摘要翻译：
本文研究了形式为$$\int f(u_x,u_y,u_t)dx dy dt$$的非退化拉格朗日方程，使得相应的Euler-Lagrange方程$(f_{u_x}）_x+(f_{u_y}）_y+(f_{u_t}）_t=0$是可积的。证明了在20参数的Lie点对称群下，构成Lagrangian密度f的对合超定四阶偏微分方程组的可积条件是不变的，该群对可积Lagrangian模空间的作用是开轨道的。与此轨道相对应的Master-Lagrangian密度是定义在复双曲球上的三个变量中的模形式。我们证明了对称群的知识是如何使可积条件线性化的。
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英文标题：
《Integrable Lagrangians and modular forms》
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作者：
E. V. Ferapontov and A. V. Odesskii
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最新提交年份：
2007
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Exactly Solvable and Integrable Systems        精确可解可积系统
分类描述：Exactly solvable systems, integrable PDEs, integrable ODEs, Painleve analysis, integrable discrete maps, solvable lattice models, integrable quantum systems
精确可解系统，可积偏微分方程，可积偏微分方程，Painleve分析，可积离散映射，可解格模型，可积量子系统
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：High Energy Physics - Theory        高能物理-理论
分类描述：Formal aspects of quantum field theory. String theory, supersymmetry and supergravity.
量子场论的形式方面。弦理论，超对称性和超引力。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Algebraic Geometry        代数几何
分类描述：Algebraic varieties, stacks, sheaves, schemes, moduli spaces, complex geometry, quantum cohomology
代数簇，叠，束，格式，模空间，复几何，量子上同调
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Differential Geometry        微分几何
分类描述：Complex, contact, Riemannian, pseudo-Riemannian and Finsler geometry, relativity, gauge theory, global analysis
复形，接触，黎曼，伪黎曼和Finsler几何，相对论，规范理论，整体分析
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Number Theory        数论
分类描述：Prime numbers, diophantine equations, analytic number theory, algebraic number theory, arithmetic geometry, Galois theory
素数，丢番图方程，解析数论，代数数论，算术几何，伽罗瓦理论
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英文摘要：
  We investigate non-degenerate Lagrangians of the form   $$   \int f(u_x, u_y, u_t) dx dy dt   $$ such that the corresponding Euler-Lagrange equations   $   (f_{u_x})_x+ (f_{u_y})_y+ (f_{u_t})_t=0   $ are integrable by the method of hydrodynamic reductions. We demonstrate that the integrability conditions, which constitute an involutive over-determined system of fourth order PDEs for the Lagrangian density f, are invariant under a 20-parameter group of Lie-point symmetries whose action on the moduli space of integrable Lagrangians has an open orbit. The density of the `master-Lagrangian' corresponding to this orbit is shown to be a modular form in three variables defined on a complex hyperbolic ball. We demonstrate how the knowledge of the symmetry group allows one to linearise the integrability conditions.
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PDF链接：
https://arxiv.org/pdf/0707.3433