（注意，在博弈论中，YJIs通常表示为Y-J）。我们也通过滥用记号来写~y=(Yj，Yj)。方程（2.2）可按以下形式重新转换:dyj=-YjΦn(~x,Yj,Yj,t)dt+√2d yjdbjt。（2.4）其中代价函数Φn(~x，~y，t)为Φn(~x，~y，t)=nxk6=jζjk(~x)(xj-xk)φ(yk-yj),(2.5),而ζjk(~x)=ζρj(~x)+ρk(~x).因此，代理人选择代价函数Yj→Φn(~x，Yj，Yj)=nxwww=j(xó-Xj)的最陡下降方向作为其在wealt h空间中的作用。这个作用被补充了一个几何布朗噪声模型波动性。由于环境的原因，忽略这些额外的e作用，代理最终会在很大程度上达到其成本函数的最小点。这个最小值是writtenYNj(~x,Yj,t)=arg minyj∈R+ΦN(~x,Yj,Yj,t）,πj∈{1,...,N}。（2.6）对应于代理人的纳什均衡。因此，该动力学对应于一个非合作的非原子匿名博弈[1,17,23,24]，也称为MeanField博弈[7,15]，其中均衡假设被描述向纳什均衡推进的时间动力学所取代。然而，成本函数依赖于代理人在经济空间中的位置，反过来，代理人在经济空间中的位置依赖于他们的财富。因此，当经济控制空间中的主体运动时，局部纳什均衡可能会受到扰动。本文的目的是通过在经济控制空间中建立宏观方程来研究这个系统的大尺度特性，特别是在势不是二次的情况下（文[11]中讨论了二次的情况）。2.2平均场极限引入n粒子经验分布函数fN(x，y，t)=nnxj=1δxj(t)(x)δyj(t)(y)，并将fna看作从t∈R+到fN(t)∈P(R×R+)的映射，其中P(R×R+)表示R×R+上的概率测度集。我们现在作以下假设：假设2.2在平均极限N→∞f N个数的代理中，存在一个单粒子分布函数f=f(x,y,t）,其中Pac(R×R+)是(R×R+)上相对于(R×R+)上的Lebesgue测度绝对连续的空间概率测度，Suchthatfn f,当N→∞时，（2.7）在有界测度的弱星拓扑中，我们还假定存在一个平均代价函数：假定2.3我们假定存在一个映射Pac(R×R+)→C(R×R+)，F7→Φf，使得对于满足(2.7)的所有轨迹(Xj(t),Yj(t))，(Xj(t)，Yj(t))→(X(t)，Yj(t))，(X(t)，Y(t))，(X(t)，Y(t))，(X(t)，Y(t))，(X(t)，Y(t))，(X(t)，Y(t))，N→∞时，我们有.，N}，t≥0。（2.8）根据假设2.2和2.3，由于(2.5)，Φf(t)由:Φf(t)(x，y)=z(x′，y′)∈R×R+ζρ(x，t)+ρ(x′，t)ρ(x′，t)φ(y′-y)f(x′，y′)dx′dy′，(2.9)给出，则在极限N→∞范围内，单粒子分布函数f为下列Fokker-Planck方程[6]:tf+x(V(x，y)f)+y(Ff)=d，y(2.10)，其中Ff=Ff(x，y，t)由Ff(x，y，t)=-yΦf(t)(x，y)给出。（2.11）对于r短，我们将写Φf(t)=Φf。由于（2.9）,Ffcan可写成:FF(x，y，t)=-z(x′，y′)∈R×R+ζρρ(x，t)+ρρ(x′，t)ρ(x-x′)yφ(y-y′)f(x′，y′，t)dx′dy′。（2.12）我们用边界y条件f（x,0,t)=0,±x∈R,±t∈R+来补充这个方程。（2.13）我们还提供了一个初始条件f(x，y，0)=f(x，y)。2.3宏观尺度为了合理地管理各种尺度，我们对各种无量纲尺度进行了修改。我们引入了时间和经济控制空间单位，其中a的典型值为V。我们用货币单位y来衡量财富的变化。

我们选择tin这样一种方式，即θ和D的大值是O(1)。引入~x=x/x、~t=t/t，~Y=Y/Y，~F(~X，~y，~t)=xyf(x,y,t)，～V(～X，~y)=V(x，y)/a,~(~x-~x′)=x(x-x′),～ρ～ρ(～x,～t)=xρρ(x,t)，～ζ(～ρ)=ζ(ρ)/(ay)，～f～f(～x，～y，～t)=(t/y)Ff(x，y，t)，～Φ～f(～x，y，t)=(t/y)Φf(x，y，t)，～φ(～y)=φ(y)，～d=dt，(2.10)写:～t～f+～x(～v(～x，～y)～f)+～y(～f～f)=～d～y～f)，(2.14)由～y，～t)，(2.15)和～Φ～f(～x，～y，～t)==z(～x′，～y′)∈R×R+～ζ（2.17）我们注意到~é仍然满足归一化条件n(2.3)。在[10]中发展的过程的基础上，我们引入了宏观尺度。我们假设，与代理人之间的财富交换相比，经济条件x的变化是缓慢的。因此，我们将经济约束空间和时间的单位改为新的x′=x/ε，t′=t/ε，ε1。参数ε是两个经济相互作用之间的典型时间（非常短）与经济约束变量的时间尺度（尽管它很大）相比较的r atio。因此，我们将空间和时间变量改为宏观变量x=ε～x，t=ε～t，并将f(x，～y，t)=ε-1～f(～x，～y，～t)。我们注意到tha t，像通常在动力学理论中一样，我们不对变量~y进行缩放。在这个尺度的变化中，tHe积分(2.17)变为r～∞(x-x′ε)f(x′，～y′，t)dx′d～y′=O(ε)。因此，为了考虑到这一行为，我们将密度~ρ~(x，t)=ε-1~ρ~(~x，~t)重新取值，并设ρ~(x，~t)。我们将速度、成本函数和力缩放为1，即我们让v(x，～y)=～v(～x，～y)，f f(x，～y，t)=～f～f(～x，～y，～t)，Φf(x，～y，t)=～Φ～f(～x，～y，～t)。类似于(2.17)，在此重新缩放中，(2.1)中的积分是O(ε)。