请注意，(2.16)是一个有少量储蓄的市场的经典条件。Bielecki和M.Rutkowskiremark2.6指出，平等性BI=B（第e部分质量(2.15))对应于设定的ith的无担保（resp.securited）融资（无担保融资意味着风险证券不作为抵押品张贴）。在金融解释中，c值（2.15）指在任何一个大值时，风险证券中的长期或短期保单的价值应由该担保的融资账户的价值确定。尽管这一条件旨在涵盖使用相应回购利率为ith risk y资产提供完全安全融资的情况，但公平地承认，这是一种强制性的做法，因此并非总是不切实际。它适用于DailyRetainment的回购合同，但不包括长期回购合同的情况。请注意，如果条件（2.15）对所有i=1,2,都成立。..,d则投资组合的财富对于每t∈[0,t]，则为Vt(|)=ψtbt.这与所有收益/损失立即计入储蓄acc ount B的解释是一致的。为了使这种设置更加现实，我们特别需要引入直接借贷利率和更严格的交易。备注2.7更一般地说，ith风险证券可以部分使用BI，另一部分使用B，因此条件（2.15）可能不成立。然而，这种情况也可以由模型来涵盖，在该模型中，条件（2.15）通过巧妙地将第ith资产分成两个“子资产”，这两个“子资产”是受直接融资规则约束的。不用说，衍生证券的估值和套期保值结果将取决于用于套期保值的风险资产的融资方式。2.2.1财富过程的动态为了获得财富动态的更多的表达式，我们证明了一个辅助引理。从等式（2.17）中，我们可以推导出增量dkiti代表了ith资产价格扣除融资成本的变化。由于缺乏更好的术语，我们建议将Kithenetted实现的现金称为ith Asset.Lemma 2。1对于所有t∈[0,t]，Kit=sit-si+ait-z(0,t]bsiudbiu(2.17)和kít=Vt(}）-V(}）-at-z(0,t]vu(}）dbu成立以下等式。（2.18）证明。It o公式，(2.2)和（2.9）产率z(0,t]Biudbsi,cldu=z(0,t]Biudbsiu+Ait=bitbsit-Bibsi-z(0,t]Bsiudbiu+Ait(2.19)=sit-Si+ait-z(0,t)Bsiudbiu。第二个公式的证明类似。根据引理2.1，命题2.1的以下推论是直接的。场外交易合约的估价和套期保值9推论2。1公式（2.12）等价于以下表达式:sdevcldt(θ)=dxi=1ζitebitdbsi,cldt+dxi=1ζitbitbit-1 debit,(2.20)dVt(θ)=evt(θ)dbt+dxi=1ζitbitdbisi,cldt+dxi=1ζitbitdbit+dAt+dAt，(2.21)dVt(θ)=evt(θ)dbt+dxi=1ζitdkit+dxi=1ζitdkit+dxi=1ζitbit+ζitsit。因此，提供资金的成本是：datisfyft(||)=z(0,t]evu(||)dbu+z(0,t]dxi=1ζIu(eBiu)–1 debit–dxi=1z(0,t]ζIubsiudbiu。（2.23）由于供资费用尤其取决于供资账户B、。..,Bd,我们有时会通过编写F(||)=F(|||；B,...,Bd)来强调这种依赖性。示例2.1假设进程Bj,j=0,1,.d是绝对同连续的，因此对于某些G适应过程rj,j=0,1,它们可以表示为DBJT=rjtBjtdt。...D.然后(2.21)yieldsdVt(|)=rtVt(|)dt+dxi=1ζit(Rit-rt)dt+dxi=1ζitdsit-ritsitdt+dait+dat。（2.24）最后一个公式意味着atdvt(θ)=dxj=0rjtψjtbjtdt+dxi=1ζ它dsit+dait+dAt，(2.25)，这也可以看作是（2.4）的直接结果。特别地，通过dft(Ⅵ)=dxj=0rjtψjtbjtdt给出了资金成本的动态。（2.26）2.2.2普通无担保考虑到本节的其他部分，我们将研究各种实际利益案件的一般结果的后果。我们假定bi=b，对于i=1,2,。...

,k表示某些k≤d。这意味着所有无担保账户B，...,bk折叠成一个现金账户，名为B，但担保账户bk+1，....债券回购利率可能因资产不同而异。在形式上，现在可以很方便地假定te,对于i=1,2,来说，ψi=0。..，k，因此po rtfolio可以被表示为(do=(ζ,...,ζd,ψ,ψk+1,...,ψd）。因此，公式（2.3）将Vt(8)=dxi=1ζitsit+dxi=k+1ψitbit+ψtbt，其自适应条件（2.4）变为Vt(8)=V(8)+dxi=1z(0,t]ζIUD(SIU+Aiu)+z(0,t]ψudbu+dxi=k+1z(0,t]ψIUdbiu+。Bielecki和M.Rutkowskic，等式（2.21）取如下fo rmdVt(|)=evt(|)dbt+kxi=1ζitbtdesi,cldt+dxi=k+1ζitbitdbsi,cldt+dxi=k+1,cldt+dxi=k+1,itbitdbsi,cldt+dxi=k+1,it(eBit)-1 debit+dAt(2.27),其中我们denoteeSi,cldt:=esit+z(0,t](Bu)-1daiu,t∈[0,t]，其中在turnesi中:=(B)-1si。.d是绝对连续的，因此，在par ticular中，ri=r，对于i=1,2,。..,k,thendVt(|)=rtψtbt+dxi=k+1 ritψitbit dt+dxi=1ζit dsit+dait+dat。（2.28）如果，在一个dditio n中，ζIt=0,对于i=k+1,。..,d则Vt(|)=PKI=1ζitsit+ψtbtand(2.28)收益率sdft(||)=rt Vt(||)-kxi=1ζitsit dt-dxi=k+1ζitritsitdt.2.3贷款和借款现金率我们现在通过假设无担保的贷款和借款现金率是直接的来修改我们的模型。回想一下，我们用B0、+和B0表示的-分别对应于借贷利率的账户流程。现在很自然地把一个投资组合表示为：=(ζ,...,ζd,ζ0,+,ζ0,-,ζ,..,ζd,）,其中，对于ll t∈[0,t],假定，ζ0,+t≥0和ζ0,-t≤0。此外，由于同时借贷现金被排除或不被排除(ifr0,-≥r0,+),我们假定对于所有t∈[0,t],ζ0,+tyen0,-t=0。一个投资组合的财富过程现在等于svt((do)=dxi=1ζitsit+dxi=1ζitsit+ψ0,+tb0,+t+ψ0,-t，(2.29)和自定义条件readsVt((do)=V((di)+dxi=1z(0,t]ζIud(SIU+Aiu)+dxi=1z(0,t]ψIudbiu(2.30)+z(0,t]ψ0,+Udb0，+u+z(0,t]ψ0,-Udb0,-u+at)。值得注意的是，θ0,+tand Vt((di)-dxi=1ζitsit-dxi=1ζitbit+和ψ0,-t=-(B0,-t)-1 Vt((di)-dxi=1ζitsit-dxi=1ψitbit-。以下推论提供了当前设置中的财富动态。场外交易合约的估值和套期保值11推论2。2(i)假设B0、+和B0、-是与借贷利率相对应的账户过程。设“i”是任意一个自定义策略，使得对所有t∈[0,t]而言，φ0,+t≥0,φ0,-t≤0,以及φ0,+tφ0,-t=0。则由（2.29）给出的财富过程V(Ⅵ)具有以下动态SDVT(Ⅵ)=DXI=1ζITBIT+DAT+VT(Ⅴ)-DXI=1ζITSIT-DXI=1ψITBIT+(B0,+T)-1dB0,+T(2.31)-VT(Ⅵ)-DXI=1ζITSIT-DXI=1ψITBIT-(B0,-T)-1dB0,-T。.，k和ζit=0和i=1。..,d对于所有t∈[0,t],则vt(∑)=kxi=1ζitd(SIT+Ait)+dxi=k+1ζitbitdbsi,cldt+dAt(2.32)+vt(∑)-kxi=1ζitsit+(B0,+t)-1db0,+t-vt(∑)-kxi=1ζitsit-(B0,-t)-1db0,-t.证明。公式（2.31）可以从（2.30）中导出，也可以使用等式（见(2.19))BitdbSi，CLDT=DSIT-BSITDBIT+DAIT，我们省略了deta。例2.3在推论2.2中第(ii)部分的假设下，另外，如果所有会计处理i=1，k+2，....d+2是绝对连续的，则（2.3 2）变为dvt((di)=kxi=1ζit dsit+dait.+dxi=k+1,it dsit-ritsitdt+dait+dAt(2.33)+r0,+t vt((di)-kxi=1ζitsit+dt-r0,-t vt((di)-kxi=1ζitsit+dt-r0,-t vt((di)-kxi=1ζitsit+dt-r0,-t vt((di)-kxi=k+1 ritζitsitdt.设置k=0，我们得到dvt((a)=dxi=1ζ它dsit-ritsitdt+dait persi+dAt+r0,+t vt((a))persi+dt-r0,-t vt((a))persi-dt。（2.34）2.4各种净额形式下的交易策略到目前为止，资金账户中的多头和空头头寸Bj,j=0,1,。..,d被归结为利息。

