多企业投资网络中的最优抵押品

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收藏 2022-04-20

摘要翻译：
我们研究了一个网络上的投资市场，其中每个代理（顶点）可以投资于与她相关的任何企业，同时从与她相关的其他代理那里为其公司的企业筹集资金。未能筹集到足够的资本导致公司违约，无法投资于其他公司。我们的主要目标是研究抵押品合同在处理战略风险方面的作用，这种风险可以在一连串违约中传播到整个网络的系统性风险。本文采用机制设计的方法，求解了融资方提供给投资者的最优担保合同方案。这些契约旨在维持作为唯一纳什均衡的有效投资水平，同时使总抵押品最小化。我们的主要结果对比了网络环境和非网络环境（投资者和资本筹集者的集合是分离的）。我们证明，对于非循环投资网络，网络环境不需要任何额外的抵押品，系统风险可以通过筹资者和投资者之间的最优双边抵押品契约得到充分的处理。不幸的是，循环投资网络的情况并非如此。我们表明，双边契约不足以解决系统性风险，市场将需要一个外部实体为所有资本筹集者设计一个全球抵押品方案。此外，即使在简单的循环投资网络中，与相应的非网络环境相比，维持有效投资水平作为唯一均衡的最小总抵押品也可能任意地高。此外，我们证明了计算复杂性的结果，无论是对单个企业和网络。
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英文标题：
《Optimal Collaterals in Multi-Enterprise Investment Networks》
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作者：
Moshe Babaioff, Yoav Kolumbus, Eyal Winter
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最新提交年份：
2021
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分类信息：

一级分类：Computer Science 计算机科学
二级分类：Computer Science and Game Theory 计算机科学与博弈论
分类描述：Covers all theoretical and applied aspects at the intersection of computer science and game theory, including work in mechanism design, learning in games (which may overlap with Learning), foundations of agent modeling in games (which may overlap with Multiagent systems), coordination, specification and formal methods for non-cooperative computational environments. The area also deals with applications of game theory to areas such as electronic commerce.
涵盖计算机科学和博弈论交叉的所有理论和应用方面，包括机制设计的工作，游戏中的学习（可能与学习重叠），游戏中的agent建模的基础（可能与多agent系统重叠），非合作计算环境的协调、规范和形式化方法。该领域还涉及博弈论在电子商务等领域的应用。
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一级分类：Computer Science 计算机科学
二级分类：Social and Information Networks 社会和信息网络
分类描述：Covers the design, analysis, and modeling of social and information networks, including their applications for on-line information access, communication, and interaction, and their roles as datasets in the exploration of questions in these and other domains, including connections to the social and biological sciences. Analysis and modeling of such networks includes topics in ACM Subject classes F.2, G.2, G.3, H.2, and I.2; applications in computing include topics in H.3, H.4, and H.5; and applications at the interface of computing and other disciplines include topics in J.1--J.7. Papers on computer communication systems and network protocols (e.g. TCP/IP) are generally a closer fit to the Networking and Internet Architecture (cs.NI) category.
涵盖社会和信息网络的设计、分析和建模，包括它们在联机信息访问、通信和交互方面的应用，以及它们作为数据集在这些领域和其他领域的问题探索中的作用，包括与社会和生物科学的联系。这类网络的分析和建模包括ACM学科类F.2、G.2、G.3、H.2和I.2的主题；计算应用包括H.3、H.4和H.5中的主题；计算和其他学科接口的应用程序包括J.1-J.7中的主题。关于计算机通信系统和网络协议（例如TCP/IP）的论文通常更适合网络和因特网体系结构（CS.NI）类别。
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一级分类：Economics 经济学
二级分类：Theoretical Economics 理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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英文摘要：
We study a market of investments on networks, where each agent (vertex) can invest in any enterprise linked to her, and at the same time, raise capital for her firm\'s enterprise from other agents she is linked to. Failing to raise sufficient capital results with the firm defaulting, being unable to invest in others. Our main objective is to examine the role of collateral contracts in handling the strategic risk that can propagate to a systemic risk throughout the network in a cascade of defaults. We take a mechanism-design approach and solve for the optimal scheme of collateral contracts that capital raisers offer their investors. These contracts aim at sustaining the efficient level of investment as a unique Nash equilibrium, while minimizing the total collateral. Our main results contrast the network environment with its non-network counterpart (where the sets of investors and capital raisers are disjoint). We show that for acyclic investment networks, the network environment does not necessitate any additional collaterals, and systemic risk can be fully handled by optimal bilateral collateral contracts between capital raisers and their investors. This is, unfortunately, not the case for cyclic investment networks. We show that bilateral contracting will not suffice to resolve systemic risk, and the market will need an external entity to design a global collateral scheme for all capital raisers. Furthermore, the minimum total collateral that will sustain the efficient level of investment as a unique equilibrium may be arbitrarily higher, even in simple cyclic investment networks, compared with its corresponding non-network environment. Additionally, we prove computational-complexity results, both for a single enterprise and for networks.
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何人来此

2022-4-20 21:35:19

多企业投资网络中的最优抵押品我们研究了一个网络上的投资市场，在这个市场中，每个代理人（顶点）可以向与其相关的任何企业投资，同时还可以从与其相关的代理人那里为自己的企业筹集资金。未能筹集到Su-Cient capital导致基金违约，无法投资他人。我们的主要目标是检验担保品合约（collateralcontracts）在处理战略风险方面的作用，这些风险可以在一连串的违约中传播到整个网络的系统性风险。本文采用机制设计的方法，求解了融资方与投资者之间的最优担保合同方案。我们的主要结果将网络环境与非网络环境（投资者和资本筹集者的集合不相交）进行了对比。我们证明，对于非循环投资网络，网络环境不需要任何额外的抵押品，系统风险可以通过筹资者和投资者之间的最优双边抵押品契约得到充分的处理。不幸的是，cyclic InvestmentNetworks的情况并非如此。我们发现，双边契约无法解决系统性风险，市场将需要一个外部实体为所有筹资者设计一个全球抵押品方案。此外，与相应的非网络环境相比，即使在简单的循环投资网络中，将维持作为唯一均衡的e-cient水平的融资的最小总抵押品也可能任意地高。此外，我们还证明了计算复杂性的结果，无论是对于单个企业还是对于网络。1引进公司和投资实体筹集资金进行有益的投资企业往往面临战略风险。投资者可能会拒绝投资，因为他们担心，由于其他投资者拒绝投资，投资者无法筹集资本。这可能会将投资游戏锁定在一个错误协调的平衡中。当这些投资在一个投资网络中相互联系时，这种战略风险会在整个网络中传播，并可能对整个市场产生影响。本文的目的是研究这种网络环境，揭示它们可能面临的系统性战略风险，并说明如何通过最优的担保方案来弥补这种风险的负面后果。与标准风险不同，标准风险可能来自于我们几乎无法控制的各种力量，战略风险是由于多种均衡而产生的，通常可以通过多种手段来缓解。在我们的背景下，这些激励措施将采取担保物的形式，担保物将保证投资，因此不会在均衡路径上支付。在A*的框架内，这项工作已发表在2022年ACM网络会议文集(www.\'22)上。https://doi.org/10.1145/3485447.3512053.\\microsoft Research,Israel。电邮:moshe@microsoft.com.…The Rachel and Selim Benin计算机科学与工程学院，以色列耶路撒冷希伯来大学。电子邮件:yoav.kolumbus@mail.huji.ac.il.§，英国兰开夏郡兰开斯特大学经济系。以色列耶路撒冷希伯来大学理性研究中心和经济系。email:eyal.winter@huji.ac.il。单一融资，投资者的战略考虑只涉及考虑该基础企业的其他潜在共同投资者的决定，以及他们的决定的后果。在投资网络的框架下，参与者的考虑范围更广。

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可人4

2022-4-20 21:35:25

投资基金不仅要考虑共同投资者的投资动机，还要考虑共同投资者的潜在资不抵债，而资不抵债又取决于其他投资者对该共同投资者企业投资的动机。我们对单个企业投资的正式模型假设，如果所筹集的资金足够高，以支付企业运营成本，那么筹资基金就会有某个企业承诺一定的回报率。有一组潜在的投资者，每个人都有机会在企业中投资一些投资者指定的金额，并需要决定是否投资。如果所做的投资不能覆盖运营成本，企业就会违约，投资者的回报为零。如果没有违约，那么企业的回报将按投资比例分配给投资者。因此，投资者对这些投资的负债仅限于其企业的成果，即使其拥有其他资金也是如此。为了消除可能使投资者不愿意投资的战略不确定性，向投资者提供抵押品合同，约束由战略风险引起的损失。目的是在投资博弈的唯一均衡中找到一个最优（最小总额）抵押品方案，保证所有投资者选择投资（因此不会发生违约）。我们的网络投资博弈模型扩展了单个企业模型，并存在违约级联的基本附加问题。与单个企业不同，在一个投资网络中，每个投资者可能有多个企业的投资机会，对于每个企业，她必须决定是否投资。此外，这些投资者中的一些人实际上是在为自己的企业筹集资金，如果他们不筹集Su CientCapital可能会违约。当一个基金违约时，它立即撤回所有投资，我们假设最坏的情况是违约基金的零回收，这在文献中很常见（参见，例如，[8，13])。我们假设网络是外生给出的，它代表了这些组织之间现有的业务关系。单个企业案例中最关键的问题是，已经违约的企业不能对其他企业进行投资，这可能会造成违约的混乱。因此，在网络环境中，每个投资者原则上不仅要评估其他共同投资者投资的动机，还要评估其中一些生态投资者可能违约和失败投资的可能性。网络抵押品问题寻求最优（最小总）抵押品方案，以保证在网络投资博弈的唯一均衡中，对于e-CientEnterprises子网络，所有投资者都选择投资于所有企业（因此不发生违约）。重要的是，这些抵押品必须克服违约连锁的系统性风险。有关模型的全部细节和对优化问题的正式认识，请参见第2节。我们的分析从描述这些最优方案开始，即那些在唯一均衡中最小化为维持e-cient投资的预期结果而提供的总体抵押品的方案。我们证明了当完全投资可以通过担保契约建立为唯一均衡时，一个最优方案产生一个优势可解对策。即通过严格控制策略的迭代消除得到唯一均衡（第3节详细介绍）。第4节主要研究单企业网络。我们刻画了最优方案，表明在这样的网络中一定存在最优方案。另外，我们还证明了n个投资者的企业的最优方案的求解问题是NP难的。然后，我们在第5节回到一般的网络游戏。

