加性参数与乘性参数：在经济学和经济学中的应用Helena Jasiulewicz*，Wojciech Kordecki.12月13日，2016摘要本文主要研究随机变量的乘性参数及其估计量。研究了乘法期望和乘法变差的乘法性质及其估计量。对于具有适用性和保险性的分布，我们给出了它们的乘法参数和性质。除其他外，我们考虑了重尾分布，如对数正态分布和Pareto分布，应用于大损失的建模。我们讨论了乘法模型，其中的几何平均值和几何标准差比它们的算术对应物更精确。我们提供了1995-2009年华沙证券交易所和1992-2009年波兰52周国库券投标的两个例子作为说明性例子。关键词：几何平均数；几何方差；对数正态分布；帕累托分布；乘法估计1引言描述统计中常用的两个测度是算术平均值和标准差。几何平均数较少使用，*WROC法律大学环境和生命科学学院经济和社会科学研究所。这些工作得到了波兰国家科学中心的支持。波兰莱格尼察的威特隆国立应用科学大学技术和经济科学系。而与g测度平均数有关的几何标准差使用得更少。当几何（乘法）参数时，什么时候使用算术（加法）参数更好？这些问题在经济学和经济学文献中得到了广泛的关注。La Tan\'e(1959)的文章是关于这个主题的一篇论文，他将几何投资策略引入了投资和经济学文献。Weide、Peterson和Maier在他们的论文（1977）中写道：本文的大部分工作都致力于地理度量平均策略的各种性质的研究。最近发现的最优几何均值投资组合的性质是：(i)它们在规定的时间内使超过财富水平的概率最大化；(ii)它们使破产的长期概率最小化；(iii)它们使期望的财富增长率最大化。在文章（Weide et al.，1977)中，它们考虑了最优几何均值投资组合的计算问题或此类投资组合的存在性问题。他们在对投资者的机会集和持有期收益的主观概率分布形式的各种假设下对这些问题进行了分析。未知参数为a=E(R)=em+σ/2。估计这个参数可以用ross收益的算术平均值:r=nnxi=1ri。它是参数a的一个无偏估计。在(Cooper，1996)中考虑的另一个未知参数是总收益的几何平均值b=EG(R)=EM。参数b可估计为几何meanRg=eln r=expnnxi=1ln ri！。在（Cooper,199 6；Jacquier et al.,2003,2005）中，计算了期望值e rg。该值是B的渐近无偏估计。此外，还确定了趋向于t o为零的方差d rg-hearning。在我们的论文中，我们指出几何估计量的质量应该由几何均值和几何变量来检验，而不是由它们的算术对应物来检验(Cooper，1996；Jacquier et al.，2003，2005)。在论文（Hughson et al.，2006)中，作者指出预测一个典型的未来累积收益应该更多地关注于估计未来累积收益的主题，而不是期望累积收益的中位数。累积回报的预期值总是高于累积回报的中位数。

风险投资收益的概率分布是正向偏态的。通常可以肯定的是，回报具有对数正态分布。对于一个对数正态分布，主题和几何期望是相等的。另一个经常用于投资和保险的分布是帕累托分布，其中几何平均数接近中位数，远离算术平均数。算术平均数和几何平均数是对过去和未来投资回报的一些有争议的度量。论文中给出了对蓟属植物的批评性评论（Missiakoulis et al.，2007)。文章对离散时间内投资总收入的基本等式和不等式进行了综述(Cate，2009)。各种均值的性质可以在综述论文中找到（Ostasiewicz和Ostasiewicz,2000）。与上面讨论的结果不同，本文还扩展了乘法参数（包括几何均值）的问题，并将乘法方差作为离散度的一种度量进行了解释和应用。正如我们在下一节中更详细地证明的那样，这种测度是随机变量与其几何平均之间偏差的一种更好的、更自然的测度。几何va r偏差对于乘以附属物是不变的。从这个性质可以得出，以现有货币单位为单位的经济数量的方差是常数，与该单位的回声无关。例如，如果货币单位是1美元或一个货币单位是100美元，那么var是相同的。此外，几何变异是变异性的无量纲度量。例如，它允许比较两国间汇率的波动性。在2.1节中，我们给出了乘法参数的定义和性质。我们讨论了乘法模型，其中几何平均和几何标准差比它们的算术对应物更自然。在第2.2节中，我们介绍了一些典型的分布，对于这些分布，多倍增参数比加性参数更自然。在第2.3节中，我们给出了在第2.1节中考虑的乘法参数的估计及其性质。在第3节中，我们给出了实际应用的例子。