这一假设现在将被放松，因此我们现在将处理扩展框架，在该框架中，风险资产中的长短交易问题变得至关重要。请就头寸和/或风险净额结算的概念发表一些评论。在ge ne ral,12 T.R.Bielecki和M.Rutkowskithe多空头寸净额结算的概念可以在不同的包容性水平上引入，从完全没有净额结算到所有头寸净额结算的最全面情况。为了我们的目的，只要考虑以下情况就足够了：(a)不对多头/空头头寸进行任何净额计算，(b)只对每种特定风险资产及其资金账户进行多头/空头头寸净额计算，(c)此外，对来自givenfunding账户供资的ll风险资产的多头/空头现金头寸进行净额计算，(d)此外，对与交易对手之间的所有合同相关的风险敞口（因此也包括ma rgin账户）进行净额计算。2.4.1情况(a)为了涵盖任何资产Si中完全不存在任何多头和空头头寸净额计算的情况，可以假设对于所有i=1，...,d和t∈[0,t],ζi,-tsit+ζi,+tbi,+t=0,ζi,+tsit+ζi,-tbi,-t=0,其中ζi,-tsit:=-(ζitsit)-≤0,ζi,+tsit:=(ζitsit)+≥0,使得对所有t∈[0,t]来说，ζi,+t≥0和ζi,-t≤0。特别是，即使对于所有t来说，ζi,+t+ζi,-t=0，这意味着在任何时候，ith资产的净头寸为空，由于账户Bi，+和Bi，-之间的价差，e仍然是持有两个未平仓头寸的增量成本。这种情况非常严格，不实用。因此，下文将不对其进行分析。2.4.2案例(b)，现在让我们研究案例(b)。为了使这一设置不是简单的，我们引入了两个di,+和Bi,-,它们的目的是为了增加ith Asset的资金成本。我们现在假定Vt(|)=ψ0,+Tb0,+t+ψ0,-Tb0,-Tb0,-Tb0,-Tb0,-Tt)=ψ0,+Tb0,+t+ψ0,-Tb0,-Tt，其中，θi,+t≥0和，θi,-t≤0,对于t∈[0,t]和，i=1,2。..,d和t∈[0,t],ζitsit+ψi,+Tbi,+t+ψi,-Tbi,-t=0。（2.35）净额结算机制c在这里可以解释为：为了对冲的目的，它是指在任何资产I中同时持有多空pos；在ith资产中取净位置就足够了。例如，如果一家银行已经持有某项资产的空头头寸，而需要持有相同规模的多头头寸，我们可以推断空头头寸已经平仓。然而，从总融资成本最小化的角度来看，这种交易方式并不总是最优的。还请注意，条件（2.35）防止在多头资金账户和空头资金账户重合的资产中对空头多头现金头寸进行净额结算。关于条件（2.15）的一般性评论，也适用于条件（2.35）。由于不允许从资金账户i中非法借贷现金（或者如果ri,-≥ri,+)则不允许），我们还假定对于所有t∈[0,t]来说，φi,+tφi,-t=0。这意味着，θ0,+t=(B0,+t)-1(Vt(||))+，θ0,-t=-(B0,-t)-1(Vt(|||))-(2.36)，并且，对于每i=1,2。..,d,ψi,+t=(Bi,+t)-1(ζitsit)-,ψi,-t=-(Bi,-t)-1(ζitsit)+。（2.37）场外交易合约的估值与套期保值13自定义条件为（2.35）对所有i=1,2,...,d成立。

则财富过程等于，对于allt∈[0,T]，Vt(í)=ψ0,+Tb0,+T+ψ0,-Tb0,-T，财富动态为dVt(í)=dxi=1ζit(DSIT+dAit)+dxi=1(ζITSIT)-(Bi，+T)-1dBi，+T-Dxi=1(ζITSIT)+(Bi，+T)-1dBi，-T(2.38)+(Vt(í))+(B0，+T)-1dBi，-T+dA。当等式Bi，+=Bi，-=Bi对所有i成立时，注2.8=1,2,.则公式（2.38）可以被视为公式（2.31）的一个特例，对于所有i来说ζIt=0（另见动力学（2.34））。例2.4在推论2.3的假设下，如果另外，所有计算过程Bi，+和Bi，-对于i=0，1，....,d ar e绝对连续，则（2.38）变为（没有（2.39）扩展（2.34）的te）dVt(è)=kxi=1ζ它dsit+dait+dxi=1ri,+t(ζitsit)-dt-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt(2.39)+r0,+t(Vt((di)))+dt-r0,-t(Vt((di)))-dt+dt+dat，因此资金成本满足dft((di)=r0,+t(Vt((di)))+dt-r0,在这里，我们将是约定(c)的一个特殊情况，这似乎在实践中很有意义。我们现在假定Bi，+=B0,+对于所有i=1,2,。.d和我们p证明所有的空头现金头寸都有风险。...,Sdare聚合。这意味着所有可用的正现金，包括风险资产卖空收益，都包括在财富中，并投资于账户B0、+或B0、-。B y相反，风险资产中的长期cas h头寸假定由各自的资金账户Bi，-提供资金。因此，我们在这里讨论了风险资产的部分ne TINTING的情况，为了正式地描述目前的设置，我们假定Vt(|)=ψ0,+Tb0,+T+ψ0,-Tb0,-T+DXi=1(ζitsit+ψi,-Tbi,-t)，其中，对于每i=1,2,。.，d和t∈[0,t]，过程ψi,-tatis fiesψi,-t=-（Bi,-t)-1(ζitsit)+≤0。（2.40）14 T.R.Bielecki和M.Rutkowskiso的结论是：alsoVt(θ)=ψ0,+tb0,+t+ψ0,-t-dxi=1(ζitsit)-。由于作为我们的一个假设，ψ0,+t≥0和ψ0,-t≤0,我们在下列等式中obta,+t=(B0,+t)-1vt(θ)+dxi=1(ζitsit)-+,ψ0,-t=-(B0,-t)-1vt(θ)+dxi=1(ζitsit)-+。最后，自定义条件由以下表达式给出:vt(θ)=V(θ)+dxi=1(ζitsit)--。1Z(0,T]ζIUD(SIU+Aiu)+DXI=0Z(0,T]ψi,-Udbi,-U+Z(0,T]ψ0,+Udb0,+U+Z(0,T]ψ0,-Udb0,-U+at）。4根据上述假设，财富动态为DVT(Ω)=DXI=1ζIT(DSIT+dAit)-DXI=1(ζITSIT)+(Bi,-t)-1dBI，-t+dAt(2.41)+VT(Ω)+DXI=1(ζITSIT)-+(B0,+t)-1dB0,+T-VT(Ω)+DXI=1(ζITSIT)--TM(B0,-t)-1dB0,-t。请注意，即使我们另外假设Bi，-=B0,-对于所有i=1,2,）。..d,表达式（2.41）不会还原为(2.31)，因为条件（2.40）排除了长c灰位置acro ss风险的网。例2.5在推论2.4的假设下，如果，此外，所有帐户过程Bi，+和B0，-是绝对连续的，则(2.41)变为dvt((di)=kxi=1ζit dsit+dit-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt+dAt(2.42)+r0,+t vt((di)+dxi=1(ζitsit)-+dt-r0,-t vt((di)+dxi=1(ζitsit)-+dt-r0,-t vt((di))+dxi=1(ζitsit)-+dt-r0,-t vt((di)+dxi=1(ζitsit)-+dt-r0,-t Ri,-t(ζitsit)+dt.2.5有担保的交易策略，我们将进一步讨论套期保值者与ContracttualCash签订合同，并收回或张贴现金抵押品的情况，我们假设这些抵押品是通过一些特定的过程c.letct=Ct{Ct≥0}-Ct{Ct<0}=c+t-c-t(2.43)场外交易合同的估价和套期保值15是Ct≥0的通常分解。按照惯例，c+ts表示收到的担保品的现金价值，而c-tres表示担保品的现金价值。

递送或接收抵押品的机制被称为边际化。在第N2.5节中，我们在以下长期假设下工作：(a)贷款和转帐现金利率B0、+和B0，-可能是相同的，(b)每种风险资产的多头和空头资金利率是相同的:Bi，+=Bi，-=Bi。假设(b)意味着给定风险资产的多头和空头现金头寸的净额结算问题只与现金账户供资的资产相关（即，φit=0)，这种净额结算贯穿始终。当然，与抵押品融资相关的计算可以与任何关于现金头寸净额计算的惯例相结合。2.5.1通用保证金账户BC、+、BH、+、BC、-和BH-严格为正，且连续的变动范围。很容易看出，CES在财富过程的动态中考虑了与ma rgin ac计数的变化相关的额外收益或损失，这是对第2.1条的一个小扩展。为此，我们引入了一种抵押交易策略(\',a,C)，其中我们设置了‘,=,。..,ζd,ψ,...,ψd,⑵c,+,⑵c,-,⑵h,+,⑵h,⑵。（2.44）一个投资组合是由资产Si,i=1,2,组成的。..,d,无担保账户B,资金账户Bj,j=1,2,。.、d和抵押品帐户BC、+、BH、+、BC、-和BH、-。下一篇文章的目的仅仅是介绍分析、担保和再抵押时使用的附加符号。在后面的小节中，将会详细地讨论过程∑C、+、∑C、∑H、+和∑H、-的定义和它们的具体解释。为了简单起见，在第2.2条中，我们假定B0,+=B0,-=b。这个暂时的假定以后将被放宽。2当其财富过程V（“0”=dxi=1ζitsit+dxj=0ψjtbjt+ρC,+tbc,+t+ρC,-tbc,-t+ρh,+t+ρh,-tbh,-t，(2.45),对于每t∈[0,t]vt(|)=V(|)+dxi=1z(0,t]ζIUD(Siu+Aiu)+dxj=0z(0,t]ζJudbju+At(2.46),当其财富过程V（“0,A,C”）给定时，当其财富过程V（“）为自定义的（”2,4“）的时候，担保交易s（”A,C“）是自定义的）+Z(0,t]ψC,+UDBC,+U+Z(0,t]ψC,-UDBC,-U+Z(0,t]ψH,+UDBH,+U+Z(0,t]ψH,-UDBH,-U.定义2.2相当普遍，因此可以用来检验在实践中发生或可能发生的各种替代性市场约定。在命题2.2中，我们将对隔离下的财富动态得到更明确的描述，即当套期保值者是担保品接受者时，在现金担保品使用受限的假设下。随后，在命题2.3中，我们将讨论与再抵押有关的抵押品交易问题。2.2.5.2命题2.4，w hich处理部分再抵押的情况，涵盖了命题2.2和2.3作为特殊情况，因此省略了命题2.2和2.3的内容。2.5.2抵押品金额的替代规定在市场实践中，抵押品金额通常是根据套期保值ed合同的市值来计算的，其价值a t时间t从今以后被表示为mt。在这种情况下，我们可以写出=(1+δt)Mt{Mt>0}-(1+δt)Mt{Mt<0}=(1+δt)M+t-(1+δt)M-t(2.47)16T.R。Bielecki和M.Rutkowski，用于某些理发过程δ和δ。在我们的理论框架中，目标是通过套期保值来发展合约的估值，即似乎很自然地将mark-to-ma rket价值与合约的（但未知的）价值联系起来。由于财富过程V（）的目的是覆盖对冲者未来的可偿债性，对冲者所看到的合同的程式化的“市场价值”与他的财富的“值”是一致的。因此，从套期保值者的角度来看，用套期保值策略的财富过程的负值来正式确定按市价计算的价值是有意义的。如果我们设置M=-V(||),那么公式（2.47）变为=Ct(|||):=(1+δT)V-T(|||)-(1+δT)V+T(|||)。