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kedemingshi

2022-4-20 21:35:31

在研究网络环境的系统性战略风险敏感性时，我们的结果突出了循环网络和非循环网络之间的重要区别。当网络是非循环的时，我们证明了整个市场存在一个最优的担保方案，该方案可以表示为每个企业一个较小方案的集合，这样每个投资者承诺其潜在投资者的担保与假设这些投资者没有外部义务的担保是相同的，因此如果提供激励，所有投资者都可以投资。在设计抵押品方案时，投资者会把整个市场看成是由自己和潜在投资者组成的，而忽略了其他所有因素。给出了如何计算无环网络的最优方案和控制策略的迭代消除阶数。迭代的顺序依赖于网络的结构，在无环网络中，迭代的顺序由网络的拓扑顺序诱导。特别是，迭代从不持有自己的企业的投资开始，并以确保在做出每个决定时不再考虑违约的方式继续进行。从计算的角度出发，在每个企业最多有d个潜在投资者的n个非循环网络中，我们证明了该解可以在O(2ddn)时间内得到。特别地，当d是一个常数时，它是多项式的。不幸的是，在循环网络下，一个整体最优的抵押方案可能不能归结为一个最优方案的集合--每个企业一个。事实上，我们表明，对于某些（简单）循环网络，防范系统性战略风险所需的总抵押品要比仅考虑自身投资者时所提供的总抵押品高得多。这意味着，在循环网络下，防范系统性战略风险可能不是分散的，因为它需要外部实体来解决潜在的错误协调。此外，在循环网络中，完全投资是一个均衡，但对于任何抵押品方案都不能建立为唯一均衡。这些结果来自于这样一个事实，即向潜在投资者提供抵押品，忽略违约的可能性，并不是确保所有投资者都投资的一个重要工具。最后，我们证明了循环在计算方面引入了进一步的困难：我们证明了在循环网络中寻找一个最优抵押品方案是NP困难的，即使每个问题的解都是已知的。我们通过给出最小反馈顶点集问题的一个约简来证明这一点。关于进一步的细节，请参见第5.3节。文献讨论：在单个企业的情况下，我们的模型类似于[14]。两个模型之间的主要区别在于这样一个事实：在这里，我们通过不在均衡路径上支付的抵押品来保护投资，而不是通过对投资施加更高的利率来保护投资。另一个DI存在的Erence是在违约的原因中。在[14]中，当所筹集的资本总额低于一个随机阈值时，违约是随机的，并被分割。相反，当运营成本超过总投资资本时，违约就会发生。我们引入了更简单的单企业模型，使我们能够关注投资网络，而不仅仅是单个企业问题。文[4]研究了一个独立的单企业投资博弈。我们的模型和分析的基本特征。最重要的是，我们研究了具有异质投资者的网络环境，并考虑了这些网络的机制设计问题。系统性风险被广泛地研究在银行间负债网络的背景下。我们参考了两个关于这篇文献的调查[8，16]，并在下面提到几个更接近我们上下文的作品。

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kedemingshi

2022-4-20 21:35:37

调查[16]将系统风险的来源分为两类：直接外部性和多重均衡系统中的自我反馈。我们的工作在概念上与后一种类型有关，然而，在系统风险文献中通常研究的均衡比我们考虑的概念更重要。在债务清算模型中，均衡与清算过程的一个固定点有关。在这个过程中，网络顶点（银行）不做决策。相反，在我们的环境下，投资机会网络引起投资者的agame,均衡是博弈的纳什均衡。本文研究的问题是在网络投资机会环境下，在复杂的多人博弈中如何设计激励机制，以获得期望的均衡结果。从这个意义上说，我们的方法与机制设计和算法机制设计[19]的方法更加密切相关，特别是与机制设计文献中研究在博弈中获得期望结果的最小干预模型（如[17，18])的工作更加密切相关。在[21]中，作者研究了在[20]模型下通过投资组合压缩消除银行网络中的网络周期的E-ect。他们对激励的讨论在概念上与我们的方法接近，但所研究的问题是直接的。[21]中的问题考虑了外部冲击引起的systemicrisk，本着[9，20]的精神，而我们研究的是投资者决策的战略环境，我们关注的是由战略风险引起的系统风险。银行负债网络和投资环境之间的另一个障碍是，在我们的环境中，银行对投资者的负债比银行更有限。这使得投资网络更容易受到系统性风险的影响，因为在投资者遭受损失的情况下补偿他们的义务越轻，意味着这些投资者偿还自己债务的资源就越少。[15]也讨论了周期在解决问题中的作用。他们的模型描述了除了负债之外还包括股权联系的银行网络，从而概括了[9,13,10]的模型。作者证明，在其模型中，可偿还性-股权清算问题的多解的存在性与循环债务关系有关。鉴于所有的投资都已经完成，他们通过回顾救助来找出因冲击而产生的违约级联。与[15]中的清算问题不同，我们研究了一个博弈，在这个博弈中，个人做出投资决策，而抵押品被设计成能满足这些投资决策。在[22]中，将[9，20]中的债务清算问题推广到讨论银行网络，其中也包括信用违约互换(CDS)形式的衍生环节，这些环节与抵押品有一些相似之处。在CDS中，投资者或贷款人向第三方卖方购买类似保险的合同，以应对投资接受者违约的情况。与投资者购买的CDS合约不同，在我们的案例中，融资机构向其重点投资者提供抵押品，以激励他们在投资场所进行投资。此外，通常情况下，CDS是一种比抵押品更有限的担保形式，因为契约的执行取决于出售CDS的第三方的偿付能力。事实上，在系统性风险的背景下，违约导致CDS合约的触发可能与CDS卖方自身的违约相关。关于银行间负债网络的另一个相关工作讨论了内生性网络形成模型[3,11,1,2,12]。

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2022-4-20 21:35:44

我们工作的主要结论是，我们关注战略风险和由此产生的系统性风险，而这些工作考虑了外部冲击引起的系统性风险，重要的是，我们研究了一个机制设计问题，其中担保品合同被用来诱导作为唯一结果的e-cient均衡。担保品合同是最古老和最基本的金融证券形式之一。Bernanke和Gertler的经典著作[6,5]，强调了抵押品在investmentmarkets中的作用，表明了高抵押品数量如何导致更高的投资，而无抵押品数量的减少可能引发投资的减少。在他们的模型中，机制是由于信息不完全而引起的投资者代理成本；当筹集资金的抵押品减少时，这些成本就会增加。在我们的模型中，抵押品合同保证了一个明确的抵押品投资者，因此，由于理性参与者的战略考虑，即使在完全信息的环境中，抵押品和投资之间也存在类似的关系。据我们所知，我们的工作是将抵押品合同作为激励投资和处理系统性战略风险的战略环境中的机制设计工具来研究。2模型2.1投资GameConsider是一个具有n个顶点的投资网络，其中每个顶点代表一个顶点。A可能有一个“投资企业”，它也可能作为一个“投资者代理”，考虑对网络中其他投资者的企业的投资。具有投资企业的每一个投资项目RM都与一组投资者代理的输出边缘相连。一个从点k到点i的directededge,权重xki>0表示agent i在k的企业中投资一定数量xki的机会。投资者代理决定是否接受或拒绝他们的投资机会（对全部金额xki）。具有多个收入边代表多个投资机会的投资者代理对其每项投资做出双重决定，并从所有投资中获得等于效用总和的效用。每个有投资企业的公司都有一些运营成本，如果公司没有筹集资金来支付这笔成本，公司就会违约。违约投资立即收回其所有投资，回收为零，因此它基本上不对任何企业进行投资。假设网络结构是一种外生输入，代表了在给定时间（如年初）的一组投资机会，为了说服投资者进行投资，可以向潜在投资者提供更多的担保，以降低这些投资者的战略风险。接下来，我们给出由投资网络引起的博弈模型的形式认识。首先，让我们对基本成分进行认识：存在一个由n个参数组成的集合V，其中[n]表示参数。存在一个描述投资相互作用拓扑的图G=(V，E)，其中边(k，i)∈E表明i在k中有投资机会。每个边(k，i)∈E都有一个权重xki，指定我可以在k上投资的数量。为方便起见，我们假定投资机会由矩阵X给出，它对每个非边为0，设Z={Zi}ni=1,a={αi}ni=1,Zi,αi≥0为企业i∈V成本和利率参数，如下所示。另外，用ve={v∈v:ut∈Vs.t.(v，u)∈E}表示G的enterprisevertices的集合，即有潜在投资者的顶点子集（在G中有一个非零度）。对于每一个顶点i/∈Ve，αi、Zii都是不相关的，可以W.L.O.G.设置为0。模型如下:o设xk表示企业投资机会之和:xk=pixki.o在k中投资机会xki>0的每一个投资机会xki((k，i)∈E)选择两种行为之一：(i)投资全部金额xkiin k，并等待年底获得回报（合作w.r.t.k）；或者(ii)拒绝k（缺陷W.R.T.）中的投资机会。

