在涨落中建立彩票混沌动力学模型
我们继续分析表（一）所记录的20080130-20080154每期红球的涨落情况。例如，20080133期33个红球的涨落高度分别为3、2、4、7、5、20、9、0、1、8、0、2、1、7、2、0、18、2、0、5、9、2、12、0、1、0、1、3、8、3、12、2、1，33个红球在第20080133期的涨落总高度H=3+2+………+1=150，平均总高度= =4.6
设想摇奖机每期不摇出任何一个中奖号码，那么在表（一）中所表现出的33个红球涨落都各增加1个单位，33个红球共增加33X1=33个单位。如果每期都摇出完全相同的6个中奖号码，那么这6个红球从第n期到第n+1期的涨落高度均等于0，6X0=0（个）单位。换句话说，每期摇出6个相同的中奖号码后，33个红球涨落的总高度应会从第n期到第n+1期减少6个单位，这时第n+1期的涨落总高度Hn+1比第n期的涨落总高度Hn会增加（33-6）（个）单位。显然，这种增长是线性的。令第n期到第n+1期的增长率为r
r = = Const
则Hn+1=Hn+rHn=(1+r)Hn
此时，该方程对于任何一期n 都成立
即 Hn=(1+r)Hn-1
∵ Hn-1=(1+r)Hn-2代入上式得
Hn=Hn-2(1+r)2
又Hn-2=(1+r)Hn-3
∴ Hn=Hn-3(1+r)3
同理
Hn=Hn-m(1+r)m
令n-m=0
则 m=n Hn-m=H0
代入上式得
Hn=H0(1+r)n………(1)
(H0表示33个红球初始时涨落的总高度)
这是一个典型的彩票线性动力学模型。是在彩票期期摇出6个中奖号码都完全相同，换句话说期期都出现6个重号的极端情况下产生的，在实践中是不可能的。因此，这个模型并不符合彩票涨落的实际情况。
当对表（一）作进一步分析，每摇出6个红球X1、X2、X3、X4、X5、X6， 不仅该期（n期）这6个红球从第n-1期到第n期的涨落高度都等于零，而且这6个红球在上期（n-1期）的涨落高度6＇n-1也全部消失。
＇n-1=
为上期该6个红球高度h1+h2+h3+h4+h5+h6
的平均值，这样该期总高度减少6′n - 1
。另一方面，每开奖一期摇出6个红球，第n 期33个红球涨落的总高度会增加(33-6）X1（个）单位。所以， 第n期33个红球涨落的总高度Hn实际为
         
Hn=Hn-1+(33-6)X1-6＇n-1
=Hn-1+(27-6＇n-1)………..(2)
由此可见，增长率r 应由两部分组成，一个是增加的部分r1（如27）,
一个是减少的部分r2（如6＇n-1 ）
r=r1-r2
显然，彩票涨落的实际增长率r不再是一个常数.
由式（2）知道，红球从第n-1期到第n期涨落总高度增长部分永远等于27(个）单位，而减少部分却是一个变量6＇n-1
。例如，查表（一）知从20080131期至20080141期，每期增加因素都是27，每期减少因素都等于本期6个中奖号在相邻上期的高度和，分别为16、35、25、20、25、13、34、41、12、35、29。那么第n+1期33个红球的高度和等于第n期33个红球的高度和，再加上增加的部分减去减少的部分。如第135期(n+1)的∑135为159。
　　　　∑135=∑134+27-25=157+27-25=159
∵ 25/27﹤1
∴
∑135=159﹥157=∑134
可见，当﹥１时，总高度减小（增长率减小）
　　　当﹤１时，总高度增大（增长率增大）
就是说，H=27 是涨落总高度变化的转折点。因此，我们可以假定，当引进一个因子　（１- ）后，增长率＝r1-r2将变为
　　　　增长率＝r（１-）
当 ﹤１，增长率增大，当﹥１，增长率减小，正反映了每期３３个红球总高度增长率的实际变化情况。将此式代入式（１）得
Hn=H0［1+ r( 1-)］n…………(3)
其中　n=０、１、２、３、……指开奖期数
　　　Ｍ为H的最大值　Hmax
　　　H0
、Hn
分别指初始期和第Ｎ期３３个红球的涨落总高度
当﹤１时，则Hn﹥H0，总高度增加
当﹥１时，则Hn﹤H0，总高度减小
式（3）就是我们要寻求的彩票非线性动力学模型或彩票混沌动力学模型。
显然，此模型与人口逻辑斯蒂（Logistic）模型
P=P0［1+ r( 1-)］n
的数字表达式惊人的相似。这表明，同一种数学模式，可以描述各种不同的自然现象，这也是科学发展的历史早已证实了的。
相反，同一种自然现象，从不同的角度、不同的方法，选择不同的坐标体系或变量、参数及其变换，也可以有多种数字模型。例如生态学中的虫口方程
　Ｘn+1=axn-bxn2
当重新定义变量和参数，或者调整变量的区间或者适当地选择坐标，可以把上式写成多种等价的形式。张建树等教授编著的《混沌生物学》一书中介绍了如下几种常见的标准写法：
Xn+1=1-μXn2
μ∈(0,2),Xn∈[-1,1]