（2.48）完全抵押合同的情况与所有t的等式δt=δt=0相关，这意味着等式C(||)=-V(|||)成立。在（2.48）中的c侧向量是从对冲者的角度来看的，因此它在这里取决于对冲者的交易策略。当然，可以对交易对手进行类比分析。然而，由于市场条件（特别是融资利率）通常对双方都有影响，他们对合同价值（因此也包括抵押品金额）的计算不太可能产生相同的结果。2.5.3隔离账户的抵押品交易目前的财务惯例通常要求将抵押品a挂在隔离的保证金账户中，因此作为抵押品接受者的套期保值者不能将其用于购买风险资产，而是要求将其放在账户BH,+中。此外，我们假设，如果套期保值者是一个担保者，那么他需要从一个预定的帐户BH，-中获得所需的金额。在这些条件下，(2.45)中的右端不应显式依赖于collatera l过程。形式上，我们假定对所有t∈[0,t],ψc,+tbc,+t+ψh,+tbh,+t=0,(2.49)和ψc,-tbc,-t+ψh,-tbh,-t=0,满足下列条件。（2.50）命题2.2中描述了一个充分满足上述条件的实际情况。从今以后，我们假设抵押品ac c ounts BC、+、BH、+、BC、-和BH-服从以下解释:o如果套期保值者收到抵押品，那么他向另一方支付由c+和账户BC++确定的利息，并且他将colla teral金额投资于账户BH，+。o如果要求套期保值者寄出抵押品，那么他以BH规定的利息借入collatera l金额，并且他获得由c-和账户BC++确定的利息支付。下一个命题是命题2.1相当直接的扩展。由于这一结果是由推论2.1和结论2.2相结合而成立的，所以我们省略了证明。注意，等式（2.51）-（2.52）确保条件（2.49）-（2.50）确实满足。命题2.2假设一个交易策略（？,a,C）（过程由（2.44）给出）是自适应的，并且对于每t∈[0,t]，ρC,+t=-(BC,+t)-1C+t，ρC,-t=(BC,-t)-1c-t，(2.51)ρh,+t=(BH,+t)-1C+t，ρh,-t=-(BH,-t)-1C+t，ρh,-t=-(BH,-t)-1C+t，ρh,-t=-(BH,-t)-1c-t。（2.52）则财富过程V(Ⅴ)等于，对于每t∈[0,t]，Vt(Ⅴ)=dxi=1ζitsit+dxj=0ψjtbjt(2.53)场外交易合约17的估值和对冲，并且它允许以下分解Vt(Ⅴ)=V(Ⅵ)+Gt(Ⅵ)+Ft(Ⅵ)+Ft(Ⅵ)+fct+At(2.54)其中Gt(Ⅵ)由(2.6)，Ft(Ⅵ)satis fires(2.23)给出，保证金账户的融资成本表示为FC,equalfct=z(0,t)c+u(BH,+u)-1dbh，+u-(BC,+u)-1dbc，+u-(BC，+u)-1 0,t]c-u(BH,-u)-1 dbh,-u-(BC,-u)-1 dbc,-u.更明确地说，财富过程的动力学V(|)是dvt(||)=evt(||)dbt+dxi=1ζitdkit+dxi=1ζit(eBit)-1 debit+dfct+dat。（2.55）特别地，在假设（2.14）下，我们得到dvt(8)=evt(8)dbt+dxi=1ζitdkit+dfct+dat。（2.56）让我们对经抵押品调整的现金输出ACby设置AC=A+FC，以便V(\\)=V(\\)+G(\\)+F(\\)+AC进行分析。虽然抵押品fcc的融资成本通常取决于对冲策略y的选择，但为了保持我们的符号简单，我们在fca和ac的符号中没有明确强调这一点。如果我们用AC放置A，则2.1节的定义和结果仍然有效，前提是财富过程V(}）满足(2.53)，即假设分离抵押品。因此，满足第2.2项的交易策略（？,A,C）以及符合抵押品要求的分离性，可以正式地被引申到满足第2.1项的对（？,AC）。特别是，累积财富过程Vcld（？）通过公式(2.8)Vcldt（？）的以下修正来定义:=Vt（？）-BtZ（0,t](Bu)-1 DACU。

（2.57）当附带过程C与aportfolio的选择无关时，这种缩减就派上了用场。例2.6我们将自己置于例2.1的设置中，此外，我们假定过程BC，+，BH，+，BC，-和BH，-是绝对连续的，因此dBC，+t=rC，+tbc，+tdt，+tdt，+tdt，-tbc，-tdt，-tdt，-tdt，-t=rC，-tbc，-tdt，-t=rH，-tbt，-tdt，-t=rH，-tbt，-tdt，-t=rH，-tdt，对于某些利率过程rC，+，+，rC，-和rH，-。thenfct=ZT(rH，+U-RC，+U)C+UDU-ZT(rH，-U-RC，-U)C-UDU。（2.58）假设条件（2.1 4）被满足。然后，从（2.56）中，我们o btaindVt((d))=rtVt((d)dt+dxi=1ζit dsit-ritsitdt+dait\\+dfct+dat。（2.59）在特殊情况下，当rH,+=rH,-=rand rC,+=rC,-=rC时，公式（2.58）简化tofct=zt(Ru-Rcu)Cudu(2.60)18 t.r。Bielecki和M.Rutkowskiand这样（2.59）就成了dvt(|)=rtVt(|)dt+dxi=1ζdsit-ritsitdt+dait+(rt-rct)Ctdt+dat。（2.61）回想一下，完全抵押合同的情况对应于等式C=C(μ)=-V(μ)。在此附加假设下，公式（2.61）减少了todVt(||)=rCtVt(||)dt+dxi=1ζdsit-ritsitdt+dait+dat。（2.62）因此，如套期保值者所见，融资成本包括完全抵押合同保证金a ccount的收益/损失，areFt(||)+FCt(||)=ztrcuvu(||)du-dxi=1ζiuriusiudu。（2.63）在更一般的情况下，当对于某个G适应过程α的C(|)=αV(||)时，我们obta（2.65）因此，一个自我投资交易策略的总融资成本(\',a,αv(\',））为ft(\',）+FCt(\',）=zt(1+αu)ru-αurcu\'vu(\',）du-dxi=1 ztζiuriusiudu。（2.66）请注意，本例中的设置缺点也可以很容易地与例2.2.2.5.4的抵押品交易和全额再抵押结合。再抵押是一种银行将其交易对手质押的抵押品再用作其自身借款的抵押品的做法。在我们为再抵押融资的程式化方法中，自然会假设套期保值者，当他是抵押品接受者时，被授予不受限制地使用全部抵押品担保C+。换句话说，所收到的担保品可以被看作是一个DGER交易策略的一个普通组成部分（当然，这只适用于交易对手的违约）。和以前一样，套期保值者向交易对手a支付金额C+的利息，利率由流程BC，+确定。此外，我们假设，当对冲r是抵押品提供者时，任何交易资产都可以获得抵押品，无论他获得抵押品，他都有权获得利益支付，如通过流程BC，-获得利益支付。没有人认为等式（2.6 8）确定了这样一个事实，即总金额VCt((a)):=Vt((a)+CT，现在可以被套期保值者用于风险资产的交易，其中V((a))代表不包括抵押品金额的财富过程。这一特性使得呈现情况与到目前为止考虑的建模假设无关。下面的结果可以从命题2.4中推导出来，因此我们省略了这个证明。命题2.3假设一个交易策略（？,a,C）（由（2.44）给出）是自定义的，并且下列等式成立:ψC,+t=-C+t(BC,+t)-1,ψC,-t=c-t(BC,-t)-1,ψh,+t=ψh,-t=0，(2.67)场外交易合约的估值和对冲19，因此财富过程V(}）满足以下条件:vt(}）=dxi=1ζitsit+dxj=0ψjtbjt-ct(2.68)或等价地VCt(}）=dxi=1ζitsit+dxj=0ζψjtbjt。

