小弟在版上潜水很久，最近尝试复刻了一篇经典论文，但还有些不太清楚之处，因此抛砖引玉，希望和各位宏观大大共同讨论============================
本文将详细解释1993年Huggett的经典论文：不完全保险经济中异质性行为者的无风险利率，并提供Matlab代码

原文：Mark Huggett(1993). “The Risk-Free Rate in Heterogeneous-Agent Incomplete-Insurance Economies.” Journal of Economic Dynamics and Control (17), 953- 969.

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在代表性行为者（representative-agent)模型中，计算出的无风险利率会显著高于真实的无风险利率（0.8%，见Mehra，Prescott，1985），而资本回报率又会过低，这就是所谓的股权溢价之谜(Equity premium puzzle)。这一问题的发生在于真实世界是偏离所谓的"Arrow-Debreu"完美市场。Arrow-Debreu个市场的一大特点就是所有行为者有完全保险，即可以任意借贷。在本篇文章中，Hugget发现在不完全保险的情况下（即有借贷限制），计算出的无风险利率会较代表性行为者模型中的低*，更接近真实值。

在有借贷限制且面临收入波动的条件下，人们由于不能完全保险，因此就要预防性存款（precautionary saving)。随着存款越来越多，债券市场无法达到均衡（出清），因此储蓄利率就要降低，以此促进存款向债券市场流动。

本文模型如下（原文第2节）：

将一年分为6期**，每期中行为者会得到一份收入，如果他有工作则得到eh，如果是失业则得到el。

行为者的目标是最大化效用，其目标函数为：（1）[LaTex]E[\sum_{t=0}^\infty\beta^tu(c_t)][/LaTex]

其中，\[u(c)=\frac{c^{(1-\sigma)}}{(1-\sigma)}\]，sigma是风险规避参数，sigma越高，行为人越规避风险（sigma等于0时行为人风险中性）

行为人的消费约束是：c+a'q<=a+e（2），但我们更在意r，因此将其改写为c+k'<=(1+r)k+w（3），其中c>=0, \[k'\geq \underbar{a}\]，是借贷限制。在本文中，一年有6期，一年的平均工资是5.3***，因此本文研究的借贷限制分别为-2，-4，-6，-8。综上，本文的目的是在（3）的约束条件下最大化（1），然后求出能使债券市场出清（净需求等于零）的无风险利率r。

为了求均衡****时的无风险利率，计算分为三步：

1.给定任意r，在这个r下求得行为人在工作或失业两个状态下的optimal policy function，即给定k时行为人如何选择k’。

2.根据转化矩阵计算财富分配*****

3.根据optimal policy function和财富分配计算债券市场是否出清。如果债券市场需求大于零，则降低利率（促使存款流入市场）；如果需求小于零，则提高利率。然后根据新得到的r重复过程1，2，3，直到债券市场出清。

本文结论（原文第5、第6节）见Table1和2。作者在sigma为1.5和3，以及借贷界限分别是-2，-4，-6，-8时分别计算了利率与之对应的价格。作者发现，随着借贷界限的提高（可借的钱越来越少时），利率会降低。这是由于人们能借到的钱越来越少，因此预防性储蓄增多，所以利率要降低以促使存款流入债券市场。而sigma从1.5提高到3时，人们的风险意识提高，预防性储蓄增多，因此对应的利率也降低了。因此本文证明了，在有无法被完全保险的各异性收入波动的情况下，无风险利率会低于代表性行为者模型下计算出的结果*。



*这个值我尚未找到，Hugget说他的计算结果比之低1个百分点，如有知道的人，请告诉我

**尚不清楚为什么要校准为六期

***尚不清楚如何计算

****原文第3节证明了这个均衡存在，本文暂不涉及。

*****Roman的Code中尚存在一定的计算问题

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接下来，我们将试图重复论文的结果（即Table 1与Table 2）。这里我将提供两份Matlab Code，一份是Brandeis大学George Hall的（http://people.brandeis.edu/~ghall/econ303/），一份是根据Queen Mary University of London大学Roman Sustek的Fortran程序改编的。这两个程序重复结果如下（Sigma=1.5)：

Credit Level	Hugget	Hall	Roman
-2	-7.10%	2.27%	2.23%
-4	2.30%	2.95%	3.61%
-6	3.40%	2.95%	5.33%
-8	4.00%	4.14%	5.65%

这两个程序都没有完全重复出Hugget的结果，但大致呈现了借贷界限与利率的反比关系。

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如果有哪位大大知道我的问题，求指教！
如果有需要Matlab代码的我可以再发，或移步：https://blog.csdn.net/Northernland/article/details/85898287