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收藏 2022-04-24

英文标题：
《Assignment Maximization》
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作者：
Mustafa O\\u{g}uz Afacan and In\\\'acio B\\\'o and Bertan Turhan
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Economics 经济学
二级分类：Theoretical Economics 理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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英文摘要：
We evaluate the goal of maximizing the number of individuals matched to acceptable outcomes. We show that it implies incentive, fairness, and implementation impossibilities. Despite that, we present two classes of mechanisms that maximize assignments. The first are Pareto efficient, and undominated -- in terms of number of assignments -- in equilibrium. The second are fair for unassigned students and assign weakly more students than stable mechanisms in equilibrium.
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何人来此

2022-4-24 18:34:34

任务最大化穆斯塔法OGUZ AFACAN，IN\'ACIO B\'O和伯坦o图尔哈纳摘要。我们评估的目标是最大化符合可接受结果的个体数量。我们表明，它意味着激励、公平和实施的不可能性。尽管如此，我们提出了两类最大化分配的机制。第一种是帕累托效率，在分配数量方面，处于平衡状态。第二类是公平的未分配学生，与稳定的平衡机制相比，ssign的学生人数略多。JEL分类：D47、C78、D63。关键词：市场设计，匹配，最大匹配，公平，目标分配，学校选择。1引言在本文中，我们考虑了市场设计者所面临的经济问题，他们想要生产匹配的（或对象分配），它响应于代理人的偏好，并留下最不匹配的数量（例如，在个体间的离子匹配中有最大的基数）。研究这一问题的主要动机之一是，在实践中，市场设计师经常对标准程序进行调整，以防止代理商无法匹配。例如，在学校cho ice程序中，分配机制的实际使用通常包括使用标准机制，例如Gale-Shapley延迟录取（Gale and Shapley，1962），然后再使用一些附加程序将不匹配的学生分配到某个学校。然而，这些次要步骤或其他填充剩余座位的特殊方法会导致失去最初使用的机制的属性，例如公平性和策略证明性（Dur和Kesten，2019）。

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nandehutu2022

2022-4-24 18:34:41

在本文中，我们从假设市场设计师的目标是让最少的学生数量不匹配开始。虽然这一目标无法通过策略证明机制实现，但我们提出了在学生非策略时产生最大匹配和效率或满足新标准的机制。我们还证明了它们在均衡状态下满足期望的特征，并且随着代理比例的增加，匹配的基数也增加。Mustafa Oguz Afacan：萨班克大学艺术与社会科学学院，O rhanli，34956，土耳其伊斯坦布尔。电子邮件：mafacan@sabanciuniv.edu.InAsio B o o：约克大学，经济学系及相关研究。网站：http://www.inaciobo.com;电子邮件：inacio。lanaribo@york.ac.英国。Bertan Turhan：爱荷华州州立大学经济系，地址：美国伊利诺伊州艾姆斯市海迪厅260号，邮编：50011。电子邮件：bertan@iasta特朗普。伊杜。我们感谢艾哈迈特·阿尔坎、奥汉·艾根、迈赫迈特·巴洛、乌穆特·杜尔、安德烈·贡伯格、伊萨·哈法勒、奥努尔·凯斯滕、维克拉姆·曼朱纳、特里迪布·夏尔马、泰芬·桑麦斯、亚历克斯·泰特伯姆、威廉·汤姆森和乌特库·安沃的帮助。Afacan承认玛丽·居里国际重返社会补助金。B\'o感谢德意志联邦储备银行（KU 1971/3-1）的支持。尽管我们的整个分析自然而然地转化为大多数单元需求离散作业问题，但我们将在整篇论文中介绍学校分配的框架。任务最大化22。相关文献虽然找到最大匹配的算法是众所周知的（Kuhn，1955；Berge，1957），但对使用这些过程引起的激励的研究是有限的，通常依赖于随机机制。

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nandehutu2022

2022-4-24 18:34:47

一个例外是isAfacan和Dur（2018），这是本文的后续部分，表明没有任何策略证明和个人理性机制比Boston、Gale Shapley延迟录取和连续独裁机制更能系统地匹配更多学生。Krista等人（2014）考虑在房屋分配问题中产生最大匹配的问题。它们表明，不存在确定性、最大性和防策略性的机制，而是提供了一种防策略性的随机机制，并产生近似最大的结果。博格莫尔尼亚和穆林（2015）评估了马西拉席和嫉妒自由之间的矛盾，没有公平性，这比我们在这方面所考虑的更为公平。BoGoMulnaa和MurLin（2004）考虑AG有二分引用时的随机赋值。在这种情况下，帕累托效率相当于匹配的最大化，而且，由于代理在所有“可接受”的分配之间是不同的，所以即使在确定性机制中，最大化也不会导致激励问题。野田佳彦（2018）在一个约束匹配的一般模型中研究了策略证明机制实现的匹配规模。在某些约束条件下，找到最大基数的匹配也是文献中探讨的一个问题。欧文和曼弗莱（2010）考虑了当优先级有联系时，具有最大基数的席定稳定问题，这是NP困难问题，以及目前的启发式算法。AsGaLi等人（2020）也考虑了分布约束下的对象分配问题。

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大多数88

2022-4-24 18:34:55

作者表明，序列独裁和概率序列（Bogomolnaia和Moulin，2001）机制的变体至少分配了在约束条件下可以匹配的代理数，而违反约束的情况相对较小。分配最大化一直是器官交换文献中的主要目标，asit指的是最大数量的转移植物。本文献由Roth等人（2004年）的精液workon肾脏交换发起。在随后的一项研究中，为了适应运输厂运营中的一些物理和地理限制，Roth等人（2005）介绍了成对肾脏交换的概念，即只能在两对肾脏之间进行交换。他们建议从组合优化文献中实现基于优先级的最大匹配算法（Korte和Vygen，2011）。EAM和FAM的第一阶段均采用基于优先级的最大匹配算法。其他一些关于器官交换的研究包括：onmez等人（2018年）、Andersson和Kratz（2018年）、Chun等人（2018年）、Ergin等人（2017年）、Nicol\'o和Rodriguez Alvarez（2017年）和Ergin等人（2018年）。难民重新分配是另一个现实世界中的应用，最大化可能是主要的设计目标。Andersson和Ehlers（2018）研究了难民一旦获得庇护后的住房问题。作者提出了一种易于实现的机制，可以有效地找到稳定的最大匹配。它们表明，这样一种匹配的保证，即住房能够有效地提供给最多数量的难民，而且没有匹配的难民房东对，这是相互促进的。我们的“未分配学生的公平性”削弱了Gale和Shapley（1962）通常的稳定性，因此，当前的研究也与大量关于以不同方式削弱稳定性的文献有关。

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大多数88

2022-4-24 18:35:01

其中，Dur等人（2018）、Afacan等人（2017）、Morrill和Ehlers（2018）以及Troyan等人（2018）是该文献中的最新论文。3.模型a学校选择问题包括一组有限的学生I={I，…，in}，一组有限的学校s={s，…，sm}，这是学校的严格优先结构= (s） s∈游泳sis是I上的一个线性阶，一个容量向量q=（qs，…，qsm），以及一个学生严格偏好的函数P=（Pi）I∈一、其中Pi是student I对s的偏好关系∪ {} 和表示未分配的选项。WeASSIGNMENT MAXIMIZATION 3denote学生所有可能的偏好集合，由P.让Ridenote至少与Pi相关的良好参考关系，即：