（2.69）则V(}）satifires,对于每t∈[0,t]，Vt(}）=V(}）+Gt(}）+Ft(}）+FCT+在（2.70）,其中Gt(}）由（2.6）给出，Ft(}）satifires（2.23）用EVC(}）=(B)-1 VC(}）代替，抵押品的融资成本由FCT=Z(0,t]C-U(BC，-U)-1 dBC，-U-Z(0,t]C+U(BC，+U)-1 dBC，+U，(2.71)或等效地，dVt(}）=EVCT(}）DBT+DBC，+U，(2.71)给出XI=1ζITDKIT+DXI=1ζIT(eBit)-1借方+DFCT+DAT。（2.72）特别地，在假设（2.14）下，动力学V(8)aredVt(8)=evct(8)dbt+dxi=1ζitdkit+dfct+dat。（2.73）例2.7我们在命题2.3的假设下工作。我们的目的是给出例2.3和2.6中得到的公式的扩展。因此，我们假定le ndingand bor划船率是不确定的（典型地，r0,-≥R≥r0,+)。我们还假定RI=rfori=1.k和条件n(2.15)对i=k+1,k+2,。...D.那么财富V(|)等于SVT(||)=kxi=1ζitsit+ψ0,+tb0,+t+ψ0,-tb0,-t-ct，其中，假设，ψ0,+t≥0和ψ0,-t≤0,它满足dvt(||)=evct(||)dbt+dFV,Ct(||)+dxi=kζitbitdesi,cldt+dxi=k+1ζitbitdbsi,cldt+dfct+dAt(2.74)其中fc依次由（2.71）和dFV给出VCT(Ⅵ)-KXI=1ζItsit-(r0,-t-rt)dt。（2.75）等价地，财富过程的动力学是dvt((di)=r0,+t vct((di)-kxi=1ζitsit+dt-R0,-t vct((di)-kxi=1ζitsit-dt(2.76)+kxi=1ζit dsit+daitin+dxi=k+1,it dsit-ritsitt+dfct+dAt20 t.r。Bielecki和M.Rutkowski，因此融资成本满足以下条件：dft(|)=r0,+t vct(|)-kxi=1ζitsit+dt-R0,-t vct(|)-kxi=1ζitsit-dt+dxi=k+1 ritψitbitdt。示例2.8我们在示例2.7的假设下工作，此外，我们假设我们处理的是一个完全抵押的合同，因此C=-v(||)。然后，我们得到以下等式:VCT(=)=KXI=1ζITSIT+ψ0,+TB0,+T+ψ0,-TB0,-T=0和DVT(=)=r0,+T-KXI=1ζITSIT+DT-R0,-T-KXI=1ζITSIT-DT+KXI=1ζITSIT+DIT+DXI=K+1ζITSIT+DIT+DXI=K+1ζITSIT+DIT+DFCT+dAt，因此，资金成本由以下等式DFT(=)=r0,+T-KXI=1ζITSIT+DIT+DIT+DFCT+dAt+决定。+dxi=k+1 ritψitbitdt。如果我们现在假定r0,+=r0,-=r，那么我们ge tkxi=1ζitsit+ψtbt=0anddvt(è)=kxi=1ζitsit+dait+dxi=k+1,it dsit-ritsitdt+dfct+dAtso dft(è)=-kxi=1ζitrtsitdt-dxi=k+1,ζitrtsitdt=rtψtbitdt+dxi=k+1 ritbitdt。在rC,+=rC,-=rC的条件假设下，我们得到如下表达式dvt(è)=rct=rC Vt(±)dt+kxi=1ζit dsit-rtsit+daiter+dxi=k+1ζit dsit-ritsitdt+daiter+dAt，这也可以从（2.62）中推导出来。最后，对于RC=r，我们g e tdVt(|)=rtVt(|)dt+kxi=1ζit dsit-rtsit+dait+dxi=k+1ζit dsit-ritsitdt+dait+dAt,这可以很容易地理解为（2.22）的一个特例。场外交易合约的估值与套期保值212.5.5部分再抵押的抵押品交易可再抵押的资产数量有时是有上限的；我们把这种情况称为部分再抵押。下一章讨论了在直接借贷现金利率下的部分分离的一般情况（等价于部分分离的情况）。因此，命题2.4涵盖了2.2a和2.3a的特殊c项。还请注意，公式（2.80）是等式（2.31）的一个相当直接的推广。命题2.4假设一个交易策略(\',a,C),其中‘,’是由‘,=,。..,ζd,ψ,...,ψd,ψ0,+,ψ0,-,ψc,+,ψc,-,ψh,+,ψh,-ε(2.77)是自定义的，对于所有t∈[0,t],下列等式成立:θt=0,ψc,+t=-(BC,+t)-1C+t,ψc,-t=(BC,-t)-1C-T,ψh,+t=(1-βt)(BH,+t)-1C+t,θh,-t=-(1-γt)(BH,-t)-1C-T,对于某些G适应的随机过程β和γ,使得财富过程V(|)相等svt(|)=dxi=1ζITSIT+DXI=1ψITBIT+ψ0,+Tb0,+t+ψ0,-Tb0,-T-(βTc+t-γTc-t)。

（2.78）我们假设对于所有t∈[0,t]来说，θ0,+t≥0,θ0,-t≤0和θ0,+tθ0,-t=0,而Vt(θ)=dxi=1ζITD(SIT+Ait)+dxi=1ζITDBit+ψ0,+tdB0，+t+ψ0,-tdB0，-tdB0，-tdB0，-t+At(2.79)+ψC,+tdBC，+t+ψC,+tdBC，+t+ψH,+tdBH,+t+ψH,-tdBH,-tdBH,-tdBH,则财富过程V(θ)满足以下条件：1 dbit+ψ0,+Tdb0,+t+Dat+ψ0,-Tdb0,-t-C+t(BC，+t)-1 dbc,+t+c-t(BC，-t)-1 dbc,-t(2.80)+(1-βt)C+t(BH，+t)-1 dbh,+t-(1-γt)c-t(BH，-t)-1 dbh,-t，其中，ζ0,+和ζ0,-由以下表达式给出:ζd+1t=ψ0,+Tb0，+t=Vt(è)-dxi=1ζitsit-dxi=1ζitbit+βtc+t-γt-t+(2.81)和ζd表示+2t=ζ0,-TB0,+t=-VT(Ⅵ)-DXI=1ζITSIT-DXI=1ζITBIT+βTC+T-γTC-t-。（2.82）证明。首先，我们使用（2.78）和我们的假设建立了等式（2.81）和（2.82）：对于allt∈[0,T]ψ0,+T≥0,ψ0,-T≤0,ψ0,+Tψ0,-T=0。接下来，我们回想一下（见(2.19))BitdbSi,cldt=dsit-bsitdbit+dait。公式（2.80）现在通过简单的计算从（2.79）得到。22 T.R.Bielecki和M.Rutkowskihe命题2.4的以下推论是直接的。Cor推论2.5处理了henrisky资产Sifor i=1,2,的情况。.k使用现金账户B0、+和B0、-进行交易，而风险资产i=k+1,k+2。..,d是使用各自的资金账户bi的tra de d。当然，将这个结果推广到市场模型的情况是无济于事的，在市场模型中，我们有两个融资账户，Bi，+和Bi，-，对于每个风险资产Sifor i=k+1，k+2，....,D.推论2。5在命题2.4的假设下，我们还假定，θi=0 fori=1,2,。且条件（2.15）对于i=k+1,k+2,成立。...K。则财富过程V(}）满足以下条件：dvt(}）=kxi=1ζit(dsit+dAit)+dxi=k+1例2.9我们在推论2.5的假设下工作。当账户处理绝对连续时，财富动态的更多信息技术参数是可用的。我们可以立即看到以下数据：dvt(|)=kxi=1ζit(|dsit+dAit)+dxi=k+1 it(|dsit|ritSitdt+dAit)+dat+r0,+t vt(||)-kxi=1ζitsit+βtc+t-γtc-t+-r0,-t vt(||)-kxi=1ζ我们注意到，当r0,+t=r0,-t=rt和βt=γt=0时，对于所有t∈[0,t]，该公式可导出方程(2.59)，其中fc由（2.58）给出。此外，当βt=γt=1时，对于所有t∈[0,t]，它与表达式（2.76）一致，而fc由（2.71）给出。可见，其他重要的情况也包括在公共关系表2.4中。特别地，我们现在可以对某些G适配随机过程α设置C=αv(Ⅵ)。回想一下，对于某个过程α，一个部分担保合同对应于eq ualityC(||)=αv(|||)，这样-1<α<0。我们还可以通过假定（见(2.48))Ct(||)=(1+δt)v-t(||)-(1+δt)v+t(||)来引入带有折减的完全担保契约。最后，有可能将命题2.4中考虑的设置与关于ne ting的一些conne结合起来（例如，在2.4.3节中考察的模式l）。不用说，大量的模型假设都将在个案的基础上进行研究。2.6在违约时提供资金的交易策略现在我们假设投资者可能会在考虑中的合约的特定日期之前或当天拖欠其合约义务。特别是，在他违约的情况下，他对场外交易合约的估价和套期保值23未能全额偿还他的未偿还债务，这是形式lly在未偿还现金账户B0，-中的负头寸所代表的。设θ是一个随机的缺省时间，设R∈[0,1]表示inve Stor的恢复率过程（假定是G-适应的）。现在可以很自然地确定，所有的tra ding活动都将在一个随机的地平线日期θT停止。

为了说明投资者对默认时间θ的需求，我们通过设置B0,-=1和dB0,-t=dB0,-t-b0,-t(1-Rt)dHt(2.83)，引入了调整后的bor划船a ccount B0,-，其中我们表示HT=1{t≥θ}。很明显，事件{θ>t}是B0,-t=B0,-ton。还请注意，在随机时间θ等于B0时，跳变为B0,-，θ=-(1-rθ)B0,-θ。我们还用动力学（2.4）中的ρtbyρt-来代替，以便使这个过程成为G-可预测的。然后，由随机时间θ下的过程S b0,-的跳变引起的财富过程V(Ⅵ)的非负跳变由以下表达式σθ-b0,-θ=-(1-rθ)θθ-b0,-θ给出。对这种跳跃的详细解释是对冲者在自己违约时的收益，因为他对e xternallender的债务没有全额偿还。2.7违约时亏损的交易策略最后一步是描述任何一方违约时的损失。如果交易对手一方在合同到期前或到期前违约，合同终止，并转移平仓款。由于终止付款（也就是违约损失）是许多文件的主题，我们决定在此不对合同的这一部分进行解释。本文的第二部分将详细研究与交易对手违约的具体情况、平仓付款以及违约时的收益对定价结果的影响有关的建模和套利定价问题。3无套利模型和鞅测度前一节的目标是在关于交易、净额结算和保证金规则的替代假设下，分析自我投资策略的财富动态。在ne xt步骤中，我们将为一个市场模型的无套利性质提供su-cient条件，考虑到上面考虑的各种不同的特殊情况。3.1融资成本特殊情况下的套利机会。我们将自己置于Sec TION2.2的基本设置中，使用一个单一的现金帐户B。然后，公式（2.20）得出:sevcldt(|)=evcld(||)+dxi=1z(0,t)ζiuebiudbsi,cldu+dxi=1z(0,t](ψiu+ζiubsiu)debiu。（3.1）注意processeVcld的动力学（2.20）不依赖于a。此外，我们假定a是允许的，因此折现的累积财富processeVcld（）是非负的（或者至少从下面以一个常数为界）。原则上，对于该模型的无套利性，我们可以考虑以下一般条件：对于任何自我调节的交易策略，存在一个概率度量EP（Ω,GT）,这样的概率度量EP（Ω,GT）等于P,并且processeVcld（μ）isa（EP,G）-loc al marting ale.当然，这个条件在一般情况下是很难检查的，因此实际上并不适用。因此，我们将寻找更多相对容易验证的特定条件，因为它们指的是对于给定的交易设置（也许也是对于手边的给定类别的合同）存在某种通用鞅测度。为此，我们将重新审视无套利模型和套利价格的概念，因为正如我们将在下文中讨论的那样，经典的概念不适用于目前的非线性T.R.Bielecki和M.Rutkowskiframework。特别地，我们证明了对市场模型的无套利性的研究离不开对给定合约类别的对冲策略的研究。注3.1显然，如果存在bk6=b，那么套利机会就会出现，因为我们可能会采取ζ=。..=ζd=0和ψj=0,对于每j,除了j=k。

