困难的概率问题：流氓系统中的数字分布
我最近发布了一张表格，总结了各种数字表示系统中数字的概率性质，请参见此处。对于行为良好的系统（在我的表中列出的那些系统），该主题已经相当困难，但是某些系统是流氓，并且不具有这些良好的统计属性。在这里，我们将重点介绍这些鲜为人知的系统之一，尽管目前尚不确定它是否行为良好：弄清楚这一点是此问题的一部分。
问题在于使用以下无限乘积而不是熟悉的（行为良好的）表示形式（在十进制或二进制系统中），以某个底数b为基数大于或等于1的实数 x表示形式：
的一个（?）的被称为的（二进制）位X在该系统中。b = 2的情况已用于使用费曼算法计算对数，请参见此处。并非所有x都不能以这种方式表示。x在基数b中具有这种表示形式的必要条件是
最后不等式变为当所有的相等 一个（?）的是等于1。而且不是所有的b的工作。如果b > 2，则并非所有x都可以这种方式表示。对于给定的x，计算a（k）的数字的算法如下：
计算数字的算法
1.启动与一个（0）= 1，瓦特（0）= 1。
2.使用公式3.计算k > 0的a（k）。使用以下公式计算 w（k）  
问题
这里有一些难题：
b上的条件是什么，以保证可以精确表示所有小于上限的x（取决于b）？
对于给定的b，几乎所有x的数字分布是否总是相同 ？是0的50％和1的50％？是否存在分布，至少随着k变大而渐近？练习：随机选择10
数字是否是自动相关的，例如0后面是否跟0而不是1，反之亦然？
注意，生成数字的算法在大约30次迭代后变得非常不稳定。您可能需要使用高精度计算或其他技术来分析长期行为，请参见此处。
出于说明目的，以下是x = Pi / 2和 b = 2的前几个数字a（k），用传统的基数10表示时，将产生8个正确的小数：
Pi / 2 =（1，0，0，0，1，0，1，1，1，1，1，1，1，0，0，0，0，1，1，0，1，1，1，0 ，1、1、0、0、1 ...）
均衡分配
对于行为良好的数字表示系统，始终存在以下形式的两步迭代算法：
步骤1：x（k）= g（x（k -1））对于某些光滑，简单的函数g而言，既不取决于x也不取决于k
步骤2：某个基本函数h的a（k）= h（x（k））而不依赖于x也不取决于k
计算位数，请参见此处。函数g与平衡分布关联（请参阅相同的参考文献。）
这里也这样吗？我怀疑答案是否定的。是否存在可以使用的二元函数g和h，例如 x（k）= g（x（k -1），x（k -2））？对于行为良好的系统，这可能会导致一个随机积分方程，也许很容易求解。
最后，还有其他表现不佳的数字表示系统，例如埃及分数。
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