函数连续性与导数连续性

璐宝宝

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收藏 2010-08-19

函数f(x)在x=a处连续的充要条件是左极限等于右极限且等于该点的函数值，导数在x=a点存在的充要条件是左导数等于右导数，
左导数等于右导数就说明了导函数在该点存在，类比函数的连续性，左导数等于右导数等于该点的导数值，那么导函数在该点也连续，这种推理应该是错的，请数学高手指点，如果是错的，麻烦给我举个例子，谢啦

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rucsdy

2010-8-19 21:07:09

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rucsdy

2010-8-19 21:10:01

不会发图！！很简单，一个连续函数，有一点不连续，但是这一点有导数！！

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竹林真人

2010-8-19 21:13:20

可导必连续，连续不一定可导。

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璐宝宝

2010-8-19 21:13:52

3# rucsdy
不是只有在该点连续之后才有导数存在的可能吗？导数的定义式里有函数在该点的函数值，不连续导数根本不会存在！！！

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zhaojumping

2010-8-19 21:14:05

把导数本身看作一个函数的话那就应该是连续的阿

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璐宝宝

2010-8-19 21:15:30

4# 竹林真人
我要问的是在该点的导数已经存在，那么导函数在该点是否连续？

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moonstarpursuit

2010-8-19 21:17:02

楼上，你翻翻书好不好，可导必连续，你居然还能找到一个函数连续但是不可导的？

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qnsz

2010-8-19 21:17:41

没有左导数右倒数这东西吧，倒数如果存在，这点就是连续的。

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璐宝宝

2010-8-19 21:18:02

6# zhaojumping
我也有这个想法，可看李永乐的全书上面写的是不一定，也不给证明，直接说是在该点可导不一定在它的临域内可导，但是我还没见过这样的函数，也画不出来

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璐宝宝

2010-8-19 21:19:42

9# qnsz
有，同济版的高数上讲的，我问的是导函数在该点的连续性，不是原函数在该点的连续性

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璐宝宝

2010-8-19 21:22:16

8# moonstarpursuit
我说的是导函数在该点是否连续，不是原函数，原函数在该点肯定连续！

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moonstarpursuit

2010-8-19 21:23:15

不懂，为什么楼主要把这些东西都搅在一起。如果左导数=右导数=A,则根据定义可以知道函数在该点可导，并且导数也为A,由于可导必连续，则函数在该点处也连续。“左导数等于右导数等于该点的导数值”？？？导数值事先就有吗？它怎么求出来的啊，谁推倒谁啊？

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璐宝宝

2010-8-19 21:30:29

13# moonstarpursuit
书上的定义就是由左导数等于右导数推出的在该点导数存在，这是统计版高数说的，我也很疑惑，今天做题，有一道题解析是导函数在该点存在，不一定在该点的临域内连续，所以我就想知道为什么，但是我试过很多函数，还是找不出反例，郁闷！

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qnsz

2010-8-19 21:42:15

10# 璐宝宝
狄利克雷函数是这样吧

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warrenzhang

2010-8-19 21:45:49

qnsz 发表于 2010-8-19 21:42
10# 璐宝宝
狄利克雷函数是这样吧

狄利克雷处处不连续，不可导。

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qnsz

2010-8-19 21:45:54

那就是一阶可导，二阶不可导是吧？

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璐宝宝

2010-8-19 21:52:21

17# qnsz
我找到了这样的函数：f(x)=x^2*sin(1/x),x不=0
f(x)=0,x=0

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warrenzhang

2010-8-19 21:53:26

1# 璐宝宝
用latex打好了，你看看对不对。

1.pdf
大小:(14.38 KB)

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warrenzhang

2010-8-19 21:54:14

璐宝宝发表于 2010-8-19 21:52
17# qnsz
我找到了这样的函数：f(x)=x^2*sin(1/x),x不=0
f(x)=0,x=0

嗯，我也是这样想的。

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璐宝宝

2010-8-19 21:58:51

19# warrenzhang
我刚才在百度上搜到了这个函数，这个确实符合，还有一句话：f (x)在［a,b］内处处可导，而f `(x)导函数在区间内不一定连续，如果不连续存在的间断点只能是第二类间断点

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xuxubowen

2010-8-19 22:15:35

都是考验人？？

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jazc365

2010-8-19 22:15:37

布朗运动就是处处连续且处处不可导的函数。没具体看是什么问题就知道8楼的回复有问题。 8# moonstarpursuit

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soporaeternus

2010-8-19 22:18:02

分段函数f(x)=(x^2)*sin(1/x) x^=0,f(x)=0 x=0
在x=0处，连续，一阶可导，一阶导不连续

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jazc365

2010-8-19 22:18:55

导函数在某一点的连续性，还是得用函数极限去验证。而不是左右导数相等就可以了

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soporaeternus

2010-8-19 22:20:46

楼上完全正确
教材上也有

我上上楼举的反例就是这个意思......

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璐宝宝

2010-8-19 22:28:27

25# jazc365
是啊，我把左右导数与导数的左右极限等同了，没看好教材。。。

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璐宝宝

2010-8-19 22:29:23

26# soporaeternus
你看的是哪个版本的教材，我看的教材好像说的不多

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soporaeternus

2010-8-19 22:39:54

高等教育出版社的数学分析
以及它的习题精解

多年前的教材，今天看到再去捡的....
记得当年还是搞得蛮清楚的，现在又都忘了......

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zhaojumping

2010-8-20 03:13:11

~~~~~~~~~~~~~~~

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