复杂系经济学导论（二）

一、以景气循环波形模拟为例
1、定式如下（图1）：
Y(t) = H(t)*{H(t) + R(t)*A_i*Σ[-SIN[2π*R(t)*f_i*t]]} : i=1 to 5;
图1：

2、关于负sin波
为景气循环建模时我采用负sin波，此即表现基波的过冲（overshoot）过程，而平衡轨道的过冲过程由密度依存型饱和函数之逻辑斯蒂函数（Logistic functions）表现。
2.1逻辑斯蒂函数写成下式：
⊿N(t+1) = K*(Nmax - N(t))*⊿N(t)
⊿=d/dt表示时间微分、N(t)表示时刻t的总人口、Nmax表示空间的收容边际、而k为常数。它表达了人口增加速度因饱和作用而降低之原理。
解为：
N(t) = (Nmax/T)*t - C*SIN[2π*t]: T=360
T设为360的目的是为合于完全饱和之际三角函数的周期；C为表达偏离平衡轨道之大小的常数（图2）。
图2：

如将函数轨道以基波即平衡轨道H(t)与偏差于平衡轨道的扰乱L(t)表达出来，则有：
N(t) = H(t) + L(t)
对应上式，可得：
H(t) = (Nmax/T)*t ; L(t) = C*( -SIN[2π*t])
t前半部分（0~180）L(t)水准低于H(t)，后半部分（180~360）则L(t)水准渐高于H(t)；设H(t)水准固定、规格化为0，前半部分（0~180）L(t)小于0，而后半部分（180~360）L(t)大于0。这里，L(t)对平衡轨道H(t)表示延迟同调，超过180则表现出了过冲、超越平衡轨道、最后又对平衡轨道饱和性收敛。景气模拟中的H(t)是消费需求——自是后话——而此处的负sin波表达L(t)即为生产、投资下消费变动的过冲现象。
3、关于基波H(t)
H(t)是把计算实验结果作成为类似于景气动向指数的线形傅里叶级数之规定波动。具体统计指标为日本政府统计的婚姻件数推移（图3），此即以世代增加之倾向求出社会消费购买力之变动的一种方法论。
图3：

4、关于要素波的周期群
要素f_i、A_i之值如下：
f_1 = 1/T_1 = 1
f_2 = 1/T_2 = 1.25
f_3 = 1/T_3 = f_1 + f_2
f_4 = 1/T_4 = f_2 + f_3
f_5 = 1/T_5 = f_3 + f_4
图3图表中T_1为20年；
振幅A_i以1/f光谱形式如下：
A_1 = 1/f_1
A_2 = 1/f_2
A_3 = 1/f_3
A_4 = 1/f_4
A_5 = 1/f_5
f_2为何=1.25？
三角函数微分（增减率）偏离了相位（phase）1/4=0.25，即设它为向1.25进行频率调制，因而第二要素乃是受到第一要素增减率影响的动态变化的谐波。