请教一下为什么到期收益率越大，久期越小？谢谢。。。

关于到期收益率（Yield to maturity，YTM）和久期的关系，
我想我们可以从YTM的意义和久期自身的计算方法两个方面来看一下：

一、YTM的意义

YTM的定义（根据CFA的notes）：YTM is an annualized internal rate of return, based on a bond's price and its promised cash flows.

也就是说，YTM是一个收益率。
这个收益率的意义在于，对债券的每一期现金流(promised cash flows)，如果按这个收益率（YTM）折现，
那么所有折现后的现值之和就是债券的价格(bond price)。

这是从bond price是如何由市场决定的这个角度来理解的。
债券的市场价格为什么不等于面值，会和面值偏离多少？这就是YTM决定的。
YTM越大，对资本回报率的要求越高，贴现率越大，那么折现值越小，同样面值和票面利率的债券，市场价格就越低。

如果把上面这个逻辑反过来理解，也就是按计算的思路理解，
就像CFA的notes里面提到的，cash flows和bond price是市场上的可以获取的信息，
那么YTM是通过cash flows和bond price反推出来的(YTM based on bond price and cash flows)。

二、久期的计算

还是用帖子第一页那个例子吧：

久期的计算过程：
1. 每年末的现金流 折现后的现值 之和是10亿（bond price，这里假定是等于面值的），这里折现用的收益率是YTM=10%。
2. 权重 是 每期现金流的现值 占 各期现金流现值之和（10亿）的比例。
3. t * 权重 是 根据 各年的现值占总现值（10亿）的比例 对 年份（1，2，3，4，5）加权。
4. 久期 即 加权后的年数 之和（4.17）。

展示如下：

t     现金流 折现率 现值   权重   t*权重
1     1.00     1.10    0.91     9.09%     0.09
2     1.00     1.21    0.83     8.26%     0.17
3     1.00     1.33    0.75     7.51%     0.23
4     1.00     1.46    0.68     6.83%     0.27
5     11.00   1.61    6.83     68.30%   3.42
总和 =                10.00                   4.17

现在考虑，当YTM变大了，如15%，那么折现率变高了，债券价格下跌到8.32。
尽管各期现金流都因折现率提高而使得现值变小，但是期限越长的折现率因复利计算的原因就变得更大。
因此金额最大的一期现金流，即要返还par的最后一期现金流，贬值影响最显著，在bond price中的权重相对下降。
而最后一期现金流对应的时间 t （=5）又是最大的。
最终的结果是duration变小了（4.08）。

展示如下：

t     现金流 折现率   现值   权重     t*权重
1     1.00      1.15     0.87     10.45%      0.10
2     1.00      1.32     0.76       9.08%      0.18
3     1.00      1.52     0.66       7.90%      0.24
4     1.00      1.75     0.57       6.87%      0.27
5     11.00    2.01     5.47      65.70%     3.29
总和 =                    8.32                      4.08

YTM其实反映的应该是市场上关于资本回报水平的一种预期。
当整体的投资回报水平上升时，YTM在投资者的心目中是要水涨船高的。
在这样的预期之下，bond pricing的结果是债券的价格要下降。
因为这个票面利率才10%，YTM都15%了，投资点别的什么比这10%的票面利率要划算的。
这个债券的价格就下跌了。

你在前面的帖子里也已经提到了，久期没有经济意义。
从计算结果上，YTM提升，久期下降了。
从应用的意义上，久期是为了简化导数的表达的。
是为了衡量债券价格波动的敏感度的。
YTM大了，久期小了，bond price对收益率的敏感度下降了。
YTM再升1个bp，债券价格跌得就相对比以前要少了。

请问“低票面利息的债券比高票面利息的债券有更高的价格风险”是不是说低票面利息的久期更大呢？ 为什么？ 如果从麦考利久期公式来看，分子由于每一项都乘以了一个系数，当票面利息低，也就是每一期的现金流低时，应该比分母减小更多，整个久期也应该是比较小的

恩，想了很久的问题您给解释明白了，谢谢。。。

原因确实是票面利率低的债券久期更大。
这个论坛输入公式太麻烦了，简单说一下吧。
麦考莱久期的公式可以从下面这个时间加权的角度理解：

Duration = Sigma ( time * weight)

权重weight是每期现金流占债券市场价值的占比。
因此，票息低的债券，前期现金流相对小，weight变小。
最后一期现金流相对大，weight变大。
同时，前期time值是小的，而最后一期time值是最大的，
那么这样的一个加权汇总的结果应该是更大了。

久期应该是大的。

首先，多谢你的解答！
可是，前面几期现金流贴现后占债券价格比重减小，weight减小。time这些时候也比最后一期小，这些我懂了。
前面几个都是time*weight减小的，最后一期time*weight是增大的。在变动幅度不知道的情况下，还是没办法确定duration整体的变化方向啊

其实你的说法也正确，久期就是从等值PRESENT VALUE来看的本金的加权偿还期。

换个说法可能好点：
1、需要加权的对象（时间t）是固定的，1年到5年，是每一次产生现金流的时点。
2、weights的总和是100%，当权重发生变化时仅是在分配比例上改变，总权重100%是个约束概念。