2参数和模型2.1乘法参数和模型让我们定义乘法（几何）均值byEG(X)=eE(ln，X)，(1)其中Pr(X>0)=1。由Jensen不等式很容易看出Eg(X)≤E(X)，下面我们给出了几何平均的一些明显的性质。方程（1）包含公式gnyi=1Xi！=nyi=1eg(Xi),（2）假设随机变量的乘法期望存在。在这个公式中，随机变量是相依的。此外，对于everya>0EG(aX)=aEG(X)，并且对于每个a∈REG(Xa)=(EG(X))a。（3）从（3）对于a=-1，我们得到g X=eg(X)。（4）因此，从（2）和（4）我们得到了EG XY=EG(X)EG(Y)。性质1。若EG(X+Y)存在，则EG(X+Y)≥EG(X)+EG(Y)。（5）证明。公式（5）按规定是等效的toeE(ln(X+Y))≥eE(ln(X))+eE(ln(Y))。（6）将（6）的h边除以eE(ln(X))，得到一个等价不等式YEE(ln(1+Y/X))≥1+eE(ln(Y/X))，设T=Y/X。然后证明了不等式yee(ln(1+t))≥1+eE(ln，t)。假定t是离散随机变量，Pr(t=xi)=pi。从t he book（Mitrinovi c et al.,19 93）的不等式（7.1）出发，证明了不等式yee(ln(1+t))≥1+eE(ln，t)。6,得到了f(x)=ln(1+ex)代入后的不等式nexpnxi=1pixi！+1！≤nxi=1piln(exi+1),代入xi=lnai得到expnxi=1pilnai！+1≤expnxi=1piln(ai+1),完成了（5）对离散x和Y的证明。

对于任意X和Yin不等式(5)，我们用离散随机变量逼近X和Y，正t和1之间的平方乘性散度由以下条件确定：1。f(t)≥1,f(1)=1,2。f(t)=f t,3。f(t)是t≥1的增函数。条件2是指对于任意两个正数u或v:f uv=f vu。函数f(t)=elnt=tlnt(7)ful满足上述条件，对商起着与tfordi erens相同的作用。这意味着f（u/v）是u/v与1的平方乘方差。我们将几何方差定义为随机变量X与它的几何均值的四乘方差的乘方差:dg(X)=eg exp lnxeg(X)=eD(lnx)。（8）根据定义(8)，我们有edg(X)≥1，DG(X)=1Pr(X=const)=1。乘性（几何）标准差由:σg(X)=e√d(Lnx)表示。注意，如果DG(X)6=1或DG(X)6=e，则σg(X)6=pdg(X)。σ(X)+σ(Y)≥σ(X+Y)的对应关系由方程σg(X)σg(Y)≥σg(X+Y)给出。（9）然而，人们不能比较D(X)和DG(X)，因为σ(X)=pd(X)用与X相同的单位表示（例如，用欧元或重量或尺寸单位表示），但σg(X)是无量纲的（乘以100后可以用百分比表示）。除m函数（7）外，函数f(t)=eln t(10)也满足上述条件（Saaty和Vargas，2007)。但是，请注意，由（10）所定义的函数是fe x-ex的乘法对应函数，而不是方差D(X)的乘法对应函数。下面我们给出乘法方差的一些性质。方程（8）包含公式gnyi=1Xi！=nyi=1dg(Xi)，(11)假设随机变量的乘方差不存在且不独立。此外，对于a>0DG(aX)=DG(X),对于a∈RDG(Xa)=DG(X)-a,(12)σg(Xa)=(σg(X))a，(12)对于a=-1，我们得到dgx=DG(X)。（13）因此，如果X和Y是独立于（1 1）和（13）的，我们得到g xy=DG(X)DG(Y)。乘法方差和标准方差是随机变量与其乘法均值mg=eg(X)之间的偏差的商度量，而加性方差和标准偏差是随机变量与其加性均值m之间的偏差的度量。由于在加法情况下，对形式(m-kσ，m+kσ)的第k个区间进行修正是有用的，所以在乘法情况下，我们有形式mgσ-kg，mgσkg.的对应物。（14）设(X，Y)为二维随机向量。我们将用一个随机变量X来求一个随机变量Y的最优近似。为了达到这个目的，我们将求出一个等式的乘法对应项，即bE(y-(aX+b))=e-y-eax+eb。一个随机变量Y和一个随机变量va r ix(eαX+β)的指数函数之间的距离的测度是，根据方程(7)，随机变量elnT的几何期望，这里et=EαX+βY，注意eg elnT=exp E ln elnT=eE(lnT)=eE(Lny-(αX+β))。我们不是使表达式E(y-(aX+b))最小化，而是使表达式E(y-(aX+b))最小化。