为了弥补这一不足，我们假定ζ较大，保持了订单单位的交易频率，因此我们设ζ(ρ)=ε～ζ(～ρ)。力项的结果表达式为f f(x，～y，t)=-～yΦf(x，～y，t)，(2.18)带Φf(x，～y，t)==z(x′，～y′)∈R×R+ζρ～(x，t)+ρ～(x，t)ε～x-x′ε～φ(～y-～y′)f(x′，～y′，t)dx\'d～y′，(2.19)ρ～(x，t)=z(x′，～y′)∈R×R+ε～x-x′ε)，(2.19)ρ～(x，t)=z(x′，～y′)∈R×R+ε～φx-x′ε，(2.18)F(x\',～y\',t)d x\'d～y\'。（2.20）将这些变量和未知数的变化插入到（2.14）中，利用（2.18）得到如下扰动n问题:εtf+x(v(x，～y)f)+～y(ff)=～d～y～yf.（2.21）现在，通过（2.19）和（2.20）中的泰勒展开式，利用归一化条件(2.3)，我们得到：假定f只在大尺度下变化:Φf(x，～y，t)=ζ(ρ(x，t))z～y′∈R+～φ(～y-～y′)f(x，～y′，t)d～y′+O(ε)。（2.22）这里，我们引入了具有经济约束性x的局域密度ρ(x，t)o f在t,vx,t(～y)时的局部密度ρ(x，t)o f在经济约束变量等于x的条件下，由pr obability密度f(t)导出的条件概率如下:ρx,t(～y)=ρ(x，t)f(x，～y，t),ρ(x，t)=z～y∈R+f(x，～y，t)d～y,(2.23)我们假定vx,t∈Pac(R+),在R+上绝对连续概率度量的空间。用这些符号，(2.22)可以写成:Φf(x，～y，t)=Φρ(x，t)，Ⅴx，t(～y)+O(ε)，(2.24)其中泛函Φ:(ρ，Ⅴ)∈R+×Pac(R+)→Φρ，Ⅴ∈C(R+)定义为:Φρ，Ⅴ(～y)=ρζ(ρ)z～y′∈R+～φ(～y-～y′)'A(～y′)d～y′，(2.25)eqs。(2.24)，(2.25)指出，在O(ε)阶因子下，代价函数只与条件概率ρx和密度ρ(x，t)有关，因此，代价函数只与经济约束变量x中的局部定量有关。O(ε)项收集了所有非本地的经济条件下的e----ects。这些e-cented被认为比本地的要小得多。

这是经济约束中尺度分离的一个表达式：经济约束变量中的局域电子能谱在给定的代理上比非局域电子能谱有更大的影响。我们在引言中讨论的三个例子中对这一假设的高度进行了评论。在第三个例子中，关于移民对财富分配的影响，本地贸易可能被认为比长途贸易更重要，尤其是在服务方面。此外，人口迁移的时间尺度比人口迁移的时间尺度快得多。因此，时间尺度分离也是必要的。第二个和第三个例子涉及财富和社会地位以及财富和教育水平的耦合演化，可以得出类似的观察结果。财富交换更可能与特定的社会地位或教育水平有关，而不是在他们之外。对交易的时间尺度也可以做类似的观察，它比社会统计、美国或教育水平变化的时间尺度快得多。当然，量化一个社交网络中财富交换的“地域性”是一种邪教。准确地说，目前的模型实际上可以通过提供系统的粗粒度描述来帮助测试这些假设，这些描述可以更容易地与实际数据进行比较。在（2.21）中只保留前序项（2.24）,（2.18）,我们得到了下面的扰动问题（其中我们去掉了所有的“帽子”、“波浪”和“条”）:εtfε+x(V(x，y)fε)=-y(Ffε)+dyyfε，(2.26)Ff(x，y，t)=-yΦρ(x，t),vx，t，(2.27)Φρ，Ⅴ(y)=ρρ(ρ)zy′∈r+φ(y-y′)(y′)dy′，(2.28)ρx，t(y)=ρ(x，t)f(x，y，t)，(2.29)ρ(x，t)=zy∈r+f(x，y，t)=r+f(x，y，t),t）dy。（2.30）目的是求出t的极限ε→0。为此，我们在下面的一节中考虑了相同的经济约束情形。3相同的经济约束情形3.1碰撞算子q，这里，我们假定财富动力学与经济约束空间中的位置无关，并且我们将系统限制为财富变量y。然后，f成为从t∈[0,∞[到f(t)∈L(R+)的映射。显然，密度ρ=zy∈r+f(y,t)dy,（3.1）是守恒的，即ρ=zy∈r+f(y,t)dy,（3.1）是t的附属物。因此，交易频率ρζ(ρ)是不变的，用κ-表示。除情商。（2.26）通过常数ρ，我们可以把它写成一个关于pr obbability density v=v=t=f(·,t)ρp的方程如下:tv=Q(Ⅴ),(3.2)Q(Ⅴ)=-y(fⅤv)+dyyy，(3.4)其中füvy=fü(y)=-yΦ(y),(3.4)Φ(y)=κzy′∈r+φ(y-y′)(y′)dy′，(3.5),初始条件由v给出。我们已经省略了φ对ρ的依赖关系，因为现在ρ是一个常数。通过与经典气体动力学理论的类比，我们把q称为“碰撞算符”。现在我们给出了q的一个表达式和一个泛函设置。我们从一些定义开始。定义3.1我们定义了，并给出了(y)=y yΦ(y)+2dy，(3.6)(y)=(y)+dln，(3.7)函数函数∑(y)将被称为“增广成本函数”。我们在文献[26]中讨论了Gibbs均衡在经济学和经济学中的重要性。结论3.2对于任何给定的成本函数，我们引入了与此相关的\'Gibbs测度\'Mü(y):Mü(y)=Züexp-(y)d\\，Zü=zy∈R+exp-(y)d\\dy.我们给出了Gibbs测度\'Mü(y).我们给出了Gibbs平衡点的定义，并给出了Gibbs平衡点的定义，最后给出了Gibbs平衡点的定义，最后给出了Gibbs平衡点的定义。（3.8）注3.1(i)z⑵的定义i是这样的：m⑵是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度，即它是一个概率密度。（3.9）现在，使用上面的定义，我们可以将Q重新转换为下面的各种fo均方根。