那么我们假设，当赋给大数（5）更大的权重以后，小数（1-4）的权重相应地变小，加权合计是变大的。
举个极端的例子，大数=5，权重50%；小数=1，权重50%=100%-50%；加权合计=2.5+0.5=3
当大数权重增加至60%，小数权重40%=100%-60%，加权合计=3+0.4=3.4
结果肯定是变大的。
并且，当5的权重为100%时，加权合计为最大值5，当5的权重为0%时，加权合计值为最小值1。
伴随大数5的权重由0向100逐渐移动，加权合计值由1向5同向变化。

因此，简单地说，你配给大数更大的权重，加权合必然增大。

在票息这个问题上，用下面的表对比展示一下：
一、原始数据：
t        现金流        折现率     现值          权重        t*权重
1        1                1.10        0.91        9.09%         0.09
2        1                1.21        0.83        8.26%         0.17
3        1                1.33        0.75        7.52%         0.23
4        1                1.46        0.68        6.85%         0.27
5        11              1.61        6.83        68.29%        3.41
总和        =                        10.00                          4.17

二、票息由10%降为5%，久期由4.17增加至4.49：                                          
t        现金流        折现率      现值          权重        t*权重
1        0.5              1.10        0.45        5.61%        0.06
2        0.5              1.21        0.41        5.10%        0.10
3        0.5              1.33        0.38        4.64%        0.14
4        0.5              1.46        0.34        4.22%        0.17
5        10.5             1.61       6.52        80.44%        4.02
总和        =                          8.11                          4.49

希望这样解释能帮到你。

噢，是这样，十分感谢！

噢，是这样，十分感谢！

这个是这个样子滴，从久期的公式出发，其他条件一定的情况下，到期收益率越大，分母越大，久期就一定越小。只是公式本身的意义而已。实际上债券投资到期收益率与久期是两个独立的概念，一个用来刻画收益水平，另一个刻画风险程度。

从久期的公式出发，其他条件一定的情况下，到期收益率越大，分母越大，久期就一定越小。  您这句话我非常不明白，请详述

不知道理解是否正确，测度的是每一期的现金流对债券的贡献值
个人感觉久期的经济意义应该是久期与某一与时间有关的标准相比然后判断应不应该继续持有债券吧，至于什么标准我也不是太清楚

收益率大的话说明在收益在非常短的时间内可以弥补债券的present value，久期是对时间的衡量，所以久期比较小

久期还可以有另外一种理解。  按楼主的例子来说。对于贷款者，久期为4.17年，就相当于他买了一个4.17年的零息票债券。也就是说，原本是5年内每年收到利息，最后收本金的现金流模式，变成了4.17年那个时间点一下收到一笔钱，这笔钱的价值是按照市场利率投资获得的。               
这里最好画出2种现金流量图来对比，便于理解，比如A是正常的现金流量图，B是久期的现金流量图。  拿久期几个方面的应用来理解这种转换。
1. 期限加长，久期变大。       A的时间轴越长，每个支付点的现金流现值所对应的时间期限越长，加权的结果是久期越长。

2. 票面利率加大，久期变小。  时间期限短的付息点，所对应的现金流现值变大了，期限长的还本点，对应的本金的现值不变，加权的结果是久期变短。
3收益率变大，久期变小。 收益率是用来贴现的，时间期限长的还本点，所对应的现金流现值变小了，所以加权的久期变短。
4付息频率变快，久期变小。1年末付100，和半年付50，年末再付50.明显第二种久期小。因为1年末付息点的50对应的期限长，而半年付息点的50对应的期限是半年。 所以久期变短。

另外，关于久期可以描述债券价格变动和收益率变动的线性关系这点，反比应该没问题，因为收益率是贴现的，影响现值。 主要是对还本点本金现值的影响。
以上思路我也是最近想明白的，学了金融风险管理课程中，有对现金流映像cash flow mapping 的介绍，讲了本金映像  久期映像 和现金流映像。 以前对久期的理解也很模糊。
欢迎继续交流讨论。

所以从现金流映像 cash flow mapping 来看，4.17 就是把所有时点的现金流等价的转换成了在4.17点的一笔现金流。
和riskmetrics 中现金流 映像到险阵顶点的转换类似。要求做到：市场价值不变。市场风险不变 现金流入流出的方向不变。

http://en.wikipedia.org/wiki/Bond_duration#Macaulay_duration
这个网页上的FIG1 特别形象。可以看看！

棒，学习了

也不能完全说是债券贴现公式的求导吧，毕竟久期还加了时间这个因子。

您好，按我的理解，久期中的收益率是不是相当于财务中的内涵报酬率的概念。按照久期的计算公式，各时间点的现金流现值最后是等于该债券的市场价格，一支债券的市场价格是在交易场所是确定的，各期现金流也是确定，这样算出来的收益率就相当于内涵报酬的概念吧？

我的理解哈，当然不知道是否正确。票面利息不一样了，债券价格也不一样了，相应的折现率也不同了，各期现金流折现值也不一样了，同样相应的占比权重也变了，所以这样简单地分析是不是可能会不严谨啊？