因此，我们可以看出，一般情况下，对于evcldt(||)=evcld(|||)+z(0,t]ψkudebku，局部鞅的存在性是肯定的。因此，很明显，需要对交易策略和/或融资利率的类别施加一些额外的条件，以确保模型是无套利的。从注3.1可以清楚看出，在某种风险资产混合融资的情况下，研究自我融资交易的技巧是相当麻烦的，一般而言，我们需要逐案进行研究。然而，我们可以提出一个无套利市场模型的一般定义。我们现在处理一个模型，在这个模型中，借贷账户B0，+和B0，-aredi和erent。让我们观察一下，贴现净wealthprocesseVcld（,A）的显式sp ECI将取决于手头模型的其他特性。在目前的设置中，净财富通过对mula(2.8)Vcldt(\',A）的以下扩展来定义:=Vt(\',A）-B0,-T](B0,-u)-1da+u+B0,+tz(0,T](B0,+u)-1da-u(3.2),其中A=A+-a-是将A分解为其增减分量。本质上，我们说，如果具有初始资本x的套期保值者能够找到一个允许的策略，即在T时净财富是非负的且严格为正的概率，那么他就可以利用合约A产生套利机会。对时间T的净财富的解释如下：拥有初始资本x的套期保值者在时间0进入给定的合同a，并在同一合同中承担实际相反的头寸。特别是，由于premia抵消，额外的现金在时间0等于0。接下来，他为合同选择了对冲策略，同时，他利用外部贷款人为与oppos ite头寸相关的现金供应者提供资金。支持下一个定义的思想是将给定合同中动态对冲的“多头”头寸与相应的“空头”头寸进行比较，在此头寸中，所有流出或流入的ca sh馀额都被再投资于无担保账户B0，-和B0，+。定义3。1套期保值者与合约A相关的套利机会是任何交易策略，A）从下面以一个常数为界，并得到以下条件:VcldT(\',A)≥LT(V(}）和P(VcldT(\',A)>LT(V(}））>0，其中我们表示LT(x):=x+B0,+T-x-B 0,-T。注3.2折现净财富过程seVcld(\',A)从下面以一个常数为界的假设仅仅是一个可接受性的技术条件，它通常用于确保如果过程EVcld(\',A)在某种概率度量下是一个loc al marting ale，那么它是up ermartinga le。当然，即使在Black和Scholes模型中期权估值的最简单的情况下也会出现这个问题，所以在处理一般的连续时间框架时也不能避免这个问题，但它绝不是本文研究的非线性定价所特有的。备注3.3还注意贴现因子在这里有些未被详细说明。如果将constantin definition3.1设为ze ro,使净财富为非负，则考虑净财富而不进行任何贴现，从而解决了对3.1贴现的选择问题。否则，它将取决于手头的问题和模型（例如，见命题3.2）。场外交易合约的估值和套期保值25备注3.4为了简单说明，我们没有在（3.2）违约时间、平仓付款和违约时的收益的右边明确介绍。因此，这种自定义条件适用于衡量融资和抵押品的影响，但应略作修改，以涵盖违约时的现金短缺。一个合适的扩展是直接的，它将在本resea rch.comments的第二部分中完成。

由于第3.1条偏离了通常引入套利机会的方式，我们现在提出一些中肯的意见。设x=V(|)为套期保值者的初始资本。n不等式VcldT(\',A)>LT(\',A))读数svt(\',A)>x+B0,+t-x-b0,-T+B0,-tz(0,T](B0,-u)-1da+u-b0,+tz(0,T](B0,+u)-1da-u，现在很清楚，我们实际上是在分析仅基于无担保ac计数的ASEMI静态融资的完全动态he对冲的结果。因此，我们可以公平地承认，第3.1条只是对可能出现的套利机会的更普遍看法的一步，这些套利机会是在投资、融资成本和潜在对手池的信用质量的情况下出现的。它的自然扩展依赖于两个完全动态对冲的头寸的比较，因此我们最终会得出以下条件：一个套利oppo rtunity是一对（,对于套期保值者来说，允许的策略是V(θ)=V(θ)和VT(θ),A)-VT(ψ,-A)≥0和P(VT(=,A)-VT(ψ,-A)>0)>0。这种更普遍的观点意味着，通过利用两个具有充分信用资格的潜在交易对手的优势，可以创造套利机会。不用说，这种扩展需要引入至少一个更多的潜在交易对手，所以最小交易模型现在包括对冲者和他的两个对手。这似乎是未来可以追求的理论研究的一个有希望的途径。然而，这种扩展的确认要求在具有相同特征的anOTC合同中与两个独立的交易对手采取相反立场的可能性，从实际角度来看，这似乎不是一个合理的假设。支持3.1的论点可以概括如下：在市场模型的特定情况下，它的实现相对容易，它产生了明确的条件，使其具有一定的意义，最后但不是真正的，它澄清和公正地使用鞅度量的概念来建立一个具有融资成本、侧化和违约的市场。总括来说，虽然第3.1条规则受到批评，但它似乎是一个足够的工具来处理当前非线性交易环境中的套期保值和估值问题。3.2无套利财产无套利财产的conce pt现在可以针对可由特定模型涵盖的所有契约或通过选择我们感兴趣的特定a类契约来引入。原则上，无套利资产也取决于对冲者的初始资本x。回想一下，我们表示LT(x):=x+b0,+t-x-b0,-t。2我们说，当不存在与任何合约a∈a相关的rbitrage机会时，一个市场模型对于套期保值者来说是无套利的。换句话说，对于任何自适应策略和任何契约A∈A，如果被拒绝的Netted we althprocessevCLD(\',A）从下到下被一个常数限定，则p VCLDT(\',A）<LT(V(\'））>0。（3.3）注3.5当然，这里的情况是不对称的，即套期保值者不存在仲裁机会的模型仍可能允许交易对方进行套利交易。即使市场条件对双方完全对称，但交易双方的现金流也不对称，因此交易双方的价格可能是不对称的。Bielecki和M.RutkowskiRemark 3.6如果我们假定B0,+=B0,-=b，则我们得到以下等价条件p evcldt(\',A)<V(\'）\\>0。如果我们现在设置A=0，那么净财富过程Vcld（0,0）co inc与财富过程V（）相同，因此确认3.2正式地简化为无套利市场的经典确认。

因此，如果市场模型中没有摩擦（或者当摩擦不存在时），我们的定价方法与线性仲裁定价理论是一致的。3.3套期保值者的套利价格让我们假设市场是无套利的。下一个步骤是用c ash trainows a确定一个合约的套利价格范围。设x为套期保值者的任意初始资本，设p为套期保值者在0时刻的一个合约价格。实值o f p意味着套期保值者在时间0收到现金金额p，而负值p意味着他在时间0向交易对手支付-p。从下一个认识中可以清楚地看出，价格可能取决于套期保值者的初始资本x，而且通常不是唯一的。3我们说，对于任何初始财富为x+p的交易策略，无论何时，p是a的套期保值者的价格，并且使得折现财富过程seV(o，a)从下面以一个常数为界，我们有相应的p vt(o，a)<LT(x)>0(3.4)orp vt(o，a)=LT(x)=1。（3.5）对条件（3.4）的解释是，如果套期保值者拥有初始资本x，并以价格p进入合同A，那么他不应该能够构造一个V(Ⅵ)=x+p的可接受交易策略，且在此条件下，vt(Ⅵ，A)≥LT(x)=1，其中不等式严格服从正概率。换句话说，合约A中的对冲头寸在时间T时不应超过世界上所有国家的现金投资。在实践中，初始资本x<0可以解释为交易台从其内部融资台借入的现金数额，这些现金应在时间T时以利息B0偿还。因此，套利机会意味着价格p足够高，可以让套期保值者在没有任何r ISK的情况下进行套利。当然，条件（3.5）对应于合同可以复制的情况；通过求解非线性rBSDEs的非线性定价技术的这个特例在4.3.3.1鞅测度一节中进行了研究。对于第一个模型，我们的下一个目标是表明鞅测度的概念仍然可以使用d a s a工具，尽管现在应该如何选择鞅测度还不太清楚。在本小节中，我们将对第2.2节中介绍的市场模型进行研究。此外，我们假定自适应交易策略满足条件(2.14)，从而相等性（2.13）成立。如前所述（见备注2.6)，条件（2.14）意味着epo交易受到瞬时重新安置的影响，因此贴现财富等于sevt(\',A):=(Bt)-1 vt(\',A)。由于ceProcess A已被修改，我们将其从下面的记号fo reV中跳过。命题3.1假设存在一个关于(Ω，GT)的概率度量，使得过程BSI，cld,i=1,2。d是（eP,G）-局部鞅。第2.2节的模型是无套利的。场外合约的估价和套期保值27证明。我们可以观察到贴现的累积财富evcld(|)satis fiyesevcldt(|)=evcld(|)+z(0,t](Bu)-1dk|u=evcld(|)+dxi=1z(0,t](Bu)-1ζIudkiu=evcld(|)+dxi=1z(0,t](Bu)=1z(0,t](Bu)=1z)=1z(0,t](Bu)=1z)=dxi=1z(0,t](Bu)-1ζIubiudbsi,cldu。因此，这个命题来自标准参数，其运行如下：由于evcld(|)是非负局部鞅（或从下面以常数为界），它也为了描述a的套期保值者的价格集合，回想一下这里B0,±=B,a nd,V(}）=x+p。