对于任何扭曲的代价函数π∈C(r+),我们得到了由以下等价表达式NS构成的线性collis i：q(Ⅴ)(y)=y y y(y)(y)+d y(y)，(3.10)=y y y(y)(y)(y))的线性collis i。(3.11)=d y ymü(y)yü(y)mü(y)é，(3.12)用μ=+d ln.然后，我们得到了下面的引理，其证明是显而易见的：引理3.4（3.3）给出的算子Q有如下表达式:Q(Ⅴ)(y)=Qüv(Ⅴ)。（3.13）其中扭曲代价函数的形式为（3.6）。在下一节中，我们将更详细地研究Q的性质。更具体地说，我们感兴趣的是平衡（即Q(Ⅴ)=0)和碰撞不变量（即对y积分时抵消Q(f)的函数ψ(y)）。3.2QWe的性质引入了算子Q的弱形式。为此，我们定义了以下泛函空间。设π∈C(r+)为给定的扭曲代价函数。defunnexè=nu这样的thatZy∈R+u(y)mü(y)dyy<∞o,hü=nu这样的thatZy∈R+u(y)+y yu(y)\\mü(y)dyy<∞o,并赋予了相关范数Kukx⑵和Kukh⑵。我们还证明了hà0={u∈Hà，这样的zy∈R+u(y)mà(y)dyy=0}。空间x和h确实是与测度(dy)dyy相关的Land H型空间，空间hà0类似于关于该测度的均值为零的函数的H空间。因此，我们可以期望一个Poincar E不等式成立，前提是对我们的工作进行适当的假设。在这一点上，我们将假设这样一个Poincar E不等式成立。在下面的3.4节中，我们将证明这个关于二次交易相互作用的Poincar\'e不等式([6]的解决）。假设3.1我们假定函数态态为:y∈R+7→(du(y)∈R，且存在一个常数C>0，且uhà=zy∈R+y yu(y)mü(y)dy≥ckukhà，±u∈Hü0。（3.14）这个Poincar不等式等价地证明了半范数uh？是与范数kukh？等价的h？0上的范数。下面引理给出了线性o算子Q⑵的一些性质：引理3.5我们假定已经给出了ε∈C(r+)并且满足了假设3.1。(i)pro b l em的弱形式：“设g是给定的；f使得:qà(f)=g″，(3.15)其中f和g是R+上的su-ciently光滑函数，由：“设ρ∈X″，给出；[nd\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\。(3.17)(ii)当φ=0时，该问题的解空间由常数跨越。(iii)若φ6=0,则proble m(3.16)允许解当且仅当zy∈r+φ(y)m(y)dy=0。（3.18）如果（3.1 8）是唯一解，则存在唯一解，且解空间是一维nal a-ne空间，其形式为函数的一维nal a-ne空间，其形式为函数的一维nal a-ne空间为函数的一维nal a-ne空间是函数的一维nal a-ne空间的一维nal a-ne空间。对于g,可解性cond(3.18)为wri ttenZy∈R+g(y)dy=0,(3.19),解空间为(Ⅵ+C)màn型函数的一个一角的aàne空间，其中C∈R为任意常数。证明推迟到附录中。对于给定的扭曲代价函数，我们研究了线性算子qà(3.13)的平衡点。结论3.6 q的平衡点是qà(Ⅴ)=0的弱解vàPac(R+)。（3.20）即。是否函数π∈Pac(r+)使得θ='Am⑵属于H⑵且满足zy∈R+yθ(y)yσ(y)ymà(y)dy=0,±σ∈H⑵。（3.21）我们推导出如下命题：命题3.7我们假定态态是给定的，并满足假设3.1。当且仅当§=mü，其中mü(3.8)给出。证明。设vu是qμ的一个平衡点，或等价地设θ='Am∞∈H∞是（3.2 1）的一个弱解。通过引理3.5(ii)，唯一解是θ=常数。

因此，通过归一化条件(3.1)，证明了Pac(r+)中(3.20)的唯一弱解是f=m.我们现在证明了非线性算子Q(Ⅴ)=Qüv(Ⅴ)的平衡点，其中的态态是与ρthrough(3.6)有关的。我们证明：证明3.8 Q的平衡点是Q(Ⅴ)=Q(Ⅴ)=0,（3.22）的弱解§∈Pac(R+)，其中的关系到㈧到（3.6）。这些平衡点是函数Ⅴ∈Pac(r+),使得θ='Amüvu属于Hüv，且满足zy∈R+yθ(y)yσ(y)ymüv(y)dy=0,±σ∈Hüvu。（3.23）在下一个命题中给出了Q的平衡点：命题3.9yen是Q的平衡点当且仅当yen是规定的点问题的解v=m.（3.24）证明。如果μ是一个均衡of Q,那么对于某个扭曲成本函数态来说，它是Qμ的一个均衡态，即态态的代价函数态的均衡态，即态态的代价函数态的均衡态，即态态的均衡态的均衡态。然后，从道具。3.7,它是f orm v=mquv。反过来，如果satis foundes(3.24)，a是q的平衡点，因此，satis foundesq的q（v）=0。但是，由于(3.13)，我们有Q(Ⅴ)=0，因此，这是一个平衡。注3.2在统计物理学中，这个平衡a被称为热力学平衡。（3.24）的固定po In方程可以等价地说成扭曲代价函数的固定点方程。这个等价性在下面的命题中成立，它的证明是显而易见的：命题3.10yen是Q的一个平衡点，当nd仅当§=m，其中扭曲的成本函数是闭点问题的一个解:=m.（3.25）支柱。3.9或3.10对均衡的存在性和唯一性只字不提。这类信息需要对已填好的点方程（3.24）或（3.25）进行分析，并需要对交易的瞬时ctio n潜力φ作出具体假设。这项分析超出了目前工作的范围。3.3博弈论解释在这一节中，我们证明了对于与（3.7）给出的代价f unctionTM(y)相关的平均博弈（也称为非合作非原子匿名博弈），均衡mé是纳什均衡[20]。