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kedemingshi

2022-4-20 21:35:50

注意，具有多个投资机会（进入边缘）的代理人分别对每一个投资机会进行这样的划分。o企业k的运营成本由成本参数ZK≥0捕获。o表示叛逃者的集合W.R.T。k和一组合作者W.R.T.k乘CK。Anedge（k,i）如果i∈CK，称为合作边；如果i∈DK，称为缺陷边。o在年初，每个叛逃者i∈DK，保持全部金额xki。如果企业不筹集直接投资来支付其企业的运营成本，就可能达到违约状态。用处于CK，且不是无缺省的参与者的集合IK，表示这些参与者投资于企业K。如果在k上的总投资不包括运营成本(Pi∈IKXKI<Zk)，那么企业就不能完成，我们说k违约了。如果Figurrm k违约，那么它将用ZeroreCovery撤回所有投资。由所有参与者所玩的策略规则（见下文第1条）诱导的投资者Ikis集合。边(k，i)∈E被称为投资边，如果i∈IK。这个模型类似于[23，14]这是为了捕捉这样一个事实，即许多投资活动都涉及到资本筹集--提前从每个投资者那里获得所需的投资，取决于它的需求和投资者的约束，以及投资者希望在投资者之间分配控制权。内生性网络形成的问题是一个有趣的问题，但超出了本文的范围。虽然X提供了G的拓扑信息，但G和它之间的符号分离对稍后讨论网络拓扑很有用。为了简化分析，我们假设没有投资的资金没有利息。如果k∈Veis不是违约，则净投资总额（扣除操作成本后）应计利息αk>0；即在k中投资者之间分配的总金额为(1+αk)(Pi∈IKXKI-ZK)。企业将Rkif从k返回给一个投资者i∈Ikis，则i从k返回的总收益的比例份额:Rki=max0,(1+αk)xj∈Ikxkj-zk{z}总净收益xkipj∈Ikxkj{z}i的比例份额(1)o设Cki≥0为投资xki给参与者i的抵押品。如果企业对玩家i的回报RKI低于投资xki，则抵押品ckican被实现，使得玩家i从k中的效用为RKI+cki，上限为xki，即min(RKI+cki,xki）。如果玩家i有Profights（即RKI>xki)，则抵押品不被实现。因此，对于一个有缺陷的玩家来说，k的功利性是xki，如果她在缺省情况下合作(i∈CK\\Ik)她的效用是0，如果她在缺省情况下投资(i∈Ik)她的效用是:UKI=CKI+Rki，Rki≤XKI-CKIXKI，XKI-CKI<Rki≤XKI≤XKIKI，XKI-CKI<Rki，XKI<Rki(2)每个玩家i的总效用是UI=PK∈[n]UKI，其中UKI=0如果XKI=0（即如果(k，i)/∈E)。给定一个合作边集合C，缺省条件下的投资边集合和诱导的投资边集合在以下过程中确定：定义1（缺省确定）：初始化T=é作为缺省条件下的假设I=C是暂定投资边。(i)对于每一个firigrm k∈Ve，如果当投资集为i时它是缺省的，则将该firigrm加到集T上，并从i中移除所有指向该firigrm的边；(ii)重复，直到T上没有更多的投资。最后，设c为每个投资给玩家的抵押品矩阵，其中Ckii是为企业k的投资给玩家i的抵押品，如果Xki=0，则Ckii被定义为零。

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2022-4-20 21:35:56

2.机制设计问题在本节中，我们在前一节描述的investmentnetwork模型中，将寻找最优抵押品的机制设计问题定义为：在可能的情况下，寻找最优抵押品以将企业的e-cient水平诱导为唯一均衡（当可能时）。我们还提供了一些以后有用的规则。我们假设与投资的联系被打破，也就是说，如果给定其他玩家的固定动作，一个玩家从投资（合作和不违约）和叛逃中有同等的效用，那么这个玩家严格地倾向于投资。这将简化写作，因为playerscan永远不会在两个动作之间发生。从形式上来说，这一打破僵局的规则相当于为合作增加了一个限制性的效用。显然，如果即使假设所有投资者都合作，回报也不能向投资者分配他们最初的投资金额，一个企业就不应该发生。因此，只有可行的企业才会发生（而其他企业不会），因此，默认的结果是零效用，因此总是由缺陷主导。一种正确的解释是，当在反复消除严格控制的策略后，合作的最坏情况效用等于叛逃的最佳效用时，叛逃和合作的效用就会相等，因此玩家可能会对他们的同行的行动略微乐观--只要这种乐观不带任何风险。专注于可选择的企业子集，忽略不可选择的企业（通过将它们从网络中删除）。因此，在本文的其余部分中，我们假设当所有参与者合作时，所有的投资企业都是可投资的:±k∈Ve,(1+αk)(xk-zk)≥xk。在这种情况下，很容易看到，每个合作的人都是一个纳什均衡，如果所有参与者都合作，就不会实现抵押品。观察1（可投资）：假设k存在，(1+αk)(xk-zk)≥Xk（所有企业都是潜在可投资的）。那么对于每一个附带矩阵，所有参与者合作的策略是一个纳什均衡，没有抵押品在均衡中实现。然而，这个纳什均衡可能不是唯一的，所有叛逃的特工也可能是平衡的。为了避免这种糟糕的平衡，我们感兴趣的是寻找能够诱导所有合作作为唯一平衡的抵押品，在可能的情况下。我们把注意力集中在诱导全体合作为唯一Nash均衡的旁支矩阵上，我们称这样的矩阵为可行的旁支矩阵。定义2（可行的旁支矩阵）：如果由c诱导的具有输入{n,X,Z,a}的博弈具有唯一的Nash均衡且所有参与者都合作，则称旁支矩阵c为可行的旁支矩阵。本文考虑了当存在时，构造总成本最小的可行旁支矩阵的问题。定义3（旁支最小化问题）：设c表示给定输入{n,X,Z,a}的所有可行的旁支矩阵的集合。边值最小化问题要求寻找一个可行的边值矩阵，如果存在，则边值矩阵的边值和最小（1-范数）:C_ut∈ArgminC∈CXI，jcij(3)我们称这样一个解的边值矩阵为C_to最优边值矩阵。

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2022-4-20 21:36:02

对于不存在独立侧向矩阵的输入，可以在多项式时间内进行识别，请参见命题3。注意，由于C是一个in-nite集，等式（3）应该写成一个infilmum，然而，我们写itas最小值而不是infounmum，因为我们的打破平局规则确保获得infounmum。为了解决抵押品最小化问题，考虑以下矩阵将是有用的，这些矩阵对于任何投资机会来说，承诺激励玩家合作所需的最小抵押品，假定所有其他抵押品都已确定。确认4（最小抵押品矩阵）：如果：(i)c是一个可行的抵押品矩阵，并且，(ii)i，±ε>0矩阵c-εeiji不是一个可行的抵押品矩阵，其中eiji是n×n矩阵，除了第j个条目等于1之外，所有条目都等于零。注意，最小范数可行的抵押品矩阵也必须是一个最小的抵押品矩阵，因此抵押品最小化问题的解决方案是一个使抵押品之和最小化的最小抵押品矩阵。下面的定义区分了两种类型的抵押品，这将在后面用于描述最优抵押品。每个抵押品既可以是“全额抵押品”，涵盖一个玩家的全部投资，或者“部分担保品”，它保证低于投资的最小Payo。定义5（完全担保品）：对于投资机会xki>0，如果cki=xki，担保品ckiis称为完全担保品。定义6（部分担保品）：对于投资机会xki>0，如果担保品ckiis不是完全担保品（注意，这包括零担保品）。例如，当一家企业的成本超过该企业任何一个投资机会的金额时。3特征这里我们描述了担保品最小化问题的几个基本性质。我们证明了唯一平衡点的存在蕴涵着优势可解性。然后，我们给出了一个非多项式时间过程，以了解一个给定的网络是否可以由附带契约诱导出唯一的均衡。3.1单调性和优势可解性投资及其相关战略风险的重要性质是，投资收益随着潜在投资者的投资而增加，随着合作投资者的停止投资而减少。更具体地说，对于任何在其他投资机会上投资于一个企业的玩家来说，当决策从缺陷转向合作时，她的收益只会增加。这表现在下面的命题中。命题1（单调性）：1。对于企业k中agent i的任何投资机会Xki，企业对agent i的回报是参与方合作的网络中投资机会集的单调递增函数。即，当C是合作边集时，如果Rki(C)表示投资于企业k(i∈Ik)的企业收益，则对于每一个setB A,它认为Rki(B)≥Rki(A).固定任意边子集A，任意企业k∈Ve，任意玩家i使得(k，i)∈Eand(k，i)/∈A。假设当合作边集是一个时，玩家i严格地倾向于合作而不是叛逃W.R.T。然后，无论什么时候，当合作的集合边缘isB是一个玩家，我严格地更喜欢合作而不是叛逃W.R.T。证明：首先，请注意，整个网络中的协作边的超集会从每个单个企业顶点诱导出协作边的超集。

