（26）我们定义H(R):={f:MHf∈L(R)}={f:Y-H f(y)∈L(R)}(27)={f:kfkLH(R)<∞},其中kfkLH(R)=kMHfkL(R)，则算子MH可以从S(R)推广到LH(R)。对于H∈(0,1）,考虑以下过程～BH(t,ω):=<MHI(0,t)(·),ω>(28)那么，对于t∈R，它是一个中心的G-Gaussian过程（参见Peng(2011)[43])，其中～BH(0)=E[～BH(s)～BH(t)]=σ[ZrMHi(0,s)(x)MHI(0,t)(x)Dx]=σ[T2H+S2H-S-T2H]，-E[-～BH(s)～BH(t)]=σ[ZrMHi(0,s)(x)MHI(0,t)(x)Dx]=σ[ZrMHi(0,t)(x)Dx]=σ[ZrMHi(0,t)(x)Dx]=σ[ZrMHi(0,设f(x)=∑jaji[tj,tj+1](x)为阶跃函数，则<MHf,ω>=zrf(t)dBH(t)，(29)并可推广到所有f∈LH(R)。我们还得到了ZrF(t)dBH(t)=ZrMHF(t)dB(t)，f∈LH(R)。（30）3.2分数G-NoiseRecall Hermite多项式shn(x)=(-1)nexdndxne-x,n=0,1,2,···我们将Hermite函数表示为:～hn(x)=π-((n-1)！）-hn-1(√2x)e-x,n=1,2,···则{～hn，n=1,2,···}是L(R)和～hn(x)≤(cn-如果x≤2√nce-γxif x>2√n)的正交基，其中C和γ是与n无关的常数。definiei(x):=m-1h～hi(x),i=1,2,···那么{ei,i=1,2,···}是LH(R)的一个正交基。对于某些n≥1和αi∈n={0,1,2,···},我们将J表示为所有的多指数α=(α,···,αn)的集合,对于α∈JHα(ω)=πni=1hαi(<～hi,ω>)=πni=1hαi(<～hi,ω>)=πni=1hαi(zr～hidb(ω)),其中(B(t,ω))t∈ris为双边g-布朗运动。将～hα表示为因子...与[26](1951)关于它的基本结果的陈述相似，我们将zrα～hαdbα:=hα(ω)。（31）定义13我们定义空间LH(Rn)如下:LH(Rn):={f(x，...，xn)是(x，...，xn)MnHf∈L(Rn)}的对称函数，其中MnHf表示应用于f的每个变量的算子MHis，我们将Kfk LH(Rn):=Zrn(MnHf)ds。（32）对于f∈LH(Rn),我们得到了zrnfdB nh:=Zrn(MnHf)dB n.得到了随机变量f∈LG,H(S\'(R),S(R),e）,当且仅当f=mh∈LG(S\'(R),S(R),e）.Hermite函数的F_mHin项的展开式:f(Mhω)=∑αCαHα(ω)=∑αCαHα(ω)=∑αCαHα(<MHe,ω>)...HαN(<MHen,ω>)=∑αCαHα(<e,mhω>)=∑αCαHα(<e,mhω>)..hαn(<en,mhω>)。因此，F(ω)=∑αcαhα(<e,ω>)。Hαn(<en,ω>)=∑αCαHα(ω)。对于F∈LG(S\'(R),S(R),E）,我们有F(ω)=∑αCαHα(ω)=∑n∑α=ncαZrn～Hαdb n=∑n∑α=ncαZrneαdb nmhaase等。[1](2000)，Holden et al.[21]，Elliott&Hoek[15](2003)在概率框架下给出了Hida空间(S)和(S)*的定义。这里我们将G-Hida空间(S)和(S)*定义为如下第15(i)我们将G-Hida空间(S)定义为具有以下展开式的所有函数ψ,(S):=∑α∈JAαHα(ω)(33),(S):=∑α∈JAαα！(2n)kα<∞对于所有k=1,2,··,其中(2n)γ:=(2·1)γ(2·2)γ··(2·m)γMIFγ=(γ,γ,··）,(ii)我们将G-Hida空间(S)*定义为对于某个整数q∈(0,+∞)的Folwowing展开式Φ(ω)=∑α∈JbαHα(ω)(34)的集合，即KΦk-q,(S)*:=∑α∈Jbαα！(2n)-qα<∞。(S)*与(S)*之间的对偶关系如下：对于∑(ω)=∑α∈JAαHα(ω)∈(S),Φ(ω)=∑α∈JBαHα(ω)∈(S)π<<，Φ>>:=∑α∈Jα！AαBα。对于Fi(·)∈(S)πFi(ω)=∑α∈JC(i)αHα(ω),i=1,2,我们将它们的wick乘积(Fàf)(ω)=∑α,β∈JC(1)αC(2)βHα+β(ω)=∑γ∈J∑α+β=γC(1)αC(2)β=γC(1)αC(2)β！Hγ(γ))定义为ω)。（35）从fGBm BH(t)的混沌展开出发，我们得到了BH(t)=<MHI[0,t],ω>=<I[0,t],mhω>=<∞∑k=1(I[0,t],ek)LH(R)ek,mhω>=∞∑k=1(MHI[0,t],mh~hk)L(R)<ek,mhω>=∞∑k=1(I[0,t],mh~hk)L(R)<ek,mhω>=∞∑k=1(I[0,t],mh~hk)L(R)<ek,mhω>=∞∑k=1(i[0,t],mh~hk)L(R)<ek,ω)，其中ε(k)=(0,0,···,0,1,0,···,0)，第k项为1，否则为0，且k=1,2,···。我们用如下展开式得到了H分数G噪声WH(t)。17 H分数G噪声关于fGBm BH(t)的展开式为WH(t)=∞∑k=1mH～hk(t)Hε(k)(ω)。
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