对于这样一个对策，一个Nashequilibrium测度ρne∈P(R+)是这样的：[7]（参见a lso[4,5])存在一个constantK和μvne(y)=k-y∈Supp('Ane),μvne(y)≥k-y∈R+,(3.26),其中Supp(ne)表示ρne的SUPPORT。这一认识等价于下面的陈述[7]:Zy∈R+μvne(y)vne(y)dy=inf'A∈Pac(R+)Zy∈R+μvne(y)v(y)dy。（3.27）等量。（3.27）被称为“平均值”方程。现在，我们得到了如下定理3.11，设v∈Pac(r+)。下面两个陈述是等价的:(i)'A，是均衡(3.24)，(ii)是与（3.7）给出的成本函数τ，相关的均值-Fiel d对策的纳什均衡（3.26）。证明。其证明与定理3.5of[10]相同。为了完整起见，我们在此复制它。(i)§(ii)。设v=mqucv是一个平衡点（3.24）。然后，我们得到了(3.7):yen(y)=-d ln z=常数，λy∈R+.因此，我们得到了刻画Nash平衡点的条件(3.26)。设§nebe为纳什均衡（3.26）。我们证明了Supp(Ⅴne)=r+。事实上，矛盾的是，假设Supp('Ane)r+。存在y∈R+，使得vne(y)=0。然后，由于对数（3.7）内的对数和对0<y<∞的约束性，我们得到了μvne(y)=-∞,这与（3.26）的第二条线是矛盾的。因此，由(3.26)的figurrst线，在整个空间R+上，Ωne是相同的常数。从μnein(3.7)的表达式来看，nei与exp(-ne(y)/d)成正比，这意味着它是一个平衡（3.24）。均值模型(3.3)-(3.5)可以转化为transpo r t方程，如下:t+y·(v)=0,(3.28)v=-y.（3.29）它描述了物质的整体运动，这些物质沿着最陡的下降方向向最小的作用面移动。当所有的主体都达到最小值时，那么，作用是一个常数，描述了一个纳什均衡。

因此，在所提出的动力学中，代理人的行动导致向纳什基团的最陡下降方向的运动。现在让我们在这个纳什均衡问题的框架中解释所定义的点问题（3.24）或（3.25）。让fiforrst代理根据分布进行分布。它们中的每一个都通过形成扭曲成本f unction的形式来构造一个策略。通过上述讨论，当a ll a gents达到m的最小值时，它们的分布由m q v给出，从而使每个agent能够执行abest-reply策略，并使g r adient向下移动到m r adient的最小值，从而使g r adient向下移动到m r adient的最小值达到m r adient的最小值达到m r adient的最小值达到m r adient的最小值。现在，这只能是一个平衡，如果在基于这个新的分布构造新的扭曲成本函数时，我们发现了与befo re相同的扭曲成本函数，也就是θ.事实上，否则，新的成本函数将触发沿着已知成本函数的梯度进行的新的运动，这将破坏均衡的Müv.因此，m~(m~)为平衡点的一个条件是：m~(m~)=(3.25)。在这个条件下，没有一个agent能找到更好的策略，因为当形成与这个分布相关的扭曲成本函数时，他会找到以前已经最小化的相同成本。这个讨论的重要结论是，(3.24)或（3.25）的已知点问题表示agent已经找到了一个与增广的成本函数yen相关的纳什均衡。[10]中的备注3.3，潜在博弈的变分结构[19]。是发达的。凡变结构假定存在一个函数alu(v)=δU(v)δⅤ(y),其中δU(v)δ§U是U=zy∈r+δU(v)δⅤ(y)(|(y)-Ⅴ(y))dy=lims→0+s(U(v+s(|-ρ))-U(v))的函数导数，对于任何一个检验函数来说，ΔU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)=δU(v)。这样一个泛函的存在性给出了对μ的一个很强的约束。在目前的情况下，我们还不能找到这样一个函数u(Ⅴ)。本文的模型证明了具有势结构的Mean-Fiel d博弈的一个例子，在最一般的交易环境中Nash均衡的存在性和唯一性将在以后的工作中得到研究。我们现在考察[6]的二次交易相互作用的情况。3.4二次交易相互作用在这种情况下，我们设φ(y)=y。从（3.5）中，我们得到了yΦ(y)=κzy\'∈R+(y-y\')'A(y\')dy\'=κ(y-y)vy，(3.30)，其中，是与财富分配关系到的平均财富，由:=zy∈R+y(y)dy给出。（3.31）我们看到，在目前所讨论的一般交易相互作用情形中，交易成本函数Φ，只依赖于平均财富，即分布的初始时刻，而不是依赖于投资者的整体函数形状。我们将利用这一事实，并仅用(Ⅵ)来表示与这种相互作用有关的所有对象。另一方面，这表明二次Tra-Ding相互作用情形是退化情形。算子Q可以表示如下（类似于Bouchaud&M\'ezart形式[6]):Q(Ⅴ)(y)=Q(Ⅴ)(y)，(3.32)，其中，对于所有的Q∈R+，我们用Q(Ⅴ)表示以下线性算子:Q(Ⅴ)(y)=yκ(y-y)Ⅴ+d y(yⅤ)。（3.33）从（3.6）,（3.7）中给出了扭曲和增广的代价函数，它们分别由以下形式给出:μ(y)=~μ(y)=~μ(y)=~μ(y)+d ln，(3.34),其中，对于所有的μ∈R+，我们用~μ(y)=(κ+2d)lny+κy表示。（3.35）其余部分，在上下文清楚的情况下，我们将省略在~.由（3.35）到（3.8）给出的与.有关的吉布斯测度m，表示为m(y)=zy1+κ+ddexp-κdy＇，(3.36)其中z=z∞y1+κ+ddexp-κdy＇dy＇，对于κ+d>0是很好的。当y→∞时，条件κ+d>0guar证明了mé的可积性。我们给出了条件κ+d>0guar证明了mé的可积性。当y→∞时，条件κ+d>0guar证明了条件κ+d>0guar证明了条件κ+d>0guar证明了条件κ+d>0。由于指数因子的存在，κ>0意味着mμ(0)=0。