经过简单的计算，我们得到了如下表达式(3.4)p+dxi=1z(0,T](Bu)-1ζIubiudbsi,cldu+z(0,T](Bu)-1dau<0>0，而(3.5)表示相等，概率1成立，即p+dxi=1z(0,T](Bu)-1ζIubiudbsi,cldu+z(0,T](Bu)-1dau=0=1。注意，在这个简单的集合中，套利价格集合p不依赖于套期保值者的初始财富x。假设T=-x1{T=T}和bi=b，对于每i=1,。...D.然后，我们得到套期保值R套利价格集合的如下特征:Eitherp p+dxi=1z(0,T]ζIudesi,cldu<b-1 tx>0 orp p+dxi=1z(0,T]ζIudesi,cldu=b-1 tx=1。这里我们认识到一个经典的情况，即套期保值者的套利价格的概念是价格p的任意水平，该价格p不允许为索赔xx创建超级套期保值策略。3.3.2鞅测度Se cond模型我们现在考虑2.4.3节中引入的带有空头现金头寸净额的设置。假设x≥0，我们通过设置ev+t(·A):=(B0，+t)-1vt(·A)来计算折现财富。命题3.2假设r0，+t≤r0，-t，而r0，+t≤ri，-t，对于i=1，2，....D.假设存在一个关于(Ω，GT)的概率测量值，使得过程si，+，cld，i=1，2，1sit+z(0，t](B0，+u)-1daiu。.d是（eP,G）-局部鞅，则2.4.3节的模型是无套利的。Bielecki和M.Rutkowskipropy。从推论2.4中，我们知道财富过程满足如下条件（见公式2.42)dVt(\',A)=kxi=1ζ它dsit+dait\\-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt+dat+r0,+t vt(\',A)+dxi=1(ζitsit)-dt。假设r0,+t≤r0,-t。ThendVt(\',A)≤kxi=1ζit dsit+daitTM-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt+dat+r0,+t vt(\',A)+dxi=1(ζitsit)-+dt=r0,+tvt(\',A)+dxi=1ri,+t(ζitsit)+dt+dxi=1ri,+tdxi=1(ζitsit)-dt=1ri,+tdxi=1(ζitsit)-dt≤r0,+tvt(\',A)dt+kxi=1ri DSIT-R0,+tsitdt+dait+dat，其中最后一个不等式成立，因为我们假设r0,+t≤ri,-t。因此，discountedWealtheV+t(\',A):=(B0,+t)–1 Vt(\',A)satis firesdev+t(\',A)≤kxi=1ζIT(B0,+t)–1 DSIT-R0,+TSITT+Dait+(B0,+t)–1 DAT。此外，Vcldt(\',A)≤Vt(\',A)–B0,+T](B0,+U)–1 DAU，因此净收入贴现WealtheV+,cldt(\',A):=(B0,+T)=(B0,+T):-1 Vcldt(\',A）satis foundesdev+,cldt(\',A）≤kxi=1ζitdesi,+,cldt。模型的无套利特性现在跟随usua l参数。具体而言，初始财富等于x≥0且thusVcldT(=,A)≤B0,+tx+B0,+tkxi=1 ztζitdesi,+,cldt，而LT(x)=B0,+tx。因此，无论VcldT（？,A)=LT(x)还是P(VcldT（？,A)<LT(x))>0，套利机会都被排除在外。套期保值者价格p的s et现在由以下条件表征：Eitherp x+p+kxi=1z(0,T]ζit dsit+dait-dxi=1z(0,T]ri,-T(ζitsit)+dt+at-a+z(0,T]r0,+T vt(+,A)+dxi=1(ζitsit)-dt-z(0,T]r0,-T vt(+,A)+dxi=1(ζitsit)+dxi=1(ζitsit)-dt<LT(x)>0或以上公式中的相等性与概率1成立。场外交易合约293.4交易策略的估值与套期保值保证金账户的存在。Wedenotel+T:=Z(0,T](BH,+U)-1 dbh,+U-（BC,+U)-1 dbc,+U-andl-T:=Z(0,T](BH,-U)-1 dbh,-U-（BC,-U)-1 dbc,-U.我们将自己置于第2.2节的设置中，我们考虑以下两种情况：(A)过程C与套期保值者的投资组合无关；(B)过程C取决于套期保值者的por tfolio.情况(A)。如果抵押品过程是预先确定的，因此它独立于套期保值者的交易策略，那么我们可以正式地认为过程AC=FC+A是所研究的合同的全部具体情况。换句话说，应该把估值和套期保值问题减少到ProcessAC给出的现金释放的无担保合同的情况下。

鉴于这一论点，我们可以通过设置VCLDT(\',AC）：=Vt(\',AC）–BtZ(0,T](Bu)–1 DACU来调整累积财富处理VCLD(\',AC）的确认。（3.6）我们不需要在这里对L+和L-过程施加任何额外的限制，因为它直接适用于第3.1条。相反，当抵押品在套期保值者的交易中出现ssdepe nds时，则使用命题3.3。下一个目标是extend命题3.1，以涵盖任意抵押品过程s C的情况，这可能取决于套期保值者选择的策略，因此C=C(||)（例如，参见Section 2.5.2中的公式（2.48））。为此，我们假定进程L+和L-分别不增加和不减少。在abso连续过程BC、+、BH、+、BC、-和BH,-的情况下，只要rC,+≥rH,+andRH,-≥rC,-,这些条件就满足了。然后我们得到以下关于evclld(\',A)eVcldt(\',A)=evcld(\',A)+dxi=1z(0,t](Bu)-1ζiubiudbsi,cldu+z(0,t](Bu)-1c+udl+u-z(0,t](Bu)-1c-udl-u的动力学表达式。命题3.3让我们在假设（2.14）下考虑2.2节的模型。假设存在一个概率测度Ep(Ω，GT)su ch,Ep与P等价，且过程bsi,cld,i=1,2,.d是（eP,G）-局部鞅。另外，如果过程L+和L-分别不增加和不减少，则该模型是无套利的。当然，通过扩展3.2方案，可以为2.4.3节的模型得出类似的结果。让我们总结一下(A)和(B)两种情况之间的差异。如果担保过程是外生给出的，那么相应的收益/损失可以作为套期合同的一部分处理。然而，如果过程C依赖于“？”，则这种方法不再有效，则ndC应被视为对冲策略的财富公关策略的一部分。类似的论证将适用于违约收益的情况。3.5违约收益或损失的交易策略如果违约收益的随机金额不依赖于交易策略，那么它可以被正式视为要估价和对冲的合同的一部分。O因此，情况变得更加微妙，因此在一般水平上更难处理。类似的评论适用于违约损失的概念。Bielecki和M.Rutkowski4复制在融资成本和担保下，我们现在将我们的估值方法应用于可以重复的合同的情况。为了方便起见，我们用D表示从套期保值者的收益来看，一个O T C合同在开始后支付的累计股息。始终假定D是一个D=0的c`adl`ag函数。累计股息处理包括与给定证券相关的所有现金流，例如在时间0之后、合同到期日T之前或到期日T之前收到或支付的“股息”，包括最终支付量和违约时的最接近支付量。示例4.1如果与合同相关的唯一现金流是发生在时间T的最终支付量，表示为X，则该证券的累计股息处理形式为DT=X1{T=T}。（4.1）例如，对于欧式看涨期权的发行人来说，没有股息支付，且股息支付量等于X=-(st-k)+，因此dt=-(st-k)+{t=t}。在什么情况下，从对冲者的角度来看，OTC合约的价格总是会被调整。我们认为整个交易过程的特征满足条件（2.14）。1我们说一个交易策略（？,a,C）复制一个由D给出的合约，当对于每个t∈[0,t]和VT(}）=0,相等时=Dtholds。如果一个合约可以在交易策略下被复制（？,a,C）,那么财富V(+)称为除息价格，并表示为S(+)。

同时股息价格Scumt被定义为特别是，对于一个看涨期权，我们得到scumt=(st-k)+.4.1一般估值结果回想一下，一般情况下C=C(Ⅵ)。因此，我们还不清楚价格S(|)的唯一ne ss是否成立，因为如果(|，A，C(||))和(E|，A，C(E|))是一个给定合同的两个复制策略，那么V(||)=V(E|).4.1.1 BSDE方法在第一个模型中，我们考虑了3.3.1节中讨论的模型，并且我们在Proposition 3.1的假设下工作。此外，我们还假定抵押品过程C独立于hedgingstrategy（hedgingstrategy）（hedgingstrategy）。让我们写出EEEET(·):=EeP(·Gt)，其中EP是Athand模型的任何一个最小测度。本文始终假定c条件期望被求出的随机var是可积的。为简洁起见，我们将DC=FC+D表示为命题4.1假设一个衍生证券D可以被一个交易利率（？,a,C）复制，那么它的除息价格过程S(}）与（？）equalsSt（？）=-bteet z(t,t](Bu)-1ddcu,t∈[0,t]相关联。（4.2）和加股利的价格satisfesscumt(||)=-bteet z[t,t](Bu)-1 ddcu,t∈[0,t]。（4.3）场外合约的估值与套期保值31Proof。假设（？,A,C）从（2.56）中复制D,我们得到devt(}）=dxi=1(Bt)-1ζitdkit+(Bt)-1(dfct+dDt)。（4.4）由于VT(8)=0，因此得到-EVt(8)=dxi=1z(t,t](Bu)-1ζIudkiu+z(t,t](Bu)-1ddcusince过程Kiareep-鞅，等式（4.2）如下。为了简化表示法，我们通常会写S和S(|)和Scum(||)的Scuminstead。s ameconvention也将适用于下文中考虑的其他价格过程。discountedex-红利价格过程equalsest=-eet z(t,t](Bu)-1ddcu,t∈[0,t]。（4.5）累积股利价格是这样给出的：cldt:=st-btz(0,t](Bu)-1 ddcu,t∈[0,t]，(4.6)和贴现的cu多倍股利价格相等sescldt:=est-z(0,t](Bu)-1 ddcu=-eet z(0,t](Bu)-1 ddcu,t∈[0,t]。（4.7）从上面的公式可以看出，贴现的累积股利价格CLDD是一个g-鞅低值。让我们引入以下符号（参见(2.9))kt:=s+z(0,t]budesu-dct=s+z(0,t]budescldu，(4.8)，其中第二个等式来自（4.7）。很清楚，它是一个G-局部鞅，并且仅当K是一个G-局部鞅。我们把Esclda的鞅性质称为乘法鞅性质，而K的鞅性质称为加法鞅性质。按部分积分得到skt=st-z(0,t]eSudbu-dct,t∈[0,t]。（4.9）4.1.2 BSDE方法在第二个模型中，我们现在从3.3.1节开始讨论模型，我们在命题3.2的假设下工作。特别是，r0，+T≤r0，-T，和r0，+T≤ri，-T，对于i=1,2。...D.我们假定在(Ω，GT)上存在概率测度Ep，使得过程esi,+,cld,i=1,2,。..,d是（eP,G）-局部鞅，其中i,+,CLDT=(B0,+t)-1sit+z(0,t](B0,+u)-1daiu。回想一下，现在的财富过程是dvt(\',A)=kxi=1ζit dsit+dit-dxi=1ri,-t(ζitsit)+dt+dat+r0,+t vt(i)+dxi=1(ζitsit)-+dt-r0,-t vt(i)+dxi=1(ζitsit)-dxi=32t.r。Bielecki和M.RutkowskiLet我们考虑了一个带有股息过程的场外交易合同。我们现在可以提出以下问题：如何找到co Ntract复制（或超级对冲）的最便宜的方式？更明确地说，我们搜索一个策略，即以最小的初始成本搜索一个策略：satifyingevt（？,D）=0。为了简洁起见，让我们通过写（我们表示S=(S，.)。）来表示动力学ofeV(·，D)。

