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趣话“不动点定理”
——从库恩先生的盆栽技术谈起
在1976年的一次国际数学会议上,美国普林斯顿大学的哈德罗.库恩教授宣读了一篇奇特的论文。大家知道,N次
方程在复数范围内有N个根,但除N=2和少数例而外,要找出N个复数根是很困难的,你想解一个复数系数是N次的方程
Zn+a1n-1+……an 吗?那么,请你看看库恩先生的表演吧:他准备了一个培养皿和一个立体大篱笆,篱笆越往上越密。然
后要把你要解的方程的信息“告诉”培养皿。皿内吐出几个新芽,芽变成藤,飞快地攀上篱笆,一层一层往上穿。最后,
每根藤愉好指向方程的一个根,于是方程的N个根就被找出来了。
与会者无不目瞪口呆,惊奇万分。植物竟会解方程!是在变魔术吗?不是的!任何高明的魔术师只能变出他事先
“知道”(暗中准备好了)的东西,决不可能变出他事先不知道的东西。这也浊神话,恰恰相反,这是科学。[这奇迹是
怎样创造出来的呢?原来库恩先生运用现代数学中的一个极为重要的定理,这就是拓扑学中著名的“不动点定理”。
我们先从一个有趣的问题谈起。某学生进城早晨六点从家里出发,下午六点到达。第二天沿原路返回,早晨六点离
城,下午六点到家。他对老师谈一上述经过。老师告诉他:“你知道吗?途中有一个地点,你昨天进城和今天经过那个
地方时,所用的时间完全相同。”学生说:“没有这么巧的事吧?我在路上走得时快时慢,有时还停下来休息、吃东西,
两次经过某地的时间怎么会完全相同呢?”老师说:“不是不可能的,而是肯定有这一点,虽说我不知道它到底在哪里。”
究竟谁是正确的呢?
看起来,学生理由充足,振振有词;而老师既然“肯定”有这一点,又“知道”这点在哪里,似乎自相矛盾。其实,
老师是正确的。道理很简单,设想进城和回家发生在同一天——学生离家出走,而学生的“替身”则同时离城回家(途
中经过情况与学生回家完全相同)。那么两人必定路上相遇,进城和回家经过这相遇点的时间不是完全相同了吗?所以
老师是正确的。
这个有趣的问题给著名的“拓朴不动定理”提供了一个极这生动简明的例证。变换与不动点。
高中学生都知道:A,B两个集合,如果按某种对应关系,使A的任何元素在B中仅有唯一的元素和它对应,这样的对
应关系称为从A到B的单值对应,也叫映射或变换。如果是该变换下的一个不运动点。
函数关系g(X)就是一个从一个集合A(定义域)到另一个集合B(值域)的一个变换。如果g( x1)=x 1即x1通过
变换g后仍变为自己,x1就是函数g(x)的一个动点。所以要找函数的不动点,只需找出满足关系 g(x)=x的x值就行了。
如果g(x)=x2-2由x2-2=x得x2-x-2=0即(x+2)(x-1)=0,求出x1=-1,x2=2.所以g(x)=x2-2有两个不动点:-1,2它们满
g(-1)=-1,g(2)=2。
变换不一定限于数的对应关系。向量、矩阵、行列式、几何图形甚至时间和空间都可以作为元素进行变换。那末,
各种变换下不动点是否存在?有何特点和用途呢?这是现代数学各领域内极值而且引人入胜课题。