2019年厦门大学数学分析试题

1、$f(x)$在$[0,2\pi]$上单调降，那么

                                                $\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nxdx< 0.$

2、设$f(x)\in C[0,1]$，则

                                           $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\int_{0}^{1}f(x^n)dx=f(0).$

3、设$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$，$f(x)$连续，$f(f(x))=x$，则至少存在一点$\xi$，使得$f(\xi)=\xi$成立。


4、设函数
                $f(x,y)=\begin{cases}
x^\alpha \sin \frac{y}{x} & , x\neq 0 \\
0 &, x= 0
\end{cases},(\alpha > 0)$

             试讨论$f(x,y)$在$(0,0)$的连续性，与可微性。

5、设$f(x,y)$在$\{B|:x^2+y^2\leq 1\}$上连续，可微，且$f|_{\vartheta B}=0$,求：

                                                   $\displaystyle \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\underset{\varepsilon \leq x^2+y^2\leq 1}{\iint} \frac{xf'_x+yf'_y}{x^2+y^2}dxdy.$


6、（错题？）设$f(x)$在$x=c$右可微，即

                                   $\displaystyle \lim_{x\to c^+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$

             存在，且大于零。证明：对于$\forall t\in(c-\delta ,c+\delta ),\delta > 0,$有$f(t)-f(x)>0$.

7、设$f(x)$导函数连续，在$(a,b+1)$上有：

                                   $f_n(x)=n(f(x+\frac{1}{n})-f(x))$.

           证明：$f_n(x)$内闭一致收敛于$f'(x)$.



附上原始材料：