可用尖顶突变来描述。

  我们来分析尖角突变模型的性质：

这个突变的状态函数在投影平面上的投影像是艾菲尔铁塔，故得名为尖角：

　　　　b



P　　　　　r

A‘　B　　　　 　　　N　

              R                    

       a　          B`

M　　　　　　A　   　　　　　　　O

                                                                     

          r      b

                 a

                        　　x

                   α       β

    尖角突变模型的飞毯几何图形



图中，P＝AA‘BB‘为平衡曲面，O为中页，N为上页，M为下页，X为状态参数。

从尖角突变模型我们可以看出，其突变具有如下五种性质：

1、          双态性　在中间状态的平衡曲面上发生的行为在它的进展中必然发生分离，或者沿a　走上N面，或者沿b走上M面，而不会始终保持在中间状态PO区。这就是中间状态必然要分化，双轨制不能持久。东欧巨变很快走向民主，而百日维新夭折向封建主义故土。在强权向民主过渡的过程中，会出现一段短暂的中间突变期，这时间不会太长就会分离走向民主或退向强权。进入中间状态前，我们不能噪动；当中间状态来临时我们需敏感地发现“春江水暧”，及时调整我们的战略和工作方式，敢于迎接适应暴风雨的到来，而不至于无所适从，惊慌失措错过了机会，又进入痛苦的等待期。在这中间过渡期涌现“红尘多少奇才”，而“春史几番春梦”又是那么波澜壮阔令人叹为观止。其中浑沌态充满不确定性，变化无穷奇幻无比，全无规律而言，勇者智者胜之，怯者愚者败之，从中微妙仅存乎一心而矣。

2、   突变性　从飞毯图形来看，在P曲面上的折叠处O，是相当不稳定的区域，a行为沿着BB’, b行为沿着AA’ 发生中断和跳跃，中间不存在一个连续而且稳定的状态，就像水在零度时结为冰，而在零上时化为水，不存在非冰非液非气的状态一样。有些现象即虽有模糊中间态，也是很短促就过去了，事物在长期动荡痛苦的中间态不容易维持和正常发展的。我国价格双规制带来的混乱是人所共知的，一种社会制度或规章制度要么执行，要么放弃，时用时废国则不国，即使过渡用也不能时间太久，在浑沌的难产状态下延续维持，是要出人命的。“我们今天所感受到的社会弊病,大都是随改革而来,其根源都在改革.”此言不准确，其根源应为中间状态。过去是在一系统下的协调，而现在是在中间状态过渡中的动荡。
　　分娩阵痛是不宜长久的，解决的办法，彻底改革，及早跃到另一大系统中去。

在突变过程到来时我们需要的是飞跃，是革命，是爆发，否则将是死亡。在现代科学建设的大堤和测验维修手段面前，小浪渐蚀已经无济于事了只有足够能量的海啸一浪定乾坤。统计说明，在自然灾害中能逃生出去的人，都是一些意志坚强动作灵活的人，能及时离开危险的地带。当断不断反受其乱。时乎时，不在来。在地狱的入口处，任何犹豫不决和徘徊都是无济于事的。

3、   滞后性　从飞毯图形来看，在惯性、胶着的作用下，或者为重新聚集力量， a行为多走了AB‘段才沿着B’ B 发生跳跃, b行为多走了BA’段沿着A’ A发生跳跃，出现了时间差，这就是机遇。

毛泽东用兵奥妙之处，很会与敌人打时间差，大路朝天，各走一边。在a行为到达N地带时，b行为早已通过A‘A滑到M区域尽开颜了。社会发展政治改革的机遇，即现即逝，夫兵久而国利者，未之有也，此非迂儒书生所能想象的。天与不取，反取其咎。无为而治并非任何时间地点都可套用，萧规曹随曹参可，毛邓章法现在用则不可，为何？势不同也。现在中国急需要的恰恰是毛邓的阳刚开拓精神，而非面糊刷子。

