天涯诗客 发表于 2011-4-11 20:52 
这时,我的商品组合在预算线的B点才能达到最大效用。这意味着上述给定的无差异曲线已经不与预算线相切。
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很好,很好,这样的问题才像个样子。
和你交流我虽然有时觉得很郁闷,但好在你还没有放弃思考。
不过有一点我还是想说:你没认真看书,然后就直接把你的困惑发给我,不查书自己解决,却先让我给答案,再这样下去,我要收学费的。
图是你自己画的,不可能有这种“不专业”的书。
很遗憾,这种情况不可能发生,不可能发生,记住。
先说效用最大化。我也说过,你有无数的等效用线,那个二维图中任何一点,即任何商品数量组合(x,y),都在属于自己的那条等效用线上。
等效用线越靠原点,即越靠里,代表的效用水平就越低(强单调性所致)。
如图:
我们的目的是什么?还不是效用的最大化?你看看上图中是B点的效用大还是A点的效用大?
当然是与预算线相切的那个等效用线代表的效用值高嘛!当然是A点。
这里根本就没有边际效用什么事!从头到尾都只是效用的比拼!你反应过来了?
我希望你明白:
切点A对应的效用值是所能购买的商品组合点中最高的,达到该点,就达到了效用最大化。
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你也许会问:那MUx/Px=MUy/Py呢?该式中可是有边际效用MUx与MUy啊!
你不是说在实现了效用最大化之后必然有MUx/Px=MUy/Py成立么?
那你现在告诉我,在A点是否会有MUx/Px=MUy/Py成立呢?
答案是:恰好成立。数学可以证明。
数学可以证明A点在等效用线上对应的斜率的负值,我们将其称为A点的边际替代率MRSxy,它有如下关系(假设A点坐标为(x*,y*)):
MRSxy(x*,y*) = - dy / dx = MUx(x*,y*) / MUy(x*,y*) = Px / Py
证明如下:
假设效用函数为U(x,y),在等效用线上移动,其效用值不变,暂记为:U(x,y)=C,将两边微分,有:
即有:MRSxy(x,y) = - dy / dx = MUx(x,y) / MUy(x,y)
该式意思是,
对于任意一条等效用线,其上任意一点(x,y)的斜率的负值恰为所对应的两商品边际效用的比值的倒数。
虽然前面告诉你,效用最大化和边际效用没多少关系,但这里却给出了等效用线斜率与边际效用的关系。
就是这么神奇。
又因A点所属等效用线与预算线在A点相切,故A点斜率的负值必为Px/Py,于是,对于A点(假设坐标为(x*,y*)),必有:
MRSxy(x*,y*) = - dy / dx = MUx(x*,y*) / MUy(x*,y*) = Px / Py
数学推导就是这样。
虽然上边在讲效用最大化时,明确告诉你可以不考虑边际效用问题,但在A点,却偏偏有:
MRSxy(x*,y*) = - dy / dx = MUx(x*,y*) / MUy(x*,y*) = Px / Py
成立。
即MUx(x*,y*) / Px = MUy(x*,y*) / Py。
这是数学推导,结论就是如此神奇。
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很可惜,你所说的情况是不可能发生的。
更重要的是,
上面的推导过程根本没有代替你去决定你自己的效用函数!(当然,149楼的假设是例外)
从你上帖的图中发现,你已承认了严格凸性,你所画等效用线均凸向原点,你是在承认了这个假设后才发此疑问的。
所以,你的问题并不出在“效用最大的点所在的等效用线必与预算线相切于该点,故该点斜率的负值必为Px / Py”这个知识点上(严格凸性及强单调性是管这个结论的。)
我判断你就算是原来遇到了困难,但在我讲过之后,该结论你应该可以轻松理解。
你真正不理解的应该就是上述的“对于任意一条等效用线,其上任意一点的斜率的负值恰为所对应的两商品边际效用的比值的倒数”这个结论。
而该结论所依靠的假设主要是:效用函数连续且可微(149楼有)。
非常基本且不是很过分的假设,没有对你的效用函数进行非常过分的限制。
所以,我判断,你之所以遇到困难、不知道该结论,原因不是出在对这个假设本身的不理解上,因为它太简单了。
你的问题出在:纯逻辑的推理上,归根结底,是不清楚效用函数U(x,y)和边际效用函数MUx(x,y)与MUy(x,y)在数学上的偏微分关系。
我上面的数学证明可以从严格意义上打消你的顾虑,你原本的推理根本不合逻辑,那种情况根本不可能发生,数学的逻辑可以证明。
不是我们过多限制了你的效用函数,而是你自己的逻辑推理出了问题。