因此，minα，βE(Lny-(αX+β))=eLny-eαX+Eβ，foreα=cov(X,lny)D(X)，(15)Eβ=E(Lny)-cov(X,lny)D(X)E(X)E(X)E(X)E(X)E(X)。（16）公式（15）和（16）表明，作为rando m va可乘Y的最佳近似的函数具有形式Y=eeα(x-e(X))EG(Y)。（17）注意，在等式（17）中，rando m变量X的参数是可加的，而rando m变量Y的参数是可乘的。具有一个解释变量的乘法计量经济模型的形式为Y=f(X)ε，其中ε是一个随机分量。通常假定ε具有pa r参数m和σ的非正态分布。设Z=ln Y。ThenZ=lnf(x)+lnε(18)是一个随机分量η=lnε，正态分布为N(0,σ)的加性模型。我们将用z来表示它的趋势，其中z=ln f(x)。（19）用t he公式=f(x)=eαx+β表示指数趋势。

（20）乘性模型中的趋势由y=ez给出。（21）变量y在乘法模型中的行为由其几何平均值重新描述。2.2选定分布的参数在本节中，我们将确定经常应用于投资风险建模的分布的乘法参数。两个重尾分布，即对数正态分布和Pareto分布，在金融和保险市场上，尤其重要。随机变量X具有对数正态分布，如果Y=lnx具有正态分布，YèN(m,σ),EY=m,DY=σ.对数正态分布是对数正态分布，而对数正态分布是对数正态分布，对数正态分布是对数正态分布，对数正态分布是对数正态分布，对数正态分布是对数正态分布，对数正态分布是对数正态分布是对数正态分布。那么，预期(X)=eM+σ/2和变分(X)=e2m+σEσ-1。乘法参数如下:EG(X)=Me(X)=em=e-σ/2E(X),DG(X)=Eσ，其中Me(X)=EG(X)和DG(X)的中位数分别依赖于m和σ。通过它们的关系d度量的均值E(X)和EG(X)之间的散度被给定为byd(σ)=E(X)EG(X)=E(X)EG(X)=E+σ/2em=Eσ/2，并随σ呈指数增长。在这种情况下，一个有趣的分布是Pareto分布，其累积分布函数为fp(x)=(1-βxα，x<β，(22),其中α>0，β>0。随机变量x的加性参数为:e(x)=αβα-1，α>1,d(x)=αβ(α-2)(α-1)。乘性参数为:eg(x)=βe1/α，(23)DG(x)=e1/α(24)，且存在f或任意α>0。中值Me(X)对任何α都存在，并由Me(X)=β21/α<EG(X)给出。Sincelimα→∞E(X)=limα→∞EG(X)=1,对于大的α我们有E(X)≈EG(X)。2.3乘法参数的估计：几何meanxg=nyi=1xi！1/n=expnnxi=1ln xi！（25）和几何变量g=nyi=1exp lnxixg！1/n=expnnxi=1lnxixg！，(26)sg=nyi=1exp lnxixg！1/(n-1)=expnxixg！1lnxixg！。（27）然后，经验标准差被定义为ln sg=vuutnnxi=1lnxixg,ln sg=vuutn-1nxi=1lnxixg。现在我们可以从2.1节导出乘法参数的估计方程及其性质。...Xn是一个具有cdf F(x)的popula t离子的rando m样本。设θ是F(x)的乘法t参数，例如θ=EG(x)或θ=DG(x)。下面我们给出这类参数的乘法估计的基本性质。如果EG(Zn)=θ,则统计量Zn=F(x,...,Xn）是θ的乘法无偏估计。如果limn→∞eg(Zn)=θ,则Znis是θ的乘性渐近无偏解算子。如果Zn/θ在概率上转换为1，则Znis是θ的乘法一致性估计量，表示为Zn/θp-→1，即对于任一ε>0,limn→∞pr Znθ-1>ε=0。定理1。让X，X，..，Xnbe是一个具有乘数egxi=mg的随机样本。统计量XGis是MG的乘法无偏估计。证明。由（3）和（1）我们得到了Eg xg=eg nyi=1Xi！1/n=egnyi=1Xi！1/n=ny=1eg(Xi)！1/n，然后，我们可以很容易地计算出如下性质：性质2。如果X，X，...,xn是独立同分布的随机变量，具有乘法期望mGand va ri a ncesσgthendg xg.=dg(X)1/n。证明dg xg.=dgnyi=1Xi！1/n=dgnyi=1Xi！1/n=ny=1dg(Xi)！1/n=dg(X)1/n=σg1/n。注意dg xg→1而n→∞。定理2。如果X，X，.Xna是独立同分布的随机变量，并具有乘性期望mGand va ri a ncesσgthenxgis是Mg的相合估计。从大数定律为序列n X,ln X,。..,ln Xnwe havennxi=1ln xip-→E ln x。对于任意连续方程g(x)gnnxi=1ln xi！p-→g(E ln x）,取g(x)=exwe havexgp-→mg。因此，XGis是MG定理3的相合估计量。让X，X，.Xnbe独立，同分布的随机变量。统计量SGis是σG的乘性无偏估计，SGis是σG的乘性渐近无偏估计。为了证明SGIS是σgn的乘法无偏估计，我们必须计算Termegnyi=1eln(xi/xg)！1/n，设yi=lnxi。

