我们应该如何假定一个量，它是无限可分的，还是由非常多的极微小的不可分的部分组成？第一个假定，对大多数人而言，似乎比较合理，但是第二个假定在发现新事物过程中很有用，这使它表面上的一些荒谬之处显得不那么重要。有证据表明，古希腊的数学家们有的使用这个假定，有的使用那个假定。事实上，无论承认那一个假定都将会遇到某些逻辑上的困难。

　　公元前五世纪，由埃利亚哲学家芝诺想出的四个悖论将这些困难明显的暴露了出来。芝诺据说是一个自学成才的乡村孩子，是数学家帕门尼茨的朋友。他在与他的保护人一起访问雅典时，发明了四个简单的悖论，把一些自鸣得意的哲学家震惊得不知所措。

下面就是芝诺提出的四个悖论：

“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。

“阿基里斯追不上乌龟”： 阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。

“飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。

“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。由于B保持等速移动，所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。

　　尽管我们可以凭借直觉的信念，很轻易的否定芝诺悖论的结论；尽管芝诺最后因为叛国罪或诸如此类的事情而丢掉了脑袋，但是芝诺所揭示的矛盾却是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点；后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。从某种程度上，芝诺悖论的出现预言了两千年后，将会围绕微积分的出现而爆发的第二次数学危机。