Xn+1=μ-Xn2
μ∈(0,2),
Xn∈[-μ,μ]
Xn+1=rXn(1-Xn)
r∈-(0,4),Xn∈[0,1]
“前两种写法的参量相同，只是变量区间不同。第三种写法，只在参量很小时有点细致差别。”《注4》
由于X2+C与Ｐ＋rP(1-P)等价，在生物学中Xn+1=rXn(1-Xn)
这种“写法较前两种用得更多。”通常称为逻辑斯蒂方程（Logistic equation ）,这个方程已有近一个世纪的历史，但对它深奥而丰富的内涵是20世纪70年代才揭示出来。一维逻辑斯蒂映射这个简单又具有丰富内容的变换模式，很快在数学、物理、微生物、种群、人口、社会等各个领域得到了广泛的应用，并出现了多种书写形式和等价的变换模式。例如
Xa+1=L(Xn)
Xn+1=μXn(1-Xn)
Xn+1=f(μ,Xn)
Xn+1=aXn-bXn2
Pn+1=Pn+rPn(1-Pn)
Xn+1=1-μX2
P=P0［1+ r( 1-)］n
Xn+1=μ-Xn2
                                    
………
现代科学的发展表明，逻辑斯蒂映射不仅经得起理论推导与实践结合的检验，而且已被誉为当代最杰出的科学理论11个伟大方程式之一。(注5)
当今无论在理论上还是实验上研究复杂、非线性现象，都常把一维逻辑斯蒂映射作为原型，把一维逻辑斯蒂映射写成最简单、形象、明确和丰富内涵的形式Xn+1=μXn(1-Xn)。例如，常把虫子模型
Xn+1=aXn-bxn2
写成Xn+1=入Xn（1-Xn）
把人口模型P=kP0［1+ r( 1-)］n写成P=kP0(1-P0)
彩票的非线性动力学模型，自然也可以应用一维逻辑斯蒂映射在数字上多种等价形式的特点，通过适当的变换把式（3）改写成Xn+1=入Xn(1-Xn)的形式
对于式（3）的彩票混沌动力学模型
H=H0［1+ r( 1-)］n
通过在数字上叫做‘重正规化’（Yenormalization）的技巧处理。
令 Cn=
则Cn, ∈[0，1]
（大写C为“彩票”中“彩”的汉语拼音“Cǎi”的第一个字母）
那么式（3）也可以写成
Cn+1=μCn（1-Cn）……(4)
n=0,1,2,3,……
μ∈(0,4)
Cn, ∈[0，1]
μ是与Cn无关的常数，是彩票系统的控制参数。
这就是我们要建立的彩票逻辑斯蒂映射。它是一个非线性离散动力学方程，也是一个有限差分方程。式（4）与（3）是完全等价的形式，在彩票预测中，一般采用式（4）进行迭代运算。
Hn，是一个以混沌时间系列P（t）为关联变量的状态参数。Hn 既可以是每期33个红球涨落的总高度、平均总高度，也可以是每个彩球（红球或蓝球）在不同涨落次数中的总高度H或平均总高度
M，指状态参数Hn 在一定时间单位内的最大值。“一定时间单位“指彩票管理机构为避免摇奖机和彩球的自然磨损，采取“2 年更换1次彩球” “一年维护一次摇奖机”这个时间。
Cn=为彩票涨落密度。Cn指彩票在第n期的涨落密度，Cn+1指彩票在第n+1期的涨落密度。
通过“重正规化”的数学处理，彩票涨落密度是1个小于1的正数，并且是一个无单位的纯数。
式（4）适用于双色球的红球，也适用于双色球的蓝球，但它的正确性与其他的线性、非线性动力学模型一样，要以客观实践的检验作基础。在自然科学和社会科学中要建立一个动力学方程，往往在推导和演绎的过程中，经常会通过提出一些假定，进行一些变换或映射，引进一些数学因子等技巧，以达到检验的目的和预定的效果。翻开动力学的历史，无论是1837年首次由荷兰数学、生物学家弗尔哈斯特在人口模型=ky-by2 中引进的by2，后来科学家们在微生物菌落模型=kn-bn2 中引进的bn2，在人口模型P=P0［1+ r( 1-)］n   中引进的(1-)因子，……以及我们在彩票混沌动力学模型中H=H0［1+ r( 1-)］n    引进的( 1-)
因子，在彩票逻辑斯蒂映射Cny=μCn(1-Cn)中引进的Cn=
变换，都不是数学演释的结果，而纯粹是一种数学上的类此推理，是一种假定（当然这些假定都不是毫无根据）或者等价变换，它的有效性如何，需通过在理论的推导和经验、结果之间的比较去检验出来。
彩票的混沌(3)
四,彩票混沌动力学模型的彩票意义
（一）
彩票的自治动力系统方程，反映了彩票动力学系统规律的不变性
彩票混沌动力系统方程（式4）是一个不显含时间（t）的自治方程，彩票涨落密度Cn、Cn+1都是状态空间中的状态变量，式（4）具有时间平移不变性，明确地表示了彩票系统动力学规律的不变性。状态变量Cn随着时间的变化正是相空间中的轨迹（轨线），也是方程式(4）的解曲线，这些曲线与初始条件有关，相互临近的初始条件的轨迹（轨线）的集合构成了彩票的流（How）,它表示彩票系统运动的走势。因此，彩票混沌动力学方程描述了彩票混沌运动的规律，表示了彩票系统随着不断开奖所表现出的中奖号码状态变量的运动走势。