本题试解如下:
(1)设市场需求函数为:P=P(Qj)。其中Qj代表由j个厂商构成的整个市场的总供给,即Qj=∑ q i (i=1,2,…j);那么我们可以得出:
对于任意厂商i的利润函数为:
Li = P(Qj)×q i – C i = P(Q j) ×q i - ai c(q i)
由利润最大化的一阶条件有:
∂( Li)/ ∂(qi)= [∂ P/ ∂(Q j)]×[∂(Q j) / ∂ (qi)]×qi + P(Q j) – ai [(dc)/d(q i)]
= [d P/ d(Q j)]×qi + P(Qj) – ai [(dc)/d(q i)]= 0
于是可以得到,对于厂商i将选择的产量约束函数:
qi = {ai [(dc)/d(q i)] – P(Q j) }/ [d P/ d(Q j)]
对于各个厂商的产量加总可以得到:
∑qi = ∑ {ai [(dc)/d(q i)] – P(Qj) }/ [d P/ d(Q j)]
即 Qj = {[∑ai× (dc)/d(qi)] – j×P(Q j) }/ [d P/ d(Q j)],其中(i=1,2,…j)。
当达到古诺均衡时的价格函数为:
P(Qj) = ai [(dc)/d(q i)] –[d P/ d(Q j)]×qi
从而有j P(Qj) = ∑{ai [(dc)/d(q i)] –[d P/ d(Q j)]×qi},
即P(Qj)= ∑{ai [(dc)/d(q i)] –[d P/ d(Q j)]×qi}/j
由于各个厂商的出售价格相同,那么我们由已知的各个厂商的成本及边际成本单调递增且凹,且a1>a2>a3……>aj,可以得出:各厂商的产量q1<q2<q3……<qj。
由于[d P/ d(Q j)]<0,所以–[d P/ d(Q j)]×qi>0,从而P(Qj)>ai [(dc)/d(q i)]=MCj
因此在多个厂商的生产达到纳什均衡时,生产是无效率的;然而,如果是独家厂商采用纯一级价格歧视的条件垄断,则是有效率的。
(2)如果是完全竞争的市场,那么对于每个厂商来说,达到市场均衡时的条件变为:
P= MCi
即MC1=MC2=……=MCj
于是有a1×[dc1/dq1]=a2×[dc2/dq2]=……= aj×[dcj/dqj]=P(Qj)
其中Qj=q1+q2+……+qj
从而有∑ {ai [(dci)/d(q i)] }=j P(Qj)
即P(Qj)= {∑ai [(dci)/d(q i)] }}/j
通过比较上面中计算得出的在多工厂纳什均衡条件下的市场价格:
P(Qj)= ∑{ai [(dc)/d(q i)] –[d P/ d(Q j)]×qi}/j>P(Qj)= {∑ai [(dci)/d(q i)] }}/j
可知在完全竞争条件下的社会福利状况大于多工厂生产纳什均衡条件下的社会福利状况。
而社会福利的变化为:∆W=∫[P(Q)-MC(Qj)]dQ。
其中Q的变化是从第(1)问中的Q值到第(2)问中可以求出的Q值。
希望大家多多指正。