dVt(\',D))dVt(\',D)=kxi=1ζit dsit-r0,+tsitt+dait\\+f(t,ζt,St)dt+ddt。因此dis数为0,+(\',D):=(B0,+)-1v 0,+(\',D)=kxi=1ζitdesi,+,cldt-r0,+tt(\',D)dt+(B0,+t)-1f(t,ζ,St)dt+(B0,+t)-1ddt。非正式地说，我们的估值问题现在可以直观地表示为策略配置问题满足条件(2.14)，使得等式（2.13）成立，并且使得该策略的ζ部分最小化以下期望((a))=-ee z(0,t](B0,+u)-1ef（u,ζu,Su,Vt)du+ddu10。（4.10）更确切地说，我们在初始值为最小的终端值Zt=0的情况下，寻找Bsdedzt=kxi=1ζitdesi,+,CLDt+(B0,+t)-1ef（t,ζ,St,Zt)dt+(B0,+t)-1ddt1的解(Z,ζ）。我们还可以通过假定ZT≥0而不是ZT=0.4.2Piterbarg[29]的模型来解决寻找最便宜的超级套期保值方法的问题。作为我们相当普遍的非线性套期保值和定价方法的一个例子，我们对Piterbarg[29]以前研究过的估值问题进行了详细的研究。继[29]之后，我们在这里提出了三种融资方式:sbt=eRtrudu、bt=eRtrudu、bct=ertrcudu，利差r-rc、r-r、rc-r表示融资率之间的基数，即融资基数。为了简单说明，我们假定rH，+=rH，-=rand rC，+=rC，-=rC，但没有任何先验假定利率r、rand Rci的顺序。4.2.1无套利性和鞅测度我们假设一只股票以s tochastic rateκ，并在真实世界概率pdst=St(μtdt+σtdwt)，s>0下具有（除股利）价格动态，其中W是p下的布朗模态n。corr sponding股利过程Ais由at=ztκusudu给出。像往常一样，我们wr itebst=(Bt)-1 standbs1,cldt=(Bt)-1s1,cldt=(Bt)-1s1,cldt.场外交易合约的估值和套期保值33推论4.1价格过程在EPDST=ST(RT-κT)dt+σTDFWT下，其中EFW是布朗运动下。等价地，处理bs1,cldsatisfiesdbs1,cldt=bs1,cldtσtdfwt。（4.11）过程ksatis firesdkt=dst-rtstdt+κtstdt=stσtdfwt(4.12)，因此是一个局部鞅。通过对鞅测度EP的认识，得到了累积股利贴现价格EBS1，cldis aeP-（局部）鞅。回想一下bS1,clds是由bS1,cldt=bst+z(0,t](Bu)-1dau,t∈[0,t].因此bS1,cldt=bst+z(0,t]κu(Bu)-1sudu=bst+z(0,t]κuesudu.sincedbst=bst(μt-rt)dt+σtdwt.,(4.13)我们得到dbs1,cldt=dbst+κtbstdt=bst(μt+κt-rt)dt+σtdwt.+σ-1t(μt+κt-rt)dt(4.14)为布朗运动低电位。将（4.13）与（4.14）结合，得到表达式（4.11）。其他断言的公式现在很容易。4.2.2抵押衍生证券的估值-外生抵押品。我们的目标是在时间T a nd一个预先确定的抵押品过程C中，用有界终端支付量X对担保证券进行估值和对冲。注意这里D是givenby公式（4.1）。对这个e nd,我们考虑了一个可容许的交易策略（？）=(ζ,ψ,ψ,D,C）,由一个支付股息的股票S组成，无担保资金账户带为资金账户b。财富过程V(}）由公式T(}）给出:=ζtst+ψtbt+ψtbt，对于每T∈[0,T]。我们假定对于每个t∈[0,t],ζtst+ψtbt=0（因此条件（2.14）成立），使得Vt(Ⅵ)=ψtbt。利用（2.61）得到dvt(8)=rtVt(8)dt+ζtdkt+(rt-rct)Ctdt+dDt(4.15),其中dt=X1{t=t}。根据（4.12）和（4.15）,devt(8)=(Bt)-1ζtstσtdfwt+(Bt)-1(rt-rct)Ctdt+(Bt)-1dDt。（4.16）在假设Vt((a))=0的情况下，(4.17)过程Vt((a))与累积股息t=X1{t=t}和抵押品c.34t.r的合同的除息价格S一致。Bielecki和M.

RutkowskiRemark 4.1注意，(4.15)可以改写为:sdvt(8)=-rcct+rt(Vt(8)+Ct)-rtζdt+ζtdst+ddt，upo n设置，C(t)=-Ct，V(8)=rcc(t)+rt(Vt(8)-C(t))-rtζtst+κutst dt+ddt。这与Piterbarg[29]中推导的公式一致，尽管ddt+ddt[29]中没有出现，因为其中考虑了同时分红的财富过程。因此，现金过程CF。注2.3)dγt=-rcct+rt(Vt(8)+Ct)-rtζtst+κζtst dt+dDt=rcc(t)+rt(Vt(8)-C(t))-rtζtst+κζtst dt+dDt，这在Piterbarg[29]中已经观察到（对dγ的方程中dD项的缩略语e的模）。命题4.2A具有最大红利dt=X1{t=t}和预定的附带过程C的担保cont可以通过一个可接受的交易策略复制。此外，除股利价格过程满足每t<t，st=-Bteet(BT)-1x+Ztt(Bu)-1(Ru-RCu)Cudu。（4.18）等效而言，ST=-BCTeet(BCT)-1 x+ZTT(BCu)-1(Ru-RCu)(Cu+Vu((du))dU。（4.19）证明。公式（4.18）是（4.2）的直接共序列。通过注意到fr om(4.16),我们得到了复制策略的COMPO ne ntζ,即:-(BT)-1x-Zt(BT)-1(Rt-RCT)ctdt-V(θ)=Ztζt(BT)-1stσtdfwt。为了得到(4.19)，我们需要观察方程（4.15）可以被写成asdVt(8)=rCtVt(8)dt+ζtdkt+(rt-rct)(ct+Vt(8))dt+dDt(4.20)，并应用与上面相同的参数。注4.2使公式（4.18）和（4.19）等价表明，只要证券的（累积）现金流过程得到适当调整，贴现系数的选择可以是任意的。在公式（4.18）的情况下，折扣因子被选择为表示交易资产的pr ic e过程，而在公式（4.19）的情况下，折扣因子被选择为过程BC，在目前的设置中，该过程甚至不是交易资产。特别要注意的是，贴现因子的两种选择都不对应于现货鞅测度Ep，在股利r ateκ=0的情况下，现货鞅测度Ep对应于贴现因子的选择Bas。在第4.3节中，我们在Pallavicini等人的论文中采用的定价方法的背景下，对上述问题进行了更广泛的讨论。[28].场外交易合约的估值与套期保值35套期保值者的抵押品。正如在2.5.2节中已经提到的，抵押品金额C可以特别根据被套期证券的市值来计算，因此，至少在理论上，它可以根据套期策略的财富过程来给出。例如，对于某些过程δ+和δ-，其givenas可能如下（见(2.48))Ct((di)=(1+δt)v-t((di)-(1+δt)v+t((di))(4.21)。因此，自我投资策略的折现财富为：收益Devt(}）=ζTDKT+(BT)–1(RT–rCt)(δ+TV–T(}）–δ–TV+T(}））dt+(BT)–1 DDT。（4.22）我们可以得到以下结果：命题4.3倒向随机di方程dyt=ζtstσtdfwt+(BT)-1(Rt-RCT)(δ+tz-t-δ-tz+t)dt，zt=-x，(4.23)有唯一解(Y，ζ）,其中过程Z satisieszt=-bteet(BT)-1x+ztt(Bu)-1(Ru-rcu)(δ+uz-u-δ-uz+u)du。（4.24）则具有累积股利dt=X1{t=t}和（4.21）给出的抵押品过程c的抵押合同可以被一个可接受的交易策略复制，并且对于每t<t,除权价格St等于Z。可以证明价格是唯一的，即它不依赖于套期保值策略。这是由Lipschitz连续COE的BSDEs的一般理论得出的。例4.2回想一下，完全抵押合同的情况与均衡性C(||)=-V(|||)有关。