我们给出了Mπ=Gκ+DD,κπD,其中Gα,β是逆γ分布α,β(y)=βαγ(α)y1+αe-βy，形状参数α和尺度参数β。这种分布有时也被称为比例逆卡方分布。它与γ分布γα,β(z)=βαγ(α)zα-1e-βz，(3.37)有关，是通过变量z=1/y的变化，即gα,β(y)dy=γα,β(z)dz。（3.38）这种分布在[6,8,11]中已有发现。当y较大时，分布mé成为对经济数据具有很强的关联性的帕累托幂律分布（参见文献[26])。我们注意到以下重要的一致性性质，它不是先验明显的：引理3.12设mé是均衡（3.36）。那么，mé的meanwealth是存在的，并由:m=.给出。（3.39）证明。我们计算出:μmμ=z∞yκ+ddexp-κμdy candyz∞y1+κ+ddexp-κμdy-dy。(3.40)假设κ>0保证（3.40）分子和分母处的积分都收敛。然后，通过变量z=κμydin(3.40)的变化和分项积分，直接证明了（3.39）保持不变。在这种情况下，假设3.1是一个定理。更确切地说，我们引入了赋有关联范数kukx，a nd kukhy，(3.41)hy，(3.41)hy，(3.42)hy，(3.42)的泛函设置:xy=nu satzy，r+u(y)+y，y，y，y)dyy，(3.42)。我们还证明了hà0={u∈Hà，这样，zy∈R+u(y)mà(y)dyy=0}。（3.43）现在，我们得到了下面的引理，它直接紧随γ分布[2]的相应修正不等式，公式（10）（另见[3,16]):引理3.13存在一个常数C>0,这样uhπ=zy∈r+y yu(y)my(y)dy≥ckukhπ，±u∈hπ0。（3.44）证明推迟到附录B。然后，引理3.5可以应用，我们推导出下面的引理，它列出了线性算子Q.的所有平衡点：命题3.14分布'A.是Q.的平衡点当且仅当ρ=m.其中m.由（3.36）给出。现在我们转到非线性算子Q(Ⅴ)=Q.的平衡点。它们在下面的命题中得到了刻画：命题3.15yen是Q的一个平衡当且仅当存在着π∈R+，使得π=mπ.证明。由于（3.3 2）的关系，如果va是Q的一个平衡，那么对于acertain值来说，它是Q的一个平衡。因此，由于prop.3.14，对于这个值来说，它是mü=mü.的。反过来，如果v=m，那么，是prop的q的n平衡点。3.14，因此，满足q(Ⅴ)=0。但是，由于引理3.12，我们有了=.因此，vu是Q的解，即Q的解是平衡点。注3.4在这种情况下，闭点方程（3.25）简化为（3.3 9）。事实上，由于扭曲的成本f只取决于财富的大小，eq。（3.25）将平均财富简化为一个有限的po i nt方程。这个方程是由（3.25）通过用μ代替μ而推导出来的，即它是eq的形式。（3.39）。但确切地说，引理3.12指出，该方程的y值为。因此，对于给定的平均财富va l ue，存在唯一的Nash均衡，并且Nash eq uili b ri a集是由平均财富参数化的。在更一般的交易互动的情况下，情况可能会变得更加复杂。4非均质交易情形：宏观模型4.1 Framework，我们回到非均质交易情形(2.26)-(2.30)中的模型，其中考虑了代理人在经济交易空间中的位置。本节的目的是研究该系统的极限ε→0。它将使我们能够在大的时间尺度上描述各主体的整体运动，并将其各自的财富值平均下来。因此，我们将介绍一个合适的粗格拉程序。

考虑到在很大程度上，个人的财富变量向与（3.24）给出的一个全局纳什均衡相对应的方向放松，我们把这个均衡作为一个特征f或a gents的内部财富变量分布。在这一节中，我们将提供这种粗粒化过程的细节，即所谓的流体动力学极限油墨理论。在第二部分中，我们将讨论一般的交易相互作用势φ。在第二部分中，我们将重点讨论二次交易相互作用的特殊情况，并将恢复[11]的结果。为了简化计算，我们做了以下假设，这不是本质的，但简化了计算：假设4.1我们假设交易频率ρζ(ρ)是ρζ(ρ)=κ.给出的常数。（4.1）在此假设下，代价函数Φ'A变得与ρ(3.5)无关，在目前的空间非均匀环境中，它被写成:Φx,t(y)=κzy′∈r+φ(y-y′)'Ax,t(y′)dy′，(4.2)我们将(2.26)写成tfε+x(V(x，y)fε)=εq(fε)。（4.3）互作用算子Q是g iven byQ(f)=Qvx,t(vx,t)，(4.4),其中，对于C(r+)和v∈Pac(r+)C(r+)，Q(v)由(3.10)-(3.12)给出，其中，Qx，tis与Φvx,tby(3.6)有关。我们回想一下，vx，tandρ(x，t)是由(2.29)，(2.30)给出的。在这里，我们再次强调(x，t)现在指的是慢变量。（4.3）的左边描述了代理人的分布作为经济邻域和时间的函数是如何演变的。这种演化是由这种分布的快速局部演化驱动的，这种分布是由右侧描述的个人财富y的函数。分母上的参数ε强调了这样一个事实，即财富交换的时间尺度比经济增长变量中各主体的演化快得多，财富的快速演化推动系统走向平衡，即Q(f)=0的解。这样的解在物理学中称为局部热力学平衡(LTE)。下面，我们利用前一节的结果证明，在这种情况下，t是命题3.7和3.9.4.2中给出的Nash平衡点，局部热力学平衡和守恒。将命题3.9应用于（4.4）给出的Q，我们立即得到推论4.1：设f:(x，y，t)∈R×R+×R+7→f(x，y，t)∈R+，使得π(x，t)∈R×R+，函数y7→f(x，y，t)属于L(R+)'AC(R+)。