类似于证明S=n-1nxi=1xi-x是D(X)的无偏估计，我们可以证明SGIS是σg的乘性无偏估计。因此，我们省略了细节。作为一个简单的结论，我们得到了SGis是σG定理4的乘性渐近无偏估计。让X，X，.Xnbe无关的同分布随机变量。证明:sg=expnnxi=1lnxixg,sincelnxixg=ln xi-lnxg=(ln Xi)-2ln xilnxg+ln xg,我们得出nxi=1lnxixg=nnxi=1(ln Xi)-2ln xilnxg=1(ln Xi)-2lnxgnnxi=1ln Xi)p-→e(ln X),nnxi=1ln Xi)p-→e(ln X),nnxi=1ln Xi)p-→e(ln X),nnxi=1ln xip n X）,lnxgp-→ln mG,lnxg-→ln mG,lnxg-→(ln mG）,通过简单的计算得到expnnxi=1lnxixg！p-→exp e(ln x-mg)=exp d(ln X).完成了证明。方程（15）和（16）给出的par参数eα和eβ的估计量α和β分别由α=pni=1xiiln yi-nx ln ypni=1xi-nx,(28)β=lny-αx。（29）由（20）给出的趋势y的估计具有yg=exp(z)，(30)的形式，其中z=αx+β3乘法模式的应用几何平均在经济学中的许多应用可以在论文中找到（Hughson et al.，2006；Jacquier et al.，2003)。年的未来股票组合（Jacquier et al.，2003)和预期的gr oss回报（Hughson et al.，2006)用几何平均数估计。Cooperin(1996)提供了一些有趣的考虑，如何将几何平均值或算术平均值应用于计划投资的贴现率估计，然而，应用几乎总是使用乘法平均值。仅在（Saaty and Vargas,2 007）中应用了（10）给出的乘性离散度，但正如在2.1节中所解释的那样，离散度与标准差的关系。在保险和保险中，损失是用Pareto o r lognormaldistributions建模的。这样的分布是正偏斜的，所以它们的算术值与它们的中值相去甚远。因此，预期值并不影响这些分布的中心趋势。正如我们将要讨论的，分布的几何方法没有这样的缺陷。此外，很明显，围绕EGX的色散必须等于DGX，而不是todX。让我们只指出，在其他科学领域，乘法参数比加法参数更好地描述了一些现象--例如，参见（Zacharias et al.，2011)和其中的参考文献。在下一节中，我们提供了乘法参数应用的两个例子。这些例子来自波兰市场和波兰证券交易所。3.1收益率指数收益率IR100%的WIG20指数在1995年至2009年期间在表1中给出，r=1995。..2009年。第三栏中给出了累积Coe cients ar=1+irare。1995年初投资初始资本p=1的2 009年底的总回报（未来值FV）由公式FV=yr=1995ar给出。表1：回归ra t es IR100%指数WIG20 yea rs 199 5-2009年比率COE to Cient 2009 33.47%1.332008-48.21%0.522007 5.19%1.052006 23.75%1.242005 35.42%1.352004 24.56%1.252003 33.89%1.342002-2.70%0.972001-33.46%0.672000 3.40%1.031999 43.80%1.441998-16.20%0.841997 1.10%1.011996 82.10%1.821995 8.20%1.08来源:http://www.gpw.pl/analizy_i_statystyki_pelna_wersja（2014年11月）Sinceag=1.0820,FV=(aG)=3.2656。用算术平均值a=1.1295代替几何平均值we获得FV\'=(a)=6.2161，(31),这是对FV的两次高估。接下来，我们计算SG=1.1600。