在此假设下，我们得到dVt(8)=rCtVt(8)dt+ζtdkt+dDt。因此，假设(4.17)，我们得到以下BSDE，对于t∈[0,t],dVt(8)=rCtVt(8)dt+ζtdkt+dDt,VT(8)=0。这也意味着VT(8)=zt，对于所有t<t，其中Z满足sdzt=rCtZtdt+ζtdkt,zt=-x。该BSDE的唯一解等于，对于r所有t∈[0,t],zt=-bcteet(BCT)-1x=st（4.25）注意最后一个平等也紧随其后（4.19）。有趣的是，定价公式（4.25）将鞅测度下的期望值与使用过程B的股票价格贴现和使用过程BC的现金库诺贴现相结合，虽然这是一般公式（4.24）的一个特例，其中使用B来排除现金的释放。这说明了这样一个事实，即dis计数因子和鞅测度的选择，尽管不是完全任意的，但受来自Bayes公式和it o公式的众所周知的规则的约束，在很大程度上也是一个方便地表示估价问题的解决方案的问题，而不是一个修改合同价格的方法。因此，关于未来现金流贴现所用的Num\'erair e的普遍选择的问题并不是很好地提出来的，尽管从实际意义上来说，这样的选择可能是不可用的。36 T.R.Bielecki和M.Rutkowski4.2.3我们通过对Piterbarg模型的一个更一般的版本作出一些评论来总结这一工作。假设我们不再假定对于每t∈[0,t],相等的θtbt+ζtst=0成立。从公式(2.21)，我们需要调整fctobfct:=fct-zt(Ru-Ru)(θubu+ζusu)du(4.26)，因此财富动力学变成vt(Ⅵ)=rtVt(Ⅵ)dt+(Rt-Rct)Ctdt+(Rt-Rt)(θtbt+ζtst)dt+ζtdkt，为了简单起见，我们假定c侧向过程c是给定的。因此，权利要求X的价格公式（4.18）采用以下形式vt(Ω)=Bteet(BT)-1x-Ztt(Bu)-1(Ru-RCu)Cu+(Ru-Ru)('AuBu+ζusu)\\du，复制策略由等式(BT)-1x-Zt(BT)-1(Rt-RCT)CTDT-V(Ω)-Zt(Rt-Rt)('ATBT+ζTST)DT=ZtζTBT(BT)-1ES 1,CLDTσTDFWT确定。因此，假设不等式r>ris satis founded,则复制的por tfolio的价值现在将高于在θtbt+ζtst=0的假设下进行套期保值时的价值。相比之下，不等式θtbt+ζtst<0意味着我们可以借更多的现金，用账户Bithan它只是用作为同侧张贴的股票数量来计算。如果不等式r>r成立，那么当我们在我们的标准假设下进行套期保值时，复制投资组合的价值现在将较低。在一般的无限制套期保值情况下，人们面临着解决一个适当的优化问题以寻找最便宜的套期保值方式的问题--这个具有挑战性的问题留给未来的研究。4.3 Pallavicini et al.[28]Pallavicini等人的平易近人。[28]中，作者正式地将无风险短期利率作为一个工具变量来推断，而不假设该利率对应于一种交易资产。然而，他们从假设存在一个与使用虚拟无风险利率对交易资产价格进行贴现相关的“鞅测度”开始。更重要的是，他们还假定任何合同的价格都可以用这个鞅测度（[28]中的s ee公式(1))来定义为“带有成本的贴现现金产出”的条件期望。因此，如果直接应用于给定合同的现金产出，并对现金产出进行一些调整，以考虑实际资金成本、保证金成本、结售汇等，这个估价公式就不是真的。

例如，为了处理实际的融资成本，作者建议使用[28]中的公式（17）作为一种合理的估值工具。在[28]中第1-26页上的所有公式都是描述实际或调整的现金释放的结果，而不是从基本面得出的定价结果；今后，我们将集中讨论[28]中最有趣的结果，即定理4.3。正如这一结果所表明的，通过改变概率度量值e，人们可以避免使用无风险利率，从而避免使用归因于无风险利率的工具变量参见ms tobe Justi。OTC合约的估值和套期保值37然而，正如我们将在下文中讨论的，在[28]中提出的方法有些艺术性，它需要正确的猜测如何进行适当的现金流调整。更重要的是，这种极其复杂的方法实际上根本不需要，因为它总是足以直接关注与实际融资成本的市场模型，而不是假设任何特定的“风险中性定价公式”的形状。[28]方法，让我们考虑一个不支付股息的股票和一个储蓄账户的市场模型，这样DBT=RTBTDT。假设4.1我们假设我们的模型是无套利的，因此过程的鞅测度P*存在=S/B，设V((a))是一个自适应交易策略的财富(a)=(ζ,ψ）。以下引理是已知的。引理4。1折现财富过程SEV(||)=V(||)/BSATIs包含等式deVt(||)=ζ,因此它是一个p||-局部鞅（或者在适当的可积性假设下是一个p||-鞅）。现在让我们来定义一个完全任意的变化过程，例如bγ，这样dbγt=γtbγtdt，t≥0，bγ>0。这是一个不假定这个过程代表交易资产（或者甚至与手头的市场模型有任何关系）的结论。假设4.2存在一定的概率pγ，使得过程s=s/bγ是apγ-局部鞅。在一个典型的市场模型（即Black-Scholes模型）中，这个假设将被证明为dueto Girsanov定理，但这并不意味着过程bγ与模型有任何特定的关系。当提到[28]的结果时，我们有时会将γ解释为一个虚拟的“风险自由者”，但这种解释是完全任意的，它与下面提出的结果的有效性没有任何关系。我们现在定义了一个辅助性的pro cess vγ(}）assoc与一个任意的自我交易策略。2让“i”成为财富过程V(i)中的一种自我调节的交易策略。然后用以下公式γT(8):=Vt(8)+BγTZT(γU-Ru)'AUBU(BγU)-1dU来计算过程Vγ(8)。（4.27）当然，过程VγT(|)并不具有自适应策略的丰富，以g能量表示。备注4.3过程Vγ(||)c可以等效为VγT(||):=Vt(||)+BγTZT(γU-Ru)(Vu(||)-ζusu)(BγU)-1du。（4.28）除非γ被解释为无风险利率，否则无法对上述公式中的最后一项进行正式解释。Bielecki和M.RutkowskiLet通过设置vγ(Ⅵ)=vγ(Ⅵ)/bγ来定义vγ(Ⅵ)过程。下面的pro-position表明，对于任何自组织交易stra tegy，在概率度量pγ下，过程vγ(|)具有鞅性质。这是一个纯粹的数学结果，并不意味着ATPγ在任何意义上都是“风险中性概率”。引理4。2设一个自适应交易策略，并设过程vγ((di))由（4.28）给出，则过程vγ((di))是pγ-局部鞅。证明。为了简洁起见，我们从记号V(|)和Vγ(||)中去掉了“||”。它可以显示d_vγt=ζtd_stor,等效地d_vγt-γtvγtdt=ζt dst-γtstdt。

（4.29）将It O公式应用于(4.28)，我们得到dvγt=dvt+(γt-rt)ψtbtdt+vγt-vtbγt=dvt+(γt-rt)(Vt-ζtst)dt+γt(vγt-vt)dt，因此，利用参数的自身特性，我们得到dvγt-γtvγtdt=dvt-rtvtdt-(γt-rt)ζtstdt=dvt-rt-rt(ζtst+ψbt)dt-(γt-rt)=ζtdst+ψdbt+rtζbtdt-γtζtstdt=ζdst-γtstdt=as需要显示。当然，当等式γ=r成立时，引理4.2就变成了引理4.1。引理4.2因此可以被视为引理4.1对一般情况的扩展，即贴现系数不一定是交易资产。在这一步骤中，我们将说明[28]中的定理4.3。然而，请注意，公式（4.31）的一个未知数在[28]中没有得到，而我们是从基本原理中推导出来的。假设4.3假设一个合同在t时刻有一个单一的现金流X，并且存在一个对X的复制自投资策略。在适当的可积性假设下，复制策略的折现财富过程v(||)是一个p||-鞅。因此，X的套利价格可以用中立的价值n公式计算，具体来说，πt(X)=EP*(XBt(BT)-1Ft)。（4.30）现在让我们来考虑任何过程bγ，这样概率meas在pγ中得到很好的解释。在命题4.2中，我们推导出如下推论，说明在适当调整现金流量后，pγ也可以作为一个“定价度量”。推论4。2如果假设4.1-4.3满足，则价格πT(X)=Vt(θ)也由下式πT(X)=EPγxBγT(BγT)-1+BγTZTT(γU-Ru)'AUBU(BγU)-1du ft给出。（4.31）场外合约的估值与套期保值39由于πubu=Vu(Ⅵ)-ζusu=πu(X)-ζusu，公式（4.31）也可以改写为πt(X)=ePγxbγt(bγt)-1+bγtztt(γu-ru)(πu(X)-ζusu)(bγu)-1du ft。（4.32）证明。本文证明了（4.31）中的右边与V(Ⅵ)重合，其中一个策略可以复制X。在pγ下的鞅性质是指，对于ll T∈[0,T]，VγT(Ⅵ)=epγVγT(Ⅵ)ft。（4.33）根据（4.28）和等式VT(θ)=X，等式（4.33）意味着atVt(θ)(bγt)-1+Zt(γu-Ru)'AUbu(Bγu)-1du=EpγX(Bγt)-1+Zt(γu-Ru)'AUbu(Bγu)-1du ft。这立即得到了断言的公式。如前所述，[28]中假定公式（4.32）的一个版本是供资成本项下的有效估值配方（见[28]中4.5.1节的公式）。在我们看来，[28]中提出的论点，虽然有时会导致正确的估值结果，但过于复杂，它们可能需要更多的工作来了解现金流的调整。从一个根本不使用“工具变量”（例如，非交易的无风险短期利率）的市场模型开始，似乎要简单得多。不必说公式（4.30）比公式（4.32）更容易建立一个nd实现，所以用这种公式表示数字定价并没有实际的好处。参考文献[1]Bianchetti,M.：两条曲线，一个价格。Risk，2010年8月，74-80。[2]Bielecki,T.R.,Cr\'Epey,S.,Jeanblanc,M.和Z argari,B.：Markov copula模型中CDS交易对手风险的估值和对冲。工作文件，2010年7月1-5日。[3]Burgard,C.和Kjaer,M.：PDE Repretents与双边交易对手风险和融资成本的选择。工作论文，2009年11月。[4]Burgard,C.和Kjaer,M.：具有交易对手风险和融资成本的衍生品的部分均衡表示。信用风险学报7（2011）,1-1 9.[5]Burgard,C.和Kjaer,M.：在平衡中。Risk，2011年11月，72-75。[6]Bo,L.和Capponi,A.：信用违约互换投资组合的双边信用估值。Workingpaper，2012年11月12日。[7]Brigo,D.，Buescu,C.和Morini,M.：交易对手风险定价：清算和违约时间的影响。J.Theor。阿普尔。菲南。15（2012）.[8]Brigo,D.

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