然后，以下两个陈述是等价的:(i)Q(f)=0,其中Q是碰撞算符(4.4),(ii)存在ρ(x，t)>0和态态(dux，t∈C(R+),使得f由f(x，y，t)=Feq,ρ(x，t)，(dux，t):=ρ(x，t)màx，t(y),(x，y，t)∈R×R+×R+，(4.5)给出，其中对于任何一个态态来说，Q(f)=0,其中Q是碰撞算符(4.4),m⑵表示Gibbs分布（3.8）。加法ally，x，t必须满足使平衡a变得合理的点方程，即:mx,t=x,t,+(x，t)∈R×R+。（4.6）注4.1函数s Feq，ρ，μ是我们的财富分布动力学模型的LTE,它们依赖于局部密度ρ，并依赖于局部扭曲代价函数θx，t，在经济条件下给定位置x,gi随时间t>0变化。我们引入了与Feq，ρ，θ相关的平均财富π(x，t)，由π(x，t)=zy∈r+y m^x，t(y)dy定义。（4.7）现在，我们可以给出EQ内粗粒化极限ε→0的一个初步结果。（4.3）。定理4.2假定当ε→0光滑时，so l积fε-(4.3)收敛到函数f，这特别意味着fε的所有导数收敛到f的对应导数。然后，形式上f由一个LT E(4.5)给出。agent密度ρ(x，t)和Wealth密度ty(ρy)(x，t)满足以下守恒定律:tρ+cox·ρu(x；x，t)=0,(4.8)t(ρy)+cox·ρE(x；x，t)=0,(4.9)其中，对于任意扭曲代价函数π∈C(R),我们表示byu(x；)=zy∈R+V(x，y)mü(y)dy,(4.10)E(x；)=zy∈R+y V(x，y)mü(y)dy。

（4.11）量u(x；态）和E(x；态）是在饱和空间f中的财富平均速度或与扭曲代价函数有关的平衡点。证明。从（4.3）我们得到Q(fε)=O(ε)，由于对fε的收敛性假设，我们得到Q(f)=0。由于推论4.1，f是f orm(4.5)的。现在，观察1和y是Q的碰撞不变量，意思是对所有函数f(y)来说，Zy∈r+Q(f)(y)y dy=0,Zy∈r+Q(f)(y)y dy=0,（4.12）。figurrst关系（4.12）很容易得到关于y的整数（3.3）并使用格林公式（另见（3.19））。第二个关系式（4.12）是交易相互作用势φ的均匀性的序列（见假设2.1）。实际上，（3.3）乘以y，用格林公式对其进行积分，得到:zy∈R+q(f)(y)y dy=-zy∈R+yΦx,tx,t(y)dy=-κz(y,y′)∈(R+)yφ(y-y′)'Ax,t(y)'Ax,t(y′)dy dy′=0,（4.13）其中我们已经使用了yφ是奇数的事实，并且我们认为vx，tis与f有关（2.29）。因此，用r积分（4.3）到y导联to tρε+x·(ρεuε)=0,（4.14）其中ρε和ρεx，t(y)分别通过（2.3 0）和（2.29）得到f rom fε,和uε，在饱和空间中的平均速度与vεx，t，由:uε(x，t)=zy∈r+V(x，y)'Aεx，t(y)dy。类似地，将(4.3)乘以y并将其与y积分，得到t(ρεεε)+x·(ρεEε)=0,(4.15)与γε是fε的平均财富，关联的toεεx，t，通过(3.31)和eε(x，t)是comuration空间中的平均财富速度，由:eε(x，t)=zy∈r+y V(x，y)'Aεx，t(y)dy得到。然后，取(4.14)，(4.15)中的极限ε→0，并用,t→müx,t,得到uε(x,t)→u(x；和Eε(x，t)→E(x；x，t)。最后是EQs的限制。(4.14)，(4.15)正是EQ。(4.8)，(4.11).（4.8）是一个连续性方程，它表达了一个经济邻域中的主体数随时间的变化。设I=[a,b]是一个区间经济邻域，用NI(t)表示在时间t:NI(t)=zx∈Iρ(x,t)dx时，在此区间内的代理数o f。然后，对x∈I,a nd进行积分(4.8)，得到dnidt=-(ρu)(b)+(ρu)(a)，这个方程表示了由于代理通过点b离开I而通过点a进入I而引起的时间变化。因此，ρu是Agent穿越任意点的算子，而u(x；üx,t）是Agent在该点经济邻域内的平均速度。同样的解释n也适用于EQ。(4.9)，以财富取代代理人。实际上，平均财富是在经济邻域内以velocityE(x；~x，t)作为EQ的第二项进行转移的。（4.9）表示。在一般交易相互作用势φ的当前情况下，尚不清楚这些宏观方程(4.8)，(4.9)是否构成一个封闭的方程组。为了实现这一点，我们将需要能够从ρ(x，t)和ρ(x，t)的知识中reconstructureddux，t.这在一般情况下是不可能的，除非规定的点方程（3.24）在给定平均财富的分布各向同性。这样的独特性声明绝不是显而易见的。在D维流形中，可能存在一个连续的解族，该族由一个属于D维流形的参数度量。在这种情况下，我们需要更多的宏观方程来说明这些参数是如何在离子空间中演化的。对于平衡点流形的刻画是以对交易势φ所作的假设为基础的，在这一点上它不是一个一般的理论。为了说明这一点，我们研究了相互作用情况下的样方方程，表明这两个守恒方程(4.8)，(4.11)是一个封闭的方程组。这显然来自这样一个事实，即扭曲的ed成本函数态态完全由平均财富态态所决定。通过这样做，我们恢复了[11]的框架。

