数理经济学和中高级微观的学习者，对平新乔先生应当都很熟悉。
平先生治学应当是很严谨的，这一点要充分肯定。
但是，老虎也有打盹的时候，大师在阴沟里翻船也是常有的事情。
所以，我在下面所讲的事情，绝不意味着全面否定平先生，事先给各位打个预防针。

上一个平先生在其十八讲中的一个图。

按照平先生的意思，无差异曲线不可以出现凹向原点的情形，原因是违反了“公理5”。
平先生的“公理5”是指什么呢？没有截图，就直说了：“公理5”指无差异曲线要保持单调性，也就是说，只要向原点凸了，就不能再向原点凹了。
确实，凸向原点的无差异曲线，很容易处理其最优解问题。但是，用“公理5”消除掉凹的曲线，它就不存在了吗？
其实，只要正确理解无差异曲线的数理内容和经济学意义，根本就不用使用“公理5”来削足适履。
笔者经研究，认为，无差异曲线最适当形状是一个圆形或椭圆形，或更广义讲是闭合曲线，考虑到总效用多种多样，就是无差异圆簇或椭圆簇，更一般地讲就是闭合曲线簇。
先说一下无差异椭圆簇全部落在一象限的情形。
X、Y均为好品（good），即至少第一个边际上的效用是正值。
见图。

图中，点A为餍足点，餍足点的定义为：两种物品在此点的边际效用均为零。
我们以A为中心做分割线（纵向切点的轨迹和横向切点的轨迹），将椭圆簇分割在四个区域中。
其中，区域I中的无差异曲线符合：1、负斜率；2、凸向原点的条件。
无疑，区域I中，可以有最优解。以后我们把区域I称为“最优解区”。
区域II的性质是：该区域中的无差异曲线1、是正斜率的；2、凸向左上的。具体的意思：当Y增加带来的边际效用是负值，那么，为了保持效用无差异，就不得不增加X的消费，以抵消Y增加导致的总效用减少。明显可以看出，不用考虑预算线，在此区域中的消费组合也是经济不合理的，因此没有最优解。
区域IV与区域II相似。
区域III中，无差异曲线符合：1、负斜率；2、凹向原点。
由是观之，虽然该区域无差异曲线符合负斜率要求，但反映出另一种规则：曲线越高，总效用不但不提高，反而是降低；反之反是。
这从分布在四个区域内的外层椭圆上的四个红点，就可以直观地看出。它们有相同的效用，但分布在II，III，IV区域的组合，都是先天不经济的。所以结论是，这三个区域内是没有最优解的。因此可称此三个区域为“无最优解区”。
当我们接受了“无差异闭合曲线”概念后，许多特定的商品组合，就变得容易分析了。
比如，两个坏品（bad，在第一个边际上，效用为负），其落在第一象限的部分就是凹向原点的无差异曲线，而原点为餍足点，不用考虑预算线，最优解就是原点。
总之，无差异闭合曲线落在四个象限的情况不同，表达了不同的商品组合变化的情况。基本的规则是：落在2、3、4象限的部分是无意义的，不用分析；在第一象限中，分割线分割出的II，III，IV区域，因无最优解，可以不去求解。
最关键的一点是，无差异曲线去拟合哪类函数曲线较好呢？一般教科书提到科布道格拉斯函数或CES函数。但是，这两者在并不能很好地表现无差异闭合曲线的全貌。因此，较好的模拟，应当是圆曲线或椭圆曲线。


现在可以看出，平新乔先生提出的“公理5”，并无多大意义，甚至阻碍了我们认识无差异曲线。
抱歉，我这人就是这样，总忍不住要说话。说得难听是一回事，说得是否有理是又一回事。
各位请评价是非，而不要纠结我的态度，承让了。