为什么会有马尔可夫过程

                        于德浩

                       2019.5.7

这篇文章是上一篇《股票价格的布朗运动》的补充。马尔可夫过程，是指一个随机运动的末态与很久远的初态无关，只与最近的状态相关。

一组随机数满足正态分布，如果是纯数学性质的，那么就有非常好的事例非相干性，没有时序性；而如果对应一个物理过程，相邻事例总是相干的，具有时序性。比方说，有20个数据点满足正态分布，期望值是0，标准差是1。如果是数学性质的随机数，若第一个观测值是-2，你猜第二个观测值及第20个观测值。你应该估计第二个值为0，第20个值也为0，因为0是最大概然值。

如果这20个数据，对应一个物理时序过程。若第一个观测值是-2，你猜第二个及第20个观测值。你应该估计第二个值为-1.5，因为从-2跳到-1.5比较现实，不大可能一下子跃迁到0；而第20个值，你应该估计为0，最大概然值。其实，不论你看到的第一个观测值是-2，还是+2，还是0.3，你都应该估计第20个观测值为0，这就是期望值的意义所在。而如果估计第二个观测值，你应该分别估计为-1.5，+1.5，0；这是与前一个数据紧密相关的。

马尔可夫过程存在的原因是因为受到高斯分布的定域完备性约束。我们以牛市中股价的上涨过程为例。我们假定，每月股价大约平均上涨+4%，每天波动1%，每月波动4%。如果股价从原点0%出发，平均来言，在第20天，这个周期末的落脚点应该在+4%处附近。

具体到微观路径，考虑到定域完备，第20天末态也有可能落在0%或者8%的左右一个标准差位置。如果前期，股价上涨很快，在0%-4%的期望值左侧空间只停留4天，定域完备的理论值应该是7天。如果后面股价在4%-10%处已经停留有8天，此时股价应该快速下跌2天至4%附近，然后再跌3天进入到期望值左侧区域。这最后的下跌3天，就有可能收盘至0%了。虽然，最后的20天落脚点在0%，是期望值+4%处的左侧一个标准差，但是，股价量子态填充却是完美的高斯分布。所以，当开启下一个20天股价运行周期时，就可以干净利索的以此为新的原点。也就是，只要第一个20天周期满足高斯分布定域完备，不论收盘点是0%或+2%或7%或-3%等等，第二个周期完全不受第一个周期的影响。

如果是第一个20天周期，期望值左侧运行5天，右侧运行15天，明显不满足定域完备。那么下一个20天周期，极有可能来回填那些可能的空缺量子态，这就是二阶马尔可夫过程。

不过现实中，我们很难区分两个周期的分界线。比方说，股价在10个交易日内大幅上涨12%。也许这是一个周期内；也许前面4天属于上一个周期，后面6天才是开启新的周期。在牛市中，下一个周期的期望值一般都要大于上一个周期的期望值。判断上一个周期的期望值的最好方法，就是最近一个高点下面附近的成交密集区。

也就是说，在牛市中，当股价刚从回调底部反弹至前一个成交密集区时，这还远没到止盈点；只有当股价创新高并超出一大截时，才是止盈点。一般来说，按照一个周期4%的标准差，一段上涨至少有10%的最大涨幅；而回调下跌也一般要超过6%。所以，当一个波段的最大涨幅不到10%时，不要止盈；同理，当回调少于6%时，也不要急于补仓。

当然牛市中，要保持50%的持仓待涨，这是大智慧。股价是极有可能一窜而上的。

马尔可夫过程，由于周期内的定域完备性，股价短期涨幅过大，必然会碰壁下跌。一般20天要填满10%的涨幅空间，可前10天就到10%处了，后面也就只能下跌回填了。当某个价格区间持续的天数不多时，这往往是股价回填的一个诱因。

随波逐流的事物往往具有马尔可夫过程。比方说，一小勺食盐的溶解扩散过程。N个钠离子，在一段时间后，总会有一部分跑到很远的地方，然后在新的原点开始扩散。不论初始位置在哪儿，最后的状态就是均匀混合的盐水，钠离子在三维的水域空间是平均分布的。  而不溶于水的碳酸钙粉末就不是马尔可夫过程。它们就会沉淀在瓶子底部，应该是一个二维的高斯分布，初始位置点附近最多，越往外越稀少。

从更大处看马尔可夫过程，就是要长期持股，忽略短期波动。不管你现在是10元买入股票，还是12元买入，当时看好像差好多；但20年后，股价都是200元。就是说，只要你买了股票，并拿住了；二十年后，你就是至少翻16倍的大赢家。如果当初，斤斤计较贵了20%而没买，或者股价刚涨了1倍就很快卖出了，这就是战略大方向上的错误。