4、不可接近性　行为a 、b不经过中间折叠叶O

，只能是在AA，BB之间跳跃。这说明事物的质变点就是民质事物的分界点、中断区。在事物和运动的分界线、关节点，最容易为人们忽略，也最难于被人发觉、看清和控制，在这个区域往往隐藏着客观世界变化的最神秘的秘密，是客观事物发生变化的关键所在。哈肯说得好，世界就是从旧结构――不稳定态――新结构不断变化的过程。从行为曲面在底面　上的投影可以看出，最初发生在中间状态r点上事件，必然要分叉为两个方向发展（α，β），这就说人必须在二者必居其一面前作出决策，鱼和熊掌不可兼得，又要科研，又要经商，自己只能陷入一种不稳定的有害局面。

5、   系统的发散性　在行为的出发点沿着分支线将事物导向廻然不同的方向和轨道的现象，便是突变的发散性。这就是说，系统在初态的微小扰动和不同选择，就会决定着并且发展成终态的巨大的差别。差之毫厘，失之千里。这样的事情我们见了太多了，所谓千古不同棋，世上那么多人下棋没有从头到尾相同的棋局。我有一朋友上世纪到美国留学现在已被评为世界名人；而他的同学和我们一些朋友未能出去，如今一事无成，大家常有一失足成千古恨的感觉。古有蜀二僧，一人一銎一钵到南海，一人准备车船一年尚未动身。

上世纪，1993年中印两国尚在同一起跑线上，因为我们选择了在原体制下的再试验，如今内忧外患一起来，而印度现在则成了世界第二软件大国。教人不胜痛惜。

上面我们讨论了尖角突变模型的五个性质，这五个性质，由于统一在相互关联的一个模型中。所以当我们发现某一事件呈现出尖角模型的其一性质，就应积极寻找其他性质，建立尖角模型来描述分析这个事件，及时调整我们的行为和思想，适应这一事件突变时期的到来。尖顶突变和蝴蝶突变是几种质态之间能够进行可逆转的模型。自然界还有些过程是不可逆的，比如死亡是一种突变，活人可以变成死人，反过来却不行。这一类过程可以用折迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述。所以，突变理论是用形象而精确的得数学模型来描述质量互变过程。

   

五、突变理论的应用

英国数学家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命——微积分后最重要的发现”。他还组成一个研究团体，悉心研究，扩展应用。短短几年，论文已有四百多篇，可成为盛极一时，托姆为此成就而荣获当前国际数学界的最高奖——菲尔兹奖。

  托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。

    突变理论提出一系列数学模型，用以解是自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石的破裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变……。

     托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。

    突变理论提出一系列数学模型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石的破裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变……。突变的关系，提出了动态系统、非线性力学系统的突变模型，解释了物理过程的可重复性是结构稳定性的表现。在化学中，用蝴蝶突变描述氢氧化物的水溶液，用尖顶突变描述水的液、气、固的变化等。在生态学中研究了物群的消长与生灭过程，提出了根治蝗虫的模型与方法。在工程技术中，研究了弹性结构的稳定性，通过桥梁过载导致毁坏的实际过程，提出最优结构设计……。

突变理论在社会现象的一个用归纳为某种量的突变问题，人们施加控制因素影响社会状态是有一定条件的，只有在控制因素达到临界点之前，状态才是可以控制的。一旦发生根本性的质变，它就表现为控制因素所无法控制的突变过程。还可以用突变理论对社会进行高层次的有效控制，为此就需要研究事物状态与控制因素之间的相互关系，以及稳定区域、非稳定区域、临界曲线的分布特点，还要研究突变的方向与幅度。

全无规律而言，勇者智者胜之，怯者愚者败之，从中微妙仅存乎一心而矣。
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兵无定法，书呆子们硬是照搬定律按部就班，头早落了地。

太高深了，，，，

是呀 再简单不过的道理 应用的时候 就会发现 幻妙无穷~~~ 但是 你看曾看到 一个理论的框架其实并不是 理论本身有多复杂 而是你用了什么样的工具 去解释 应用它了~~~哲学的力量 可见一斑~~~探究 数哲之理~~~理解 宇宙玄机~~~