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能者818

2022-4-20 21:36:08

其次，合作边缘的超集会导致投资边缘的超集，因为额外的合作行为不能将一个没有违约的企业变成一个违约企业。因此，当B为合作边时，企业k中的投资者集合Ik(B)是当a为合作边时，k中的投资者集合Ik(a)的超集。对于给定的投资者Ikin enterprise k，设g(Ik)=pj∈Ikxkj。如方程（1）所给出的，一个玩家i∈Ik的企业收益是g(Ik)的弱增函数。由于k,j,xkj≥0和Ik(A)Ik(B)，则g(Ik(B))≥g(Ik(A))，henceRki(B)≥Rki(A)，从而得到（1）的证明。在第二个条件下，如果企业k的参与者i决定合作，如方程（2）所给出的，参与者i的效用是RKI的弱递增函数，因此，参与者i的合作效用只会随着更多的参与者合作而增加。替代动作（缺陷）的效用是不变的。因此，当a是合作边集时，如果合作是i的最佳回复，当B是合作者集时，合作也是i的最佳重放。请注意，在条件（2）下，玩家i不是默认的，一个直接的推论是，单调性在相反的方向上也成立：如果当玩家在其他投资机会的集合中合作时，缺陷是一个玩家的一个集合，那么当玩家只在这些机会的一个子集中合作时，缺陷也是一个最佳的回答。下一个结果表明，对于一个诱导一个博弈的附带矩阵，在这个博弈中，所有玩家都合作，诱导的博弈是优势可解的，因此这个均衡可以通过一系列迭代消除优势策略来达到(Seedefinition7)。也就是说，至少有一个玩家具有严格的优势策略来合作，至少有一个玩家在给定玩家的优势策略的情况下严格地倾向于合作，依此类推，直到达到全合作的策略方案。为了完整性，我们从判定一个占优可解对策开始。判定7（占优可解对策）：命题2（唯一均衡条件）：如果由输入为{n,X,Z,A}的抵押品矩阵xc诱导的博弈具有唯一的纳什均衡，其中所有参与者在所有的投资机会中都合作，则该博弈是优势可解的。证明：假定所有参与者在所有的投资机会中都发挥缺陷，并考虑所有参与者在所有的投资机会中发挥缺陷（进入边）的策略。那么，一定有一个边，我们将用σ来表示，对应于一个玩家的决定，在这个决定中玩家严格地倾向于合作，否则所有的缺陷也将是一个与我们的假设相矛盾的Nashequilibrium。请注意，这个玩家不能默认为这个策略，否则她会选择叛逃。在为σ消除缺陷策略后，一定存在一个博弈者严格倾向于合作的边σ，否则除σ以外的所有缺陷的策略方案将是一个纳什均衡。由于命题1，如果边σ的玩家合作，σ的玩家仍然严格地倾向于合作。在消除了σ的缺陷策略之后，我们可以同样地消除第三条边σ的缺陷策略，而且，根据命题1，当有更多的合作边时，前一条边σ和σ的参与者仍然严格地倾向于合作。同样的论点一直持续到最后一刻。

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nandehutu2022

2022-4-20 21:36:14

因此，如果全合作是唯一的纳什均衡，由于如命题1所述的单调性，存在严格控制策略迭代消除的边σ，…，σe，从而导致全合作策略的唯一均衡。3.2通过抵押品的唯一均衡。抵押品最小化问题的兴趣在于寻找最优抵押品以诱导完全投资的唯一均衡；这个相当强的解决方案概念作为一种机制设计，旨在确保玩家之间没有错误的协调问题，并确保游戏达到一个e-cient的结果。寻求一个独特的均衡是由经验文献很好地激励的，这些文献表明，在战略风险存在的情况下，参与者如何经常收敛到内-内均衡（参见例如，[7])。有趣的是，与非网络情形（每个企业都有自己的投资者群体）不同的是，在网络结构中，担保物不能诱导出独特的均衡。这些情况发生在循环投资网络中，是由于网络中循环结构的特定类型。我们的特征说明了如何识别这种情况和隔离这些有问题的结构。具体而言，在单企业网络和所有有向无环网络中，不存在有问题的结构，并且总是可以由抵押品诱导唯一均衡。下面的结果，命题3，给出了投资网络的构造性特征，在投资网络中，一个唯一的均衡可以通过抵押品来诱导。命题3（抵押品合同的可解性）：考虑以下迭代过程：如果图中存在一个企业k，使得来自该企业的非企业顶点（尖峰）的总投资至少是该企业的成本(Zk)，则移除该企业及其非企业投资者顶点和事件边，并将k拥有的所有投资机会替换为来自新顶点（尖峰）的相同机会。然后，在新的图形上重申。当且仅当上述过程以空图告终时，有可能通过侧支诱导出唯一的平衡。图1：命题3迭代过程中的一个步骤的示例。字母表示顶点名称，有向边附近的数字表示投资机会金额。例如，顶点a在顶点G的企业中有金额为2的投资机会。在这个例子中，没有指示数字的边可以有任何正值。左：迭代步骤之前的网络。顶点a是一个企业顶点，运营成本ZA=2。顶点a也是Tenetwork中的一个循环顶点，并且有三个非企业投资者（尖峰顶点），每个投资者的投资金额为1，合计超过成本Za，因此（全额）担保可以保证a不会违约。右：迭代步骤后的新网络，捕获了一个确保的偿付能力。顶点a与它的尖峰顶点(b，c，d)和入射边一起被移除。金额1和2的顶点a的投资机会被来自新的尖峰顶点的相同金额的投资所取代，这些新的尖峰顶点用虚线边界表示，并用AA和a表示。图1给出了一个例子，说明了迭代过程的一个步骤。该命题的证明和进一步的细节可在附录A.3.3零络和全络中找到。第2.2节我们将络分为两种类型：全络和部分络。侧支类型的划分区分了两种类型的部分侧支：零侧支和正侧支。下一个结果引理1刻画了零络的情形；它对企业k中的一组Akof投资者的条件进行了调整，使另一个玩家我更愿意与零抵押品合作。

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kedemingshi

2022-4-20 21:36:21

直觉上，引理要求即使在i的最坏情况下，即所有其他参与者都不在Akdefect中，企业投资时的回报toi将弱于xki，因此我不需要抵押品来激励她更喜欢投资。引理1（零抵押品条件）：用K表示在企业K中有投资机会的参与者的集合。修复一组ak funkk和任何玩家i∈K\\ak。如果XKI+XJ∈AKXKJ≥Zk(1+1/αk)(4)那么，对于i不缺省的所有玩家的任何一个动作，玩家i有一个严格的最佳回复来配合W.R.T.另外，如果CKI=0的参与者i至少有效用xki，假设参与者aké{i}投资，而其他参与者在k缺陷中投资，则方程（4）必须成立。下一个引理给出了一个关于企业k中投资者的集合AKF的条件，使得集合外的一个参与者不是缺省的，更愿意合作W.R.T.直观地说，在这个参与者的最坏情况下，当所有其他参与者都叛逃时，如果该参与者投资，企业对该参与者的回报为零，因此需要一个完整的担保品来激励投资。引理2（完整担保品条件）：用k表示在企业k中有投资机会的参与者的集合。修复一组ak funkk和任何玩家i∈K\\ak。如果XKI+XJ∈AKXKJ≤Zk(5)，则假设玩家Akinvest和其他玩家在K缺陷中，玩家i更愿意合作W.R.T.另外，如果对于每一个部分抵押品CKI<xkiplayer i的效用小于xki，且参与者AKé{i}投资且其他参与者在k中有缺陷，则方程（5）必须成立。利用引理1和引理2我们证明了对于整数输入，对于任何足够大的收益率，在任何最优解中，所有抵押品都必须是满的或零的。引理3（大α):考虑具有整数输入{n,X,Z,A}的侧边极小化问题，设k∈VE为企业顶点。如果αk>zk，则对于每个i,cki∈{0,xki}，协整极小化问题的每一个解c都满足。因此，若αk>Zk，则在每个最优解中，每个正抵押品都是完全抵押品。4单个企业本节讨论具有单个投资企业和n个潜在投资者的网络情形。我们称这种类型的网络为星图；即一个网络，其单个中心顶点与n个顶点的出边相连，如图2所示。注意，在这个singleenterprise设置中，为了简单起见，我们稍微滥用了记号法，使用n来表示潜在投资者的数量（不包括不做出投资决策的单个企业顶点），并省略了该企业的指数，只保留Edgewight Xi的投资者指数i。另外，由于在星型网络中矩阵X，c只有一行，且行的条目不为零，所以我们把它们看作向量而不是矩阵。另外，由于只有一个企业，我们用Z来表示它的成本，α来表示它的利率（而不是用Z，A)。注意，这里的每个玩家都有一个单一的进入边缘，所以玩家策略的消除顺序相当于玩家的顺序。此外，在星图中，玩家不能默认，因为他们没有自己的企业。由于给予所有投资者全部抵押品的抵押品向量显然是可行的抵押品向量（因为没有违约），因此存在单个企业抵押品最小化问题的解决方案。

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何人来此

2022-4-20 21:36:27

下一个引理展示了单个企业设置的一个有趣的性质：给定一组合作者，一旦集合外的单个参与者更愿意与零抵押品合作，那么其他参与者也更愿意与零抵押品合作。引理4（其中一个免费，其余跟随）：修复一组a玩家，并假设a玩家中的每个玩家都合作。如果存在一个具有零侧边(ci=0)的博弈者i/∈a，且对其他博弈者的任何行动方案AC\\{i}都有严格的最佳回复合作，则如果博弈者a{i}合作，则其他博弈者都有严格的最佳回复合作，即使是零侧边合作。命题2表明，对于诱导唯一纳什均衡的任何侧边矩阵，在诱导博弈中至少存在一个可能的被支配策略迭代消除顺序，从而导致该唯一均衡。下面的结果命题4在相反的方向上起作用：对于星图中玩家的任何可能的顺序，定理提供了构造最小和边向量的方法，使得这个顺序将是被支配策略的迭代消除的顺序。（译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注：译注）。它是通过给每个玩家最小数量的抵押品来实现的，假设在她之前的所有玩家都按照顺序合作，而其他所有玩家都不合作。图2：一个单一企业网络。命题4（最小抵押品）：设∑是[n]的所有排列的集合。对于每一个σ∈∑，存在一个唯一的最小侧向量，使得(σ，σ，…，σn)是严格控制策略迭代消除的玩家之上的顺序，并且对于每一个i∈[n]，在玩家σi=xσi·max 0,min 1,1-(1+α)[1-zpσj≤σixσj的侧向量是cσi=xσi·max 0,min1，1-zpσj≤σixσj。（6）一方面，如果全合作是一个唯一的均衡，那么它可以通过迭代消除星图中玩家的某些排列的支配策略来达到；另一方面，命题4说明了如何为每一个排列找到一个最小的附带向量。因此，我们看到，通过遍历所有排列，我们得到了整个最小附带向量集。这表明星图中所有最小边向量的集合Cmin，即边极小化问题的搜索域，是一个有限集。具体来说，集合CMINI的基数由玩家置换集合的基数限定。即对于任意给定的n个边值极小化问题，Cmin≤n！。在这一节之后，我们证明了Cmin实际上小于n！，并且以2n为界。下面的结果定理1刻画了单企业最优解中的部分络。定理1的另一个观察是，如果我们遵循一个最优解中的支配策略的迭代消除顺序，并沿着这个顺序观察给玩家的支配策略，那么最初玩家的某个子集得到了完全的支配策略。这些参与者的合作是一种主导策略，因此他们可以有任何任意的顺序。在这些全部抵押品之后，以下获得部分抵押品的参与者将按照他们的投资顺序排列。他们的部分抵押品是单调的，他们的投资在绝对规模和每个人的投资百分比上都是单调的；也就是说，对于部分抵押品，每一美元投资的抵押品随着投资规模的增加而减少（见推论1）。定理1（最优部分抵押品）：在不丧失一般性的情况下，假设参与者被指数化，使得x≥x≥...≥xn。

