用偏好代替效用，搞甚么公理，只是装神弄鬼罢了。

对中高级教科书中无差异曲线部分的批评和重建工作，已经告一段落，研究成果集中在本帖和另一付费阅读帖。
如果是平等交流、高水平过招，请阅读此两贴之后来战。
最恨石开石这样胸无点墨又自视甚高，面对批评还死皮赖脸之辈。
我没有义务对你等进行教育。

本来不想说的，现在真得说说了。你连有餍足量的无差异曲线都画错，我指出了，还不改。还说只是示意图，你的学术态度不认真，不严谨。

谈谈基数效用与序数效用
基数效用认为效用如同人的身高和体重一样是可以测量的，可以用基数表示。
序数效用认为效用的数值只是为了表达偏好的顺序，只能用序数表示。
到底什么是效用？
效用是消费者在一定时间内消费某商品一定数量获得的满足程度。
基数效用中的效用是效用的本意。序数效用中的效用其实是偏好，序数效用严格而言应称为序数偏好。以下，将序数效用改称序数偏好。
诡异的是基数效用宣称效用可以测量，但却一直没有找到测量的办法，只是随意举出一些基数的数值。
序数偏好逐渐取代了基数效用，序数偏好用无差异曲线研究偏好，给出了各种各样的无差异曲线方程——理论上很美，但实践上没什么用处。
基数效用的测量其实已经有了形象化的图像，但没有给出图像对应的方程。
笔者根据一定的假设条件推出了一种效用方程。
假设商品边际效用直线递减，假设商品餍足量一定为A，假设商品消费数量为X。
可以推出效用方程为：
U=X(2A-X)/A2(2是幂）
也可以写为：
U=KX/A
K=(2-X/A)，K值与消费数量X相关。
我们令消费数量是餍足量的一定倍数可得有关效用数量值如下：
消费数量X、K值、效用值U表
X           K        U
0.0A        2.0      0%  
0.1A        1.9      19%
0.2A        1.8      36%
0.3A        1.7      51%
0.4A        1.6      65%
0.5A        1.5      75%
0.6A        1.4      84%
0.7A        1.3      91%
0.8A        1.2      96%
0.9A        1.1      99%
1.0A        1.0      100%   
以上是最简单的效用值测量方法。如果边际效用不是直线性递减而是其它方式递减，会有其他形式的效用方程。
根据前面推出的效用方程，如果无差异曲线表示的是效用的数值，我们可以推出无差异曲线方程。
U=Ux+Uy=C
以上是无差异曲线的一般形式，C为常量。
令:
Ux=X(2A-X)/A2(2是幂）
Uy=Y(2B-Y)/B2(2是幂）
可推出：
（X-A）2(2是幂）/(2-C)A2（2是幂）+（Y-B）2(2是幂）/(2-C)B2（2是幂）=1
这是一个椭圆方程，C可以在2到0之间取任意值。
当C取2时，该椭圆方程不存在——变为点（A，B）。表示的意义是：Ux+Uy=2，总效用最大，为200%。
当C取0时，椭圆方程为：
（X-A）2(2是幂）/2A2（2是幂）+（Y-B）2(2是幂）/2B2（2是幂）=1
这个椭圆经过原点，表示的意义是：Ux+Uy=0，总效用为0。
当C取1时，椭圆方程为：
（X-A）2(2是幂）/A2（2是幂）+（Y-B）2(2是幂）/B2（2是幂）=1
这个椭圆与坐标轴相切于（A，0）与（0，B），表示的意义是Ux+Uy=1，总效用为100%。
如果假设消费量小于或等于餍足量，则椭圆簇仅仅限于（0，0）、（A，0）、（A，B）、（0、B）这四个点组成的矩形之内。
事实上，几乎所有商品对于消费者而言，均有餍足量。因此该椭圆方程可以看成是无差异曲线的一般方程。
序数偏好论者的无差异曲线方程属于奇思妙想的方程，只有理论意义。
基数效用的效用是效用，序数效用的效用是偏好。
边际效用递减，偏好有顺序。
效用、偏好与收入联系在一起是这样：
当收入不足时，未必很多商品品种都买，一般会选择偏好靠前的商品，购买数量未必达到餍足量。
当收入充足时，可能很多商品品种都买，购买数量会达到餍足量。

报纸文章，其中有无差异曲线椭圆方程，并举出几个特例。