然而，我们注意到这个框架是非常特殊的，不能简单地推广到任意的交易交互潜力。4.3二次交易交互情况4.3.1 LTE和二次交易交互情况下的守恒在这里，我们回到3.4节中的齐次交易情况下发展的二次rading交互框架。我们将第4.2节的r个默认值指定为当前的情况。为了简单起见，我们再次假设4.1。我们考虑空间齐次动力学方程(4.3)，其中，碰撞算符Q是given byQ(f)=Qvx，t(Ⅴx，t)，(4.16)，其中，对于Q∈R+和v∈Pac(R+)TMC(R+)，Q(Ⅴ)由（3.33）给出，而，是由（3.31）给出的v(Ⅵ)的平均财富。我们回想一下，vx，tandρ(x，t)是givenby(2.29)，(2.30)，平衡点是由prop的以下推论给出的。3.15:推论4.3设f:(x，y，t)∈R×R+×R+7→f(x，y，t)∈R+,使得(x，t)∈R×R+,函数Y7→f(x，y，t)属于L(R+)TMC(R+)。然后，以下两个语句是等价的:(i)Q(f)=0在弱意义上，其中Q是碰撞算子（4。16)，(ii)存在ρ(x，t)>0和(x，t)>0,使得f由f(x，y，t)=Feq,ρ(x，t),(x，t)(y):=ρ(x，t)mut(x，t)(y),(x，y，t)∈R×R+×R+,(4.17)给出，其中，对于任一(x，y，t)∈R×R+×R+，(3.36),mé表示逆伽马分布。现在，在(4.3)的粗粒化极限ε→0中，我们得到如下定理所述的agent和财富密度守恒方程：定理4.4我们考虑用碰撞算符（4）补充解fε-(4.3)。16).我们假定fε在ε→0时光滑地收敛于函数f，特别是fε的所有导数收敛于f的相应导数。然后，形式上f由一个LTE(4.17)给出，主体密度ρ(x,t）和财富密度(ρut)(x,t）满足以下守恒律:tρ+x·ρu(x；(x，t))=0,(4.18)t(ρ)+cox·ρE(x；(x，t))=0,(4.19)其中，对于任一个(x，t)，r+，我们表示byu(x；γ)=zy∈r+v(x,y)mγ(y)dy,(4.20)E(x；(x)=zy∈r+yv(x，y)my(y)dy。（4.21）我们看到系统(4.18)，(4.19)形成了一个封闭的方程组。有两个已知标量ρ(x，t)和ρ(x，t)以及两个标量守恒方程来确定它们。该模型描述了经济邻邦中代理人的密度ρ、平均财富等因素的联合演化。它类似于一个气体动力学系统，可以很容易地检验该模型是严格的双曲型（因此是适定的），只要满足以下条件:u(Ⅵ)-utu\'(Ⅵ)+e\'(Ⅵ)>4u(Ⅵ)ue\'(Ⅵ)，±utu)∈R+，其中素数表示ives关于ives的导数。具体的u(Ⅵ)和E(Ⅵ)表达式将取决于上下文。这种类型的模型以前在[11]中得到过。文[11]的推导采用矩法，其中取分布函数关于财富变量的零阶矩和零阶矩，并用逆伽玛分布进行闭包。在这里，我们希望进一步说明，在宏观系统中不存在其他独立守恒关系。如果是这样，极限系统将由更多的方程来确定，而不是将平衡分布参数化的未知函数。这将意味着极限问题是不适定的，并将表明形式的ε→0极限不能导致严格的结果。在这里，我们证明了分布函数的零阶矩和零阶矩是唯一的守恒量，表明了极限模型的一致性和将形式结果转化为严格结果的可行性。证明这就等于表明碰撞不变量的速度是由函数1和y跨越的。

这在下一节中进行。4.3.2碰撞不变量我们回忆碰撞不变量（或“CI”）的定义。定义4.5 C(R+)中的函数χ:y∈R+→χ(y)∈R被称为碰撞不变量(CI)，如果且只有zy∈R+q(v)(y)χ(y)dy=0,±v∈Pac(R+)TMC(R+)。（4.22）我们用C表示CI的集合。这是一个向量空间。正如前面所看到的，χ(y)=1和χ(y)=y是CI，对应于银的数量守恒和通过交易相互作用的财富守恒。我们证明了在二次交易相互作用情况下，C实际上是这两个函数所跨越的向量空间，即。C的维数等于2。这意味着在宏观极限中，除了代理人和财富密度的守恒之外，没有其他守恒关系。命题4.6我们没有w假定e是附加条件κ>D。CI的集合C是由函数1和Y所跨越的维向量空间。证明。我们将（4.22）转换成一个变分公式，然后应用Lemma3.5。设χ∈C.eq。(4.22)等价地写成:zy∈R+qv(Ⅴ)(y)χ(y)dy=0,±v∈Pac(R+)TMC(R+)。（4.23）di hulty是由Q中出现的Q与Q有关而引起的非线性。我们需要打破这种非线性。对于这个目的，设Y>0为firexed。显然，(4.23)等价于说，对于所有Y∈R+，我们有vezy∈R+qy(Ⅴ)(Y)χ(Y)dy=0,而ρ∈Pac(R+)TMC(R+)使得πⅤ=Y.（4.24）我们fifferrstforxy∈R+，并寻找所有函数χY，使得（4.24）成立。让我们用这些函数χy的Cythe空间来表示。它是一个lso a向量空间。显然，从(4.24)wehaveC=\\Y∈R+Cy.现在，约束γv=Y是关于vu的线性约束，它可以写zy∈R+v(Y)(y-y)dy=0。因此，χY∈CYif且仅当以下蕴涵对于所有的v∈Pac(R+)'AC(R+):zy∈R+v(Y)(y-y)dy=0='Azy∈R+qy(v)(Y)χY(Y)dy=0成立。（4.25）在（4.25）中箭头左边和右边的表达式都是线性关系。因此，通过一个经典的对偶论元，(4.25)等价于面积数c的存在性，使得对于所有的v∈Pac(R+)TMc(R+)，我们有:zy∈R+qy(Ⅴ)(y)χy(y)dy=cZy∈R+v(y)(y-y)dy。（4.26）现在，我们注意算子qy是线性的。它的形式伴随q*y是好的，(4.26)可以写zy∈r+v(y)q*y(χy)(y)dy=cZy∈r+v(y)(y-y)dy。（4.27）由于t的等式对所有的等式都有效，所以等于说q*y(χy)(y)=c(y-y)。（4.28）现在，(4.28)的弱fo rm的推导与引理3.5(i)的证明相似，我们回想XY，HY，HY0的证明(3.41)，(3.42)和（3.43）。