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大多数88

2022-4-20 21:36:33

修正单个企业抵押品最小化问题的任何最优解，并假设A是该解决方案中获得全部抵押品的参与者的集合。表示xa=pi∈Axi。存在一个最优解，其中有一个完整的抵押品中的玩家和其他玩家的抵押品B=[n]\\A是+i∈B,ci=max0,xih1-(1+α)1-zxa+pj≤ij∈bxji。（7）证明在附录B中。证明的思想是，方程（7）是在以下条件下由命题4得到的，即：按照占优策略迭代消除的顺序σ，游戏者A出现（以任意顺序），然后是B中的游戏者，按其指数的递增顺序排列。然后证明，无论什么时候，只要这个条件不起作用，我们总是可以减少所有的络的和，从弱的意义上说，通过按迭代消去的顺序排列任何一对具有部分抵押品的连续玩家，使得指数最小的玩家（因此投资金额较大或相等）获得。该定理的一个简单推论是，部分抵押品在投资中是单调的，无论是在绝对规模还是在每个人投资的百分比上。推论1对于两个玩家a，b在企业抵押品最小化问题的最优解中有部分抵押品，如果xa>xb，则ca>cband ca/xa>cb/xb。定理1表明，抵押品最小化问题可以归结为选择一个玩家子集给出完整抵押品的问题：因为存在一个最优解，其中一些玩家集A具有完全的抵押品，而其他抵押品是givenby方程（7）,人们只需要搜索集合A，这在下面的推论中被形式化。推论2用d playerscan在O(2dd)时间内找到单企业抵押品最小化问题的解决方案：对于游戏者的每个子集S，构造一个排序σ(S)，其中S中的玩家是预玩家（以任意顺序），预玩家之后的其他玩家Sc以投资金额的不递增顺序排序；然后，根据定理1将排序σ(S)的抵押品设置为S，并将所有抵押品设置为Sc，从而得到总抵押品c(S)。4.1计算复杂性在前一节中，我们已经看到，单个企业的抵押品最小化问题可以作为一个子集选择问题来解决，该子集是由获得全部抵押品的参与者集合来解决的。在这一节中，我们给出了单企业侧向极小化问题与背包问题之间的形式联系，证明了单企业侧向极小化问题对于整数输入是NP-hard的。证明的概要如下。首先，我们考虑一个大的感兴趣参数α的区域，其中，根据引理3，所有的抵押品要么是满的，要么是零的。然后我们证明，在这种情况下，最大的投资者（或者，在相同的最大值重复出现的情况下，这些投资者中的一个）在最优解中必须得到零抵押品（引理5）。然后，我们对均匀背包问题进行反演，在这个反演中，我们寻求一组一维尺寸的物品，这些物品在一起超过了给定的容量阈值，但以最小的方式这样做（反演8）。我们证明了这个反背包问题与标准的均匀背包问题是等价的。引理5（最大参与者）：考虑整数输入{n,{xi}ni=1,Z,α}的单企业抵押品最小化问题。

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nandehutu2022

2022-4-20 21:36:39

如果α>Z，那么在每个最优解中，至少有一个投资机会最大的参与者获得零抵押品。接下来，本文对背包反问题进行了研究，发现背包反问题是NP难的，并将其归结为整数输入星图的侧边极小化问题。结论8（背包反问题）：对于整数输入{xi}ni=1和整数阈值t，背包反问题要求s*∈Argmins[n]pi∈Sxi,s.t.pi∈Sxi>t。引理6背包反问题是NP难的。定理2（硬度）：整数输入{n,{xi}ni=1,Z,α}的单企业侧边极小化问题是NP难的。证明：通过背包反问题的约简证明单企业横向最小化问题。设{xi}ni=1,t∈N为背包反问题的输入，我们假定输入均为整数，且t≤pixi-maxixi（否则，该解集内必须有该玩家，该问题可以映射到一个没有该玩家且阈值较低的新问题）。接下来，我们构造了一个求解背包反问题的特例，考虑了一个具有投资{xi}ni=1的参与者集合[n]和一个附加参与者n+1的附带极小化问题的实例，该参与者集合具有投资xmax=maxixi+1,且α=2z。根据引理3，由于α>Z，最优解中的络脉要么满，要么零。通过引理4，我们知道严格地倾向于与零侧方合作的单个博弈者保证由侧方诱导的博弈具有唯一的纳什均衡；通过引理5，在最优解中，这个博弈者是最大的博弈者。在一个最优解中，具有满抵押品的玩家集S是一个满足约束条件PJ∈SX>Z-Xmax的最小和的集。通过设定边值极小化问题toZ=xmax+t的参数Z，我们得到:pj∈Sxj>t。因为S是满足此条件的最小和集，并且由于我们添加到反背包输入的xmaxthat不能在S中，所以这是反背包问题的一个解决方案。因此，具有整数输入的单企业抵押品最小化问题是NP-hard的。5投资网络在前一节中，我们研究了结构非常简单的投资网络：具有单个企业和n个投资者的星图。接下来我们回到任意有向投资网络的一般模型。在这种情况下，如第2节所详述的，如果代理人的企业违约（没有足够的资本投资来支付运营成本），代理人以零回收的方式撤回所有投资，基本上不向任何企业投资。单一企业设置与多企业投资网络设置之间的关键是违约级联风险。例如，如果A是B企业的潜在投资者，而A默认投资，那么A不投资B企业，不管A对此投资有什么动机。这反过来也可能导致B陷入默认状态，在这种情况下B不能投资于任何企业。在本节中，我们将为网络模型提供几个结果。我们证明了在无向无环图(DAG)中，一个不考虑违约级联风险的、在每个企业中诱导唯一纳什均衡的最优抵押品解实际上是在整个网络中诱导唯一纳什均衡的最优抵押品解，即使违约会引发投资失败。事实上，这些为每个企业分别计算的局部最优解在网络中产生了全局最优解。因此，我们得出结论，对于DAG，不需要NetworkExperse抵押品(NEC)，也就是说，由于潜在的违约级联导致的systemicrisk，不需要额外的抵押品。

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kedemingshi

2022-4-20 21:36:45

作为这一结果的推论，我们得到，如果每个企业都可以求解抵押品最小化问题，那么我们也可以求解由这些企业构造的DAG的抵押品最小化问题。特别地，在任何一个企业最多有d个潜在投资者的DAG中，我们可以在O(2ddn)时间内解决问题，然后我们考虑一般的有向图（可能有圈），并给出两个负结果。首先，我们证明违约级联不能再被忽略，它们可能意味着诱导唯一均衡所需的总抵押品的巨大增加（即使存在）--这种增加可以是任意大的（NEC是无界的），这甚至对于具有常数代理数的网络也是成立的。最后，我们证明了循环也意味着计算的困难，即使每个单独的企业问题都可以被解决。在一般的图上，即使使用一个可以分析任何单个企业问题的甲骨文，这个问题也是NP-hard的。5.1初步研究了投资网络的星分解的概念。这一概念对于比较局部和网络在边极小化问题中的作用是有用的。认识9（星分解）：设G=(V,E）是一个有向图，用Ve={V∈V:putu∈Vs.t表示。(v，u)∈E}G中具有非零外度的顶点子集。G的星分解（以H(G)表示）被定义为G的子图族，使得每个子图包括一个顶点c∈Ve，它的所有相邻顶点{v∈v:(c，v)∈E}和连接c的边{(c，v)∈E}。注意，在我们对星分解的理解中，如果考虑多个投资，在多重星子图中可能出现同一个顶点。图3和图4是graphsand星体分解的例子。为了研究投资网络拓扑结构对最优抵押品方案的影响，我们将存在可行抵押品矩阵的网络的网络超额抵押品(NEC)定义为网络中的最优抵押品之和与其在星形分解中的最优抵押品数目之比。显然，当每个星子图是一个网络的一部分时，稳定它的代价只能微弱地高于当它不连接到一个网络时稳定同一个星子图的代价。NEC Quanti定义了将网络稳定在唯一均衡中的成本的systemicstrategic risk分量，或者克服违约级联风险所需的超额抵押品。对于具有投资图G=(V，E)的抵押品最小化问题P={n,X,Z,a}，我们将用PGT表示该问题，以明确它具有投资图G。如果Hii是G的子图，我们用PHI表示绕过子图Hi的抵押品最小化问题。对于具有投资图K的任意问题PK，当存在PK，则用CK=∞表示，否则用CK=∞表示。第10章考虑具有图G=(V，E)的PK={n,X,Z,A}的抵押品极小化问题PG={n,X,Z,A}。设H(G)是G的星分解。PGis的网络超额络(NEC)定义为:NEC(PG)=cgphi∈H(G)CHi(8)注意，由于任何hi∈H(G)是星图，CHiis总是有限的，因此分母总是有限的。5.2有向无环图我们从考虑无环投资图开始。在此背景下，我们的主要结果是，在投资图的星形分解中分别求解每个企业，可以得到无环投资网络的最优抵押品，而忽略了它是网络的一部分这一事实。在忽略违约级联的可能性时，这些抵押品显然足以诱导一个独特的均衡。

