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.4 Stochastic Volatility Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.5 Another Applicaton of the Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10 Capital Asset Pricing 119
10.1 AnOptimizationProblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11 General Random Variables 123
11.1 Law of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.2 Density of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.4 Two random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.5 MarginalDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.6 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.7 ConditionalDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.8 MultivariateNormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.9 Bivariatenormal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.10MGF of jointly normal random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12 Semi-Continuous Models 131
12.1 Discrete-timeBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4
12.2 TheStockPriceProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.3 Remainder of theMarket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.4 Risk-NeutralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.5 Risk-NeutralPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.6 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.7 StalkingtheRisk-NeutralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.8 PricingaEuropeanCall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13 BrownianMotion 139
13.1 Symmetric RandomWalk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.2 TheLawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.3 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
13.4 BrownianMotion as a Limit of RandomWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.5 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.6 CovarianceofBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
13.7 Finite-DimensionalDistributionsofBrownianMotion. . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.8 Filtration generated by a BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.9 MartingaleProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.10TheLimitof aBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.11StartingatPointsOtherThan0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.12MarkovPropertyforBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.13Transition Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.14FirstPassageTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14 The Itˆo Integral 153
14.1 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.2 FirstVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.3 QuadraticVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.4 Quadratic Variation as Absolute Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.5 Construction of the It ˆoIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.6 It ˆointegralof an elementaryintegrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.7 Properties of the It ˆointegralof anelementary process . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.8 It ˆointegralof a general integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162