(4.28)的弱形式由引理3.5(ii)证明中已经用过的一个论点构成：zy∈r+yχy(y)yσ(y)yMY(y)dy=cZy∈r+(y-y)σ(y)MY(y)dy，(4.29),如果c=0，则问题（4.29）的解是常数。此外，通过线性，与c相关的解等于一个给定的非零常数时，它是su-cient到loo k。这里我们选择c=κd。此外，通过Cauchy-Schwarz不等式，我们得到了vezy∈R+(y-y)σ(y)MY(y)dy≤zy∈R+(y-y)yMY(y)dy1/2zy∈R+σ(y)MY(y)dy1/2。由于σ∈XY，(4.29)的右手边是有界线性形式当且仅当zy∈R+(y-y)yMY(y)dy<∞。当条件κ>d满足时，这是正确的。此外，由于(3.39)，函数y-y满足可解性条件（3.18）。因此，应用Lemma3.5(iii)，c=κ(4.29)问题得到了属于Hy0的唯一解，它用χy表示。我们刚刚证明了cy=Span{1,χy}，现在我们得到了=ry∈r+my(y)dyyRy∈r+my(y)dyy，函数y-y属于Hy0。在变分公式（4.29）的左边插入y-yforχy，得到zy∈R+y(y-y)yσ(y)yMY(y)dy=zy∈R+yσ(y)yMY(y)dy=-zy∈R+σ(y)y(yMY(y))dy。

（4.30）但是，通过对平衡点MY的认识，我们有κ(y-y)+dy(yMY(y))=0。因此，(4.30)引出:zy∈r+y(y-y)yσ(y)yMY(y)dy=κdzy∈r+σ(y)(y-y)dy。因此，通过在Hy0中(4.29)解的唯一性，我们有(y-y)=χy(y)。如果Cey1是常数，我们就知道g et是cy=Span{1,y}。我们看到Cyly不依赖于onY。5结论与展望本文提出并分析了一个理性主体的动力学模型，该模型通过交换财富而相互作用，并且由于快速的交易交换而在经济空间中缓慢演化。每个agent的决策基于最小化一个成本函数。这导致了财富的再分配，使系统走向纳什均衡。我们考虑了一般的成本函数，而文献大多关注二次成本函数。在大尺度上，这给出了代理人和财富密度的类流体力学模型，从而在二次成本函数的情况下得到了一个封闭系统。还有几个有趣的问题有待回答。其中最重要的是在非二次费用函数情形下Nash平衡点的数目及其稳定性的刻画，以及在his情形下一个封闭的流体动力方程组的推导。多重平衡的存在表明了可能的相变。当一项新技术出现时，这种阶段特性可以为经济周期和快速社会转型提供范例。参考文献[1]r.Aumann,具有连续统一体的交易者的市场中竞争均衡的存在性，Econometrica,32（1964）,第39-50页。[2]M.Bena-m,r.Ro ssignol,一个修正的Poincar不等式及其在第一通道渗流中的应用，pr eprint arxiv:Math/0 602496,2006。[3]M.Bena-m,r.Rossignol,通过修正的Poincar不等式的指数concent r.Inst.亨利·庞卡·普罗巴。统计。44（2008）,544-573.[4]a.Blanchet,G.Carlier,最优运输和Cournot-Nash均衡，Preprintarxiv:1206.6571,2012.[5]a.Blanchet,P.Mossay,F.Santambrogio,社会互动空间模型均衡的存在性和唯一性，P.preprint,2012.[6]J.-P.Bouchaud,M.M.Ezard,《简单经济模型中的财富浓缩》，Physica a 282（2000）,第536-545页。[7]P.Carda liaguet,Mean Field Games注解（摘自P.-L.Lions在法国Coll`Egede France的讲座），2012年。[8]S.Cordier,L.Pa r eschi,G.托斯卡尼，关于一个简单市场经济的动力学模型。统计。Phys.，120(2005)253-277。[9]G.Corneo,O.Jeanne,Status,the Paperation of wealth,a.nd growth,Scand.经济学的J.103（200 1）283-29 3.[10]P.Degond,J.-G.Liu,C.Ringhofer,本地纳什均衡驱动的平均场博弈的大规模动力学，预印本:ARXIV:1212.6130。[11]B.D-Ring和G.Toscani,保守经济动力学模型的流体力学，物理A 384（2007）493-506。[12]C.Fershtman,Y.Weiss,社会地位、文化和经济理论，The economic Journal,103（1993）946-959。[13]O.Galor,J.Zeira,收入分配和宏观经济学，经济研究综述，60(1993)35-52。[14]F.Garip,移民和汇款对泰国农村财富积累和分配的影响，社会学系，Repor t,Harvar d美国大学。[15]J.-m.拉斯里，P.-L。狮子队，平均数游戏，日本J.数学。2（2 007）第229-260页。[16]M.Ledoux,最大特征值上的偏差不等式，载《几何方面离函数分析》，1910年，Springer,Berlin,2007年，第167-219页。[17]a.Mas-Colell，关于Schmeidler的一个定理，J.Math。经济学。13（1984）,201-206.[18]D.Mckenzie,H.Rapoport,Network E-chense ects and the dynamics of mig r和不平等：来自墨西哥的理论和证据，《发展经济学杂志》,84（2007）1-24.[19]D.

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