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能者818

2022-4-20 21:36:51

证明的主要观点是，我们实际上可以发现一个消除主导策略的顺序，这将确保当一个代理人考虑投资时，她确信没有违约会伤害她，即使是通过级联。本质上，在每个DAG中都有一个企业顶点，没有投资者，而投资者本身就是企业。因此，我们可以争辩说，我们可以把这个企业顶点和它的投资者找出消除主导战略的顺序（根据该企业作为一个独立企业的最优解的顺序和抵押品）。任何以后的代理都知道这个fireRst企业不会默认，所以我们可以在网络的其余部分递归地继续，而不必担心以前的企业会触发默认级联。图3显示了该过程。图3：左：一个有向无环图(DAG)。这些数字显示了一个拓扑顺序。顶点1、2、3是企业顶点。右图：图的星形分解。星形子图上的拓扑序归纳为序。在迭代消除玩家的占优策略中（每个决策对应一条边），消除排序较高的星子图的边。大写字母显示了这种迭代消元顺序的一个例子。迭代是从3号星图的边按拓扑顺序开始的，这些边是由该星图问题的解排序的。一旦星图3被保证在唯一的平衡中，星图2就可以作为一个独立的问题来求解，而不会有因星图3而违约的风险，并且这个过程沿着由拓扑序所诱导的星图的顺序继续下去。定理3（DAGs中的最优抵押品）：考虑图G=(V，E)的抵押品极小化问题G={n,X,Z,a}。设H(G)={Hi}i∈VE是G的星分解，其中VE是企业顶点集。如果G是无圈的，则通过分别求解H(G)中每个子图的边极小化问题，得到了边极小化问题PGcan的一个解。因此，对于图G为DAG的任何问题PG，本文认为CG=phi∈H(G)chi，且so NEC(PG)=1。证明：对于每个子图Hi∈H(G)，求出该单个企业图的边值极小化问题的解，并设Chi为该解中的总边值。我们声称，这些相同的络脉（具有适当的消除顺序，特别是下面所述）形成了问题PG的解决方案。该解具有总侧支Cg=phi∈H(G)CHi，并且没有解具有较低的总。首先，如果Pgs有一个解，总比CHi低，那么它就会导致一个子图Hi（具有相同的消序和络序）的解，总比CHi低，这是一个矛盾。其次，我们论证了对于Totalphi∈H(G)chi的PG，确实存在一个解。为了证明这一观点，我们给出了一个消去支配策略的序，设ζgbe是G的拓扑序，即对于每个有向边（i,j）,顶点i出现在j之前的顶点的序。当G是DAG时，就存在这样的排序。考虑玩家策略的以下顺序--企业顶点（Ve中的顶点）按照拓扑顺序的相反顺序排列；当考虑一个企业顶点i是这个顺序时，我们按照这个企业顶点的星图解所规定的顺序来处理投资机会（边）。这为消除PG的支配策略提供了一个决策边的顺序。我们认为，如果我们按照这种顺序消除主导策略，所有玩家确实会投资于他们所有的投资机会。

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mingdashike22

2022-4-20 21:36:57

的确，通过归纳很容易看出，当一个顶点考虑投资一家企业时，上述顺序保证了在DominatedStrategies迭代消除下，同一企业的所有其他投资者永远不会违约。定理3表明，每一个具有非循环投资结构的抵押极小化问题都可以分解为O(n)个星图问题，求解这些星图问题为网络问题提供了一个解决方案。如果网络的out度为有界d，则上一节所示的星图边极小化问题的求解过程的运行时间为O(2dd)（推论2）。推论3考虑具有图G=(V，E)的旁支极小化问题PG={n,X,Z,A}。如果G是一个DAG且有界的out度d,则在O(2ddn)时间内可以解决边极小化问题。5.3一般图定理3表明，在每个有向无环图G中，对于拓扑G的每一个最小化担保问题PG，NEC(PG)=1，即不需要额外的担保来处理网络系统风险。与此形成鲜明对比的是，下面的定理显示了具有有向圈的thatin图，NEC是无界的，即使只考虑有可能通过络环诱导唯一平衡的实例。证明使用了图4所示的构造。festigure显示了一个investmentopportunities循环，其中每个循环顶点在其自己的企业中也有两个外部投资者，其中一个投资者的投资金额（大小为1)，另一个投资者的投资金额由K参数化。证明了要建立完全投资为唯一均衡，必须给至少一个循环变量的两个外部投资者提供完全抵押品，从而使总抵押品大于k+1，并且可以任意增大（通过增加k）。基本的直觉是，这些循环顶点永远不可能有一个主导策略（即使有完整的络脉，因为他们仍然可能违约），因此，只有当控制策略中的一个不被违约时，才能建立一个迭代消除控制策略的顺序。定理4（周期费用）：对于任意R>1，存在一个具有循环投资图G=(V，E)的可解边极小化问题PG={n,X,Z,a}，NEC(PG)>R。此外，即使对于所有共享相同投资图G的问题，只有3个企业顶点和常数顶点数(n=V=9)的onecycle也成立。证明：我们给出了一个循环网络来证明这一主张，见图4。左边的图说明了一个对称循环网络，有九个参与者，其中三个是投资者，也有投资企业，另外六个是投资者，没有自己的企业。潜在的投资金额被描绘在图的边缘，箭头是在投资回报的方向上。我们将以sizek>2的投资为参数，设Za=Zb=Zc=k+1和α=2k。在G的星分解中的星图的最优解中，对子图来说，投资者B和a得到全额抵押品，而a操作零抵押品。在星型分解中，每个企业的成本为2，总成本为6。在这个循环中，存在一个可行的抵押品矩阵（例如，所有参与者的全部抵押品构成一个可行的抵押品矩阵），但星形分解的这些抵押品并不是完全一致的：无论以何种顺序迭代界定主导策略，除非该投资是以全部抵押品担保的，否则参与者a、b、ccanbe的投资机会都不在其他两个之前。

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能者818

2022-4-20 21:37:03

因此，在这个循环中，对于其中一个星形子图，总成本为k+1，而对于另一个星形子图，总成本为2，总成本为k+5。因此，循环最优解与星形分解局部最优解之和之间的代价之比为ISK+5。所以我们可以选择足够大的kto来证明这个说法。该网络证明了在具有循环的情况下，全局最优值可以任意地比局部解之和更昂贵，NEC为θ(k)。下面的定理表明，对于一族总是存在解的实例，即使每个企业的局部解是已知的，投资网络中的循环也意味着计算困难。在循环投资网络中没有可行的旁支矩阵的情况下，可以用多项式时间来证明。见第3.2节和附录A。图4：左：循环图；右图：星形分解。定理5（循环的硬度）：循环投资网络的整数输入{n,X,Z,A}的侧边极小化问题是NP难的。此外，本文还给出了星图上最优保络问题的求解方法。证明：该证明是由反馈顶点集问题的约简得到的。设G=(V，E)是有向图。用di表示顶点i∈V的外度，取k=1+maxi∈Vdi。现在，我们希望构造一个侧边极小化问题的实例，该解决方案也解决反馈顶点集问题的优化（极小化）版本。为此，我们将通过以下步骤构造一个图G=(V,E）：首先，我们迭代地从G中移除所有具有零外度（和入射边）的顶点，直到没有其他顶点。这个过程需要多项式的多个步骤，得到一个图，它只包含G中的圈顶点V，V和由V诱导的所有边。注意，所得到的图中的圈与G中的完全相同（因此，两个图上反馈顶点集问题的解是相同的）。然后，我们给i，j∈Va的每条边（i,j）赋权xij=1。接下来，我们在Va“gadget”中的每个顶点中添加两个邻居--新顶点的OUT度为零，in度为一。一个顶点有权重为1的入边，另一个顶点有权重为K的入边。设G=(V,E）为结果图（vise vs与来自小工具的附加2V个顶点的并集）。现在我们给每个顶点指定两个参数:zi=k+1和αi=2k。注意到图G中的所有圈都是相同的圈，因为我们只添加了“尖峰”顶点，而这些顶点并不具有固定的ECT圈，因此Gis的最小反馈顶点集与G中的最小反馈顶点集相同。具有顶点性质{Zi},{αi}的加权图也定义了旁支极小化问题的一个实例PG。在这个问题的例子中，存在可行的抵押品矩阵（例如，所有玩家的全抵押品都是可行的抵押品矩阵），并且最优抵押品具有以下性质：在PG的最优抵押品中，在每个循环中至少有一个顶点其输出边的抵押品之和为k+1。另外，每个外度为非零的顶点到外边的络和要么是2,要么是k+1。证明：当αi=2k>k+1=zi，对于每一个i∈V，根据引理3，这个例子是在大α区，意味着每个络要么是满的，要么是零的。因此，对于nodesi,j∈V的每一条边（i,j）,其旁路cij等于xijor零。考虑G.中的一个任意循环，该循环中的Foreach顶点及其输出边（构成一个星形子图），如果存在缺省，那么最优抵押品是两个权重为1的玩家的完全抵押品（现在星形子图中权重为k的玩家更愿意投资，即使是零抵押品，然后所有其他玩家都跟着投资）。

