P1Q1+P2Q2=m模型是购买两种商品购买预算一定的模型。P价格，Q数量，m货币（定值）。

假设价格P1变化，价格P2不变，研究价格P1与Q1的关系。

假设P1Q1=m1，P2Q2=m2。

我们仅讨论价格P1下降的情况（其他情况可以类推）。我们把商品分为一般商品与特殊商品。

一般商品是购买预算变化与价格变化反方向变化的商品。

假设价格P1下降为P1-ΔP（ΔP大于0），商品1的数量变为Q1+ΔQ（ΔQ大于0），商品1的购买预算增加为：m1+Δm（Δm大于0）。

商品1变化数量ΔQ中包括预算不变增加量ΔQa与预算增加增加量ΔQb。

预算不变增加量ΔQa是收入效果，预算增加增加量ΔQb是替代效果。

预算不变增加量（收入效果）：ΔQa=m1/(P1-ΔP)-m1/P1

预算增加增加量（替代效果）：ΔQb=Δm/(P1-ΔP)

ΔQ=ΔQa+ΔQb

=m1/(P1-ΔP)-m1/P1+Δm/(P1-ΔP)

=(m1+Δm)/(P1-ΔP)-m1/P1

特殊商品是购买预算变化与价格变化正方向变化的商品。

假设价格P1下降为P1-ΔP（ΔQ大于0），商品1变化后的数量为Q1+ΔQ（ΔQ一般为正），商品1的购买预算减少为：m1-Δm（Δm大于0）。

商品1变化数量ΔQ中包括预算不变增加量ΔQa（ΔQa大于0）与预算减少变化量ΔQb（ΔQb小于0）。

预算不变增加量ΔQa是收入效果，预算减少变化量ΔQb是替代效果。

预算不变增加量（收入效果）：ΔQa=m1/(P1-ΔP)-m1/P1

预算减少变化量（替代效果）：ΔQb=-Δm/(P1-ΔP)

ΔQ=ΔQa+ΔQb

=m1/(P1-ΔP)-m1/P1-Δm/(P1-ΔP)

=(m1-Δm)/(P1-ΔP)-m1/P1

根据上式，有：

当ΔmP1小于ΔPm1时，ΔQ大于0；

当ΔmP1等于ΔPm1时，ΔQ等于0；

当ΔmP1大于ΔPm1时，ΔQ小于0。

一般认为，价格下降后，对于商品1的购买量应不低于原有数量（不能降低商品1的效用），即ΔQ大于或等于0。

本文的一般商品、特殊商品的意义是：

在购买两种商品一定预算的模型中，其中一种商品价格变化，另一种商品价格不变。

一种商品价格变化后，其购买预算也会改变。

购买预算与价格反方向变化（dm/dP小于0）的是一般商品，购买预算与价格同方向变化（dm/dP大于0）的是特殊商品。

本文的收入效果、替代效果的意义是：

在购买两种商品一定预算的模型中，其中一种商品价格变化，另一种商品价格不变。

一种商品价格变化后，其购买预算也会改变，购买量也会改变。

购买预算不变，引起的购买量变化为收入效果；购买预算变化，引起的购买量变化为替代效果。

收入效果与价格是反方向变化。

一般商品替代效果与价格反方向变化，特殊商品替代效果与价格同方向变化。

根据dm/m=dP/P+dQ/Q

可以推出：

dm/dP=Q(1+u）

u为需求的价格弹性，u=(dQ/Q)/(dP/P)

当dm/dP小于0时，有u小于-1。

当dm/dP大于0时，有u大于-1。

特别地：

当(dm/m)/(dP/P)小于1时，有u小于0。

当(dm/m)/(dP/P)大于1时，有u大于0。

一般而言，无论一般商品还是特殊商品，u均小于0。

可以把一般商品理解为需求的价格弹性（绝对值）较大的商品，特殊商品理解为需求的价格弹性（绝对值）较小的商品。