Contents
1 Preface 6
2 Motivating Examples 8
3 Free Will and Determinism 9
3.1 Can free choice be predicted? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Is the world deterministic? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Is free will observable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 The problemof free will . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5 Arational illusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Free will and the decisionmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 The Principle of Indifference 21
4.1 Will a canonical space help? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.1 The canonical state space . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.2 Difficulties with a uniform prior on [0, 1] . . . . . . . . 23
4.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 And yet... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.2 Smooth beliefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1

5 Relative Frequencies 28
5.1 The law of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 The problemof induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.1 Hume’s critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.2 Goodman’s grue-bleen paradox . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.3 Kolmogorov complexity and its dependence of language 33
5.2.4 Grue-bleen again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.5 Evolutionary explanations . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Problems with the frequentist approach . . . . . . . . . . . . . 47
6 Subjective Probabilities 51
6.1 Linda the bank teller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Pascal’s wager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Classical vs. Bayesian statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3.2 The gambler fallacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3.3 Exchangeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.4 Confidence is not probability . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3.5 Classical statistics can be ridiculous . . . . . . . . . . . 62
6.3.6 Different methods for different goals . . . . . . . . . . . 63
7 ACaseStudy 68
7.1 Acharacterization theoremformaximization of utility . . . . 68
7.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3 Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3.1 A few definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3.2 A meta-scientific interpretation . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.3 Anormative interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.3.4 Adescriptive interpretation . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4.1 Semi-orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4.2 Other ways tomeasure utility . . . . . . . . . . . . . . 96
8 The role of theories 96
8.1 Theories are always wrong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2 Theories and conceptual frameworks . . . . . . . . . . . . . . 100
8.3 Logical positivismas ametaphor . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9 von Neumann and Morgenstern’s Theorem 104
9.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.2 The theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.3 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.3.1 The algebraic approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3.2 Ageometric approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3.3 Aseparation argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.4 The three interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10 de Finetti’s Theorem 118
10.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.2 The theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.3 Aproof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.4 The three interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11 Savage’s Theorem 124
11.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.2 States, outcomes, and acts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.3 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.3.1 P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.3.2 P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.3.3 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.3.4 Null events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.3.5 P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.3.6 P4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.3.7 P5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
11.3.8 P6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.3.9 P7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.4 The result for a finite outcome set . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.4.1 Finitely additivemeasures . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.4.2 Non-atomicmeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
11.4.3 The Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.5 The case of a general outcome set . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.6 Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.7 The proof and qualitative probabilities . . . . . . . . . . . . . 147
3

12 The Definition of States 150
12.1 Causality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.1.1 Newcomb’s Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.1.2 States as functions fromacts to outcomes . . . . . . . 151
12.1.3 Aproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.2 Hempel’s paradox of confirmation . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.2.1 Are all ravens black? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.2.2 Astate space formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.2.3 What is a confirmation? . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.2.4 Aresolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
12.2.5 Good’s variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12.2.6 What do we learn fromthis? . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.3 MontyHall three-door game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
13 A critique of Savage 163
13.1 Criticizing critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
13.1.1 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
13.1.2 The general lesson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
13.2 Critique of P3 and P4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
13.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
13.2.2 Defense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
13.2.3 State Dependent Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
13.2.4 The definition of subjective probability . . . . . . . . . 170
13.2.5 When is state dependence necessary? . . . . . . . . . . 172
13.3 Critique of P1 and P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
13.3.1 The basic problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
13.3.2 Reasoned choice vs. raw preferences . . . . . . . . . . . 174
13.3.3 Schmeidler’s critique and Ellsberg’s paradox . . . . . . 176
13.3.4 Observability of states . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
13.3.5 Problems of complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
14 Rationality and Objectivity 183
14.1 Strong and weak rationality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
14.2 Subjectivity and objectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
14.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
15 Anscombe-Aumann’s Theorem 188

16 Choquet Expected Utility 192
16.1 Schmeidler’s intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
16.2 Choquet Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
16.3 Comonotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
16.4 Axioms and result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
17 Prospect Theory 201
17.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
17.2 Gain-loss asymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
17.3 Distortion of probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
17.4 Rank-dependent probabilities and Choquet integration . . . . 206
18 Maxmin Expected Utility 208
18.1 Convex games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
18.2 Acognitive interpretation of CEU . . . . . . . . . . . . . . . . 210
18.3 Axioms and result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
18.4 Interpretation ofMMEU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
18.5 Generalizations and variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
18.6 Bewley’s alternative approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
18.7 Combining strong and weak rationality . . . . . . . . . . . . . 216
18.8 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
19 Case-Based Qualitative Beliefs 223
19.1 Axioms and result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
19.2 Four known techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
19.3 Inductive reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
19.4 Violations of the combination axiom . . . . . . . . . . . . . . 230
20 Frequentism Revisited 231
20.1 Similarity-weighted empirical frequencies . . . . . . . . . . . . 231
20.2 Intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
20.3 Axiomatization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
20.4 Empirical similarity and objective probabilities . . . . . . . . . 237
21 Future Research 239
22 References 241