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kedemingshi

2022-4-20 21:37:10

然而，如果这些是一个循环中的抵押品，它们就不能在迭代消除主导策略中获得唯一的均衡。这是因为权重为k的玩家不能在这些合作的规模为1的玩家之后以任何迭代划分顺序出现，除非她获得了全额抵押品，因为在周期的某个地方有违约风险（对于没有抵押品的其他玩家也是如此）。另一方面，一旦循环中的一个sesize-k玩家有一个完整的抵押品，另一个完整的抵押品必须给同一个星形子图中规模为1的玩家以支付运营成本，然后在这个星形子图中不需要进一步的抵押品。因此，在最优解中，在每个循环中都有一个顶点，该顶点到其输出边的络和为k+1。现在假设一个星形子图，其最优解中的络和小于k+1。这些担保物诱导合作以支付Z=k+1的运营成本的一个必要的条件是，规模为k的参与者可以确信至少有两个规模为1的参与者在投资者集合中，在这种情况下，规模为k的参与者可以从与ZeroCollateral合作中受益。由于解是最优的，这样的星形子图中的络和不能大于2。用S*表示一组顶点，使得对于每个这样的顶点，其出边的络和是k+1。在边值极小化问题的解中，每个循环至少包含一个来自S*的顶点，因此边值和可以写成(k+1)S*+2(S*)C。G*中的每个圈包含S*中的一个顶点。因为G有与G相同的圈，所以S*∈Argmins对S.T。G中的每个圈包含S*中的一个顶点，它是反馈顶点集问题的一个解。因此，即使星图问题的解是已知的，抵押品极小化问题也是NP难的。上述结果揭示了投资网络中可能存在的循环和系统风险：第一，没有循环的网络更容易在有抵押品的情况下稳定；即使在有界度网络中，循环的存在通常会增加抵押品的最小代价，并增加计算量。其次，在没有循环的网络中，每一个投资者对其潜在投资者进行局部优化的最优抵押品也会产生由中央规划者计算的全球最优抵押品。相比之下，当周期存在时，有一些网络，在这些网络中，当地最优的担保物并不导致唯一的均衡，因此可能需要中央规划和干预来确保稳定。承认本项目根据欧盟的地平线2020研究和创新计划（赠款协议号740282）获得了欧洲研究理事会(ERC)的资助。参考文献[1]Acemoglu，D.Ozdaglar，a.Tahbaz-Salehi，a.:鱼类网络中的系统性风险和稳定性。《美国经济评论》105(2)，564-608(2015)[2]巴布斯，A.:《金融网络的形成》(2013),https://ssrn.com/abstract=[3]巴布斯，A.，Hu，T.W.:《场外交易市场中的内生中介》。《金融经济学杂志》125(1)，200-215(2017)[4]Ban,A.,Koren,M.：顺序筹资与社会保险。载：第21届ACM经济与计算会议论文集。第45-46页。EC\'20，计算机械协会，纽约，纽约，美国(2020)，https://doi.org/10.1145/3391403。[5]伯南克，B.Gertler，M.:金融脆弱性与经济绩效。第四版经济学杂志105（1）,87-114（1990）[6]伯南克，B.S.,Gertler,M.：代理成本、抵押品和商业价值。技术。美国国家经济研究局代表（1986）[7]Brandts,J.,Cooper,D.J.：改变会对你有好处...组织中如何克服协调失败的实验研究。

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nandehutu2022

2022-4-20 21:37:16

《美国经济评论》96(3)，669-693(2006)，https://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/aer.96.3.669[8]Caccioli,F.,Barucca,P.,Kobayashi,T.：系统风险的网络模型：Areview.计算社会科学学报1（1）,81-114（2018）[9]Eisenberg,L.,Noe,T.H.：金融系统中的系统性风险。管理科学47（2）,236-249（2001）[10]埃利奥特，戈鲁布，杰克逊，医学博士：金融网络与传染。美国经济评论104（10）,3115-53（2014）[11]Erol,S.,Vohra,R.：网络形成与系统风险。可查阅SSRN 2546310(2018)[12]Farboodi,M.：交易对手风险的中介和自愿暴露。可用atSSRN 2535900(2014)[13]Gai,P.,Kapadia,S.：鱼类网络中的传染病。皇家学会学报A：数学、物理和工程科学466（2120）,2401-2423（2010）[14]Halac,M.,Kremer,I.,Winter,E.：从异质投资者中筹集资本。《美国经济评论》110(3)，889-921(2020年3月），https://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/aer.20190234[15]Jackson,M.O.,Pernoud,a.：金融网络模型中扭曲的投资激励、监管和均衡多重性。金融网络模型中的监管与均衡多重性（2019年3月1日）（2019）[16]Jackson,M.O.,Pernoud,A.：金融网络中的系统性风险：一项调查。经济学年度评论13,171-202（2021）[17]Monderer,D.,Tennenholtz,M.：K-实施。艺术情报研究杂志21,37-62（2004）[18]Monderer,D.,Tennenholtz,M.：强介导平衡。艺术情报173（1）,180-195(2009)[19]尼桑，罗宁，A.：算法机制设计。博弈与经济行为35（12）,166-196(2001)[20]Rogers,L.C.,Veraart,L.A.：银行间网络的失败与拯救。ManagementScience 59（4）,882-898(2013)[21]Schuldenzucker,S.,Seuken,S.：投资组合压缩在金融网络中：激励与系统风险，pp.79-79(2020)[22]Schuldenzucker,S.,Seuken,S.,Battiston,S.：违约模糊性：信用违约在金融网络中产生新的系统风险。管理科学66(5)，1981-1998(2020)[23]Segal,I.：外部性契约。经济学季刊114（2）,337-388（1999）附录可行抵押品矩阵引理7（具有完全抵押品的唯一均衡）：考虑具有图G=(V，E)的抵押品极小化问题的输入{n,X,Z,A}。当且仅当在以下多项式时间过程中达到全合作策略Profirele时，该输入存在可行的抵押品矩阵（因此，存在抵押品最小化问题的解决方案）：(i)将每个投资机会的抵押品设置为完全抵押品，即c=X；(ii)迭代消除严格占优策略。证明：如果完全抵押品的迭代消除达到完全合作策略，则完全抵押品构成一个可行的抵押品矩阵，因此抵押品最小化问题的解一定存在。如果迭代淘汰没有达到所有合作的策略，那么，在所有玩家的充分支持下，有些玩家更喜欢叛逃而不是合作。矛盾地假设存在一个可行的侧向矩阵C6=C。高于全押注的押注对任何玩家的效用都没有任何影响，所以我们可以假设W.L.O.G.即K,I CKI≤xki,且存在一些投资机会xki<CKI。因此，如果我们把C中的抵押品增加到全部抵押品，一定会有玩家从合作转向叛逃。与命题1所述的单调性相结合，这就导致了一种矛盾，因为每个参与者从合作中得到的效用，如方程（2）所给出的，是其附带的弱递增函数，而从叛逃中得到的效用是一个常数。

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nandehutu2022

2022-4-20 21:37:22

另外请注意，某个投资机会的抵押品xkicannot a改变了任何参与者对投资机会的效用，除非抵押品的这种变化导致参与者i改变了对投资的决定xki（来自任何其他投资的效用是投资项目的函数，而不是抵押品的明确函数，投资项目反过来又是策略项目的函数，而不是抵押品的明确函数）。引理8（剩余的边形成圈）：考虑引理7所描述的过程，输入为{n,X,Z,a}，图G=(V，E)，由在该过程中未消除的这组边所诱导的子图表示。如果Gis不是空图，那么Gis中的每个顶点都是G中有向圈的一部分。证明：矛盾地假设在G中存在一个不属于任何直接循环的顶点vin G，那么，在G中存在一个“死端点”，即有零输出度，或者在G中存在一条从VT到死端点的路径。在任何一种情况下，死端点的策略都可以被消除，因为它在原始网络G中的所有输出边都是被投资的，因此它不是默认的，并且在所有投资中更愿意与完整的抵押品合作。这是一个矛盾，因为在迭代分界过程中没有消除这些策略。引理9：当且仅当存在一个非平凡子图，其中每个顶点都是cyclevertex，并且对于该子图中的每个企业，该企业的成本高于该子图外所有投资于该企业的参与者的投资。证明：假设一个唯一均衡不能由抵押品诱导。引理8证明，在对满络的支配策略进行迭代消除后，仍然存在一个子图，其中每个顶点都是GN中循环的一部分，并且不能消除其他策略（对应于G的边）。自相矛盾地假设有一个顶点vin G，该顶点的企业成本低于或等于子图Gwho以外所有参与者的总投资。由于迭代消除了G以外的所有投资（对应于边），具体来说，在Gare以外的VTO顶点的所有输出边都投资于边。因此，企业的成本是完全覆盖的，而不是默认的。由于在G中的循环顶点上，她认为另一个企业的投资机会是G，因为没有违约，并且有这个投资机会的全部抵押品，所以她对这个投资的策略可以被取消（她更喜欢合作），这与取消后剩下的子图是相反的。另一方面，如果我们假设一个唯一的均衡可以由抵押品诱导，那么存在一个非平凡的子图Gin，它的每个顶点都是一个循环顶点，并且对于Gn中的每个企业来说，该企业的成本高于Gn以外的所有参与者在该企业投资的总投资，这无疑是矛盾的。因为对于GInvestments中来自Gnant外部的每个顶点，如果Gdefect W.R.T.中的所有其他顶点，则Gis中的每个顶点都默认为Gdefect W.R.T.他们所有的投资机会，因此更喜欢为了suchstrategic profections而叛逃。因此，在G的边所对应的所有投资机会中，没有一个投资机会是可以消除的。由于命题2，这与唯一平衡的存在是矛盾的。

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kedemingshi

2022-4-20 21:37:28

证明：（命题3）：我们证明了该命题所描述的迭代过程在投资博弈中等价于完全押注严格占优策略的迭代消除，到达空图等价于到达全合作策略Profigure,从而引理7证明可行押注矩阵存在当且仅当迭代过程到达空图。承担所有投资的全部抵押品。非企业参与者（图表中的尖峰）有一个主导策略来投资他们所有的投资机会。在消除这些策略后，如果我们假设有可能通过抵押品诱导一个唯一均衡，那么存在一个企业参与者k，她的一个投资按迭代消除的顺序紧随其后，并且她已经筹集了su-cient资本来避免违约（否则她更愿意叛逃）。由于有充分的抵押品，不是无违约的玩家k更喜欢投资她所有的投资机会。在这种情况下，如果我们移除k并将k拥有的每一个投资机会从一个新的尖峰节点中替换为相同的机会，则按消除顺序排列的决策就不是a的，因为在这两种情况下，这些相同的投资都成功地执行了（没有缺省）。同样的道理也适用于按消去顺序的下一次投资，一旦我们在迭代消去的末尾达到全合作策略，命题中描述的迭代过程已经移除了原始图的所有顶点。另一方面，如果我们假定不可能通过抵押品诱导唯一均衡，那么，根据引理9，存在一个平凡的子图，其中每个顶点都是循环顶点，对于该子图中的每个企业，该企业的成本高于该子图以外的所有参与者投资于该企业的总投资。在这种情况下，该命题所描述的迭代过程不能到达空图，因为在迭代过程中不能删除该子图中的任何顶点。B附加证明1第3节的证明：（引理1）：假定xki+pj∈Akxj≥zk1+αk-。由于CKI=0，如果玩家i投资，那么UKI=RKI。由于单调性，如命题1所述，可以证明，如果只有参与者AKé{i}投资，则RKI≥xki（单调性表明Rkican只随更多参与者的合作而增加）。即我们需要证明rki=max0,xki(1+αk)→1-zkxki+pj∈Akxkj≥xki。根据我们的假设，(1+αk)→1-zkxki+pj∈Akxkj≥(1+αk)→1-zkzk(1+1/αk)=1，因此Rki≥xki。因此，玩家i更喜欢合作。其次，确定只有玩家AKé{i}投资，UKI≥XKI。同样，当CKI=0时，如果玩家i投资uki=rki，企业返回玩家i的结果是:rki=xki(1+αk)[1]zkxki+pj∈Akxkj≥xki。AsZk，αk>0，这就引出方程（4）。证明：（引理2）：假定xki+pj∈Akxkj≤zk。企业k给玩家II，如果她投资k的回报是:max0，xki(1+αk)1-ZKXKI+PJ∈AKXKJ。玩家i的效用等于scki，所以我更喜欢只与一个完整的抵押品合作。接下来，通过矛盾假设xki+pj∈Akxkj>zk。企业对i的回报为:rki=max0,xki(1+αk)1-zkxki+pj∈Akxkj→>0。玩家i从k得到的回报为非零。我们可以选择cki=xki-rki，然后选择uki=xki，acontradiction。因此，方程（5）成立。证明：（引理3）：对于j S.T。xkj=0根据规定抵押品为零，该语句成立。接下来，对附带最小化问题的任何解决方案c进行搜索。注意，这样的解也是一个极小的附带矩阵。用K表示与企业K中的投资机会相对应的边集（K的出边），用FK表示K中所有边集，其中K给出完全抵押品。

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可人4

2022-4-20 21:37:34

设σ为占优策略迭代消除边的一阶。考虑参与者i，使得(k，i)是k（边(k，i))中按σ顺序的投资机会。以投资边的Aithe集表示，当σ中(k，i)之前的所有边都是合作边，σ中(k，i)之后的所有边都是缺陷边，且denoteaki=aik。玩家i严格地倾向于合作W.R.T。因此她不可能违约（否则我宁愿叛逃）。如果i∈FK，则该陈述对此边成立（i有完全抵押品）。否则，如果xki+pj∈Akxkj≤Zk，那么，通过引理2，i也必须得到完全侧边，是对i/∈fk的一个矛盾。因此，当输入为整数时，XKI+PJ∈AKXKJ≥Zk+1,因此对于αK>Zkit认为XKI+PJ∈AKXKJ≥Zk+1>Zk(1+1/αK),引理1意味着激励玩家i合作的最小旁枝为零。这一论点对以σ为顺序的k的所有下列投资都成立。由此我们得出企业k中每个投资机会的最优解不是完全的就是零。B.2对第4节的证明：（引理4）：由引理1,i有一个严格的最优答复合作蕴涵xi+pj∈axj≥z1+α.在玩家i加入并进行合作后，对于每一个玩家m/∈A{i}，它持有XM+XI+PJ∈AXJ≥Z1+α，因此，根据引理1，玩家m有一个严格的最佳回答，可以在零次的情况下进行合作。证明：（命题4）：固定玩家的任意顺序σ。对于σ是导致全合作均衡的严格占优策略的迭代定界顺序，我们要求玩家σ有一个严格占优策略来合作，并且假定σ合作，玩家σ的严格最佳回答是对玩家σj>2的任何行动进行合作，使用等式(1)，这就得到了下面的一组方程组:Cσi+Rσi=Cσi+max0,Xσi(1+α)→1-zpσj≤σixj≥XσiCσi≥xσi-max0,Xσi(1+α)→1-zpσj≤σixj，其中等式是因为最坏的情况下企业回报RσIto玩家σi，当只有在她之前的玩家和她自己合作时，如果她合作，那么在这种情况下，她的回报至少是xito使她更愿意投资。通过非负保络的假设，我们得到:Cσi≥xσiH1-max 0,min 1,(1+α)→1-zpσj≤σixji,其等价于:Cσi≥xσi·max 0,min 1,1-(1+α)→1-zpσj≤σixj,等价给出了每个玩家σi的最小保络。证明：（定理1）：方程（7）直接从命题4中得到，条件是A中的玩家按优先策略迭代消除的顺序出现（任意顺序），然后是B中的玩家，其指数按递增顺序排列。在投资金额相等的玩家子集的情况下，迭代定界σ的顺序总是可以置换的，使得每个这样的子集中的玩家将按照其指数的递增顺序排列。这个操作不改变对称的押注和。现在考虑一个最优解，其中A是具有完全押注的玩家集，而B=AC。如果B中只有一个玩家，则B中玩家排序的条件很小。如果B中至少有两个玩家，为了矛盾的目的，假设条件没有被充分利用。然后，有两个玩家il，iswith investments l>s，按照迭代消元的顺序为连续的玩家，即σil=σ=+1。

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可人4

2022-4-20 21:37:41

我们将证明，对于这样的一对棋子，以下成立之一：（一）两个棋子的抵押品都为零，它们可以按σ的顺序切换，而不需要累加抵押品之和；（二）所有抵押品之和可以通过切换这两个棋子在σ中的顺序并通过命题4重新计算抵押品来减少，这导致了与最优性假设的矛盾。在棋子的抵押品为零的情况下，从引理4来看，棋子的抵押品也为零的情况下，从引理4来看，棋子的抵押品为零的情况下，从引理4来看，棋子的抵押品为零的情况下，棋子的抵押品也为零。此外，由于l>s，从引理1中可以看出，在替换后计算出的最小侧向量中，有可能将Island和ilin的阶转换为σ，并且侧向量仍然为零，这两个侧向量中的每一个侧向量都是可能的。剩下的情况是两个玩家都有正抵押品的情况，以及isis的抵押品为正和ilis的抵押品为零的情况。注意，由于玩家isand Ila是顺序σ中的连续玩家，根据命题4，如果我们在isand Il之间切换，在他们之前或之后的其他玩家的抵押品在σ中不会改变。因此，从这样的替换中，唯一的di和erence在总的抵押品中是di和erence在这两个球员的抵押品中。以递减顺序σIL<σisby成本(l，s)表示两个参与者的抵押品之和，以我们假定的成本(s，l)表示两个参与者的抵押品之和，并表示所有参与者j，s，t的投资之和。σJ<min(σIL,σ为）为x。当两个络脉均为正时，两个代价分别为：代价（l,s)=l[1]-(1+α)1-ZX+l[+s]1-(1+α)1-ZX+l+s]和代价（s,l)=s[1]-(1+α)1-ZX+s[+l[1]-(1+α)1-ZX+s+l]。条件是:cost(s，l)-cost(l，s)=z(1+α)(s+l+2x)sl(x+l)(x+s)(x+l+s)>0。如果第一个玩家的抵押品为正，而第二个玩家的抵押品il为零，则:cost(s，l)=s[1]-(1+α)1-zx+s]，以及：cost(l，s)=l·max 0,[1]-(1+α)1-zx+l[l].成本（s,l）-成本（l,s）为:s[1]-(1+α)1-Zx+s[1]>0，或:(L-S)[α+Z(1+α)(X+s)(X+l)>0。因此，在弱意义上，我们总是可以通过按迭代消去的顺序切换任何一对具有部分抵押品的连续玩家来减少所有抵押品的总和，从而使指数最小的玩家（因此投资金额较大或相等）获得抵押品。证明：（推论1）：当xa≥xb时，根据我们可以在最优解a<b中假定的定理。因此，每美元抵押品满足:①1-(1+α)1-zxa+pj≤axj>③1-(1+α)1-zxa+pj≤bxj.即玩家a的每美元抵押品较高。由于a的投资额至少等于B的投资额，所以a的绝对抵押品和每美元抵押品都高于B。证明：（引理5）：确定抵押品最小化问题的任何最优解。表示Bys*在该解中具有完全抵押品的玩家集合。其他的玩家有零抵押品，引理3。假设存在一个具有严格大于不在S*中的任何投资的投资的Il∈S*。假设任何玩家都是/∈S*。它有一个投资<L。表示X=(Pi∈S*XI)-L。由于S*是一个解决方案，因此与零抵押品配合。ByLemma 1:s+(X+l)≥Z(1+α)。即l+(x+s)≥Z(1+α)。因此，如果我们切换iland is的零和全抵押品，根据引理1，两个参与者仍然倾向于投资，根据引理4，其他人跟随，但总抵押品是x+s，小于x+l，这与最优性假设相矛盾。证明：（引理6）：回想一下（均匀）背包问题得到的是输入整数{xi}ni=1和一个整数阈值r，并要求在约束条件下，在pi∈sxi≤r下，找出一个使pi∈txiis最大化的indecis集T。表示X=pi∈[n]xi。

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nandehutu2022

2022-4-20 21:37:41

集合T是阈值为r的背包问题的解当且仅当集合K=[n]\\T是阈值为T=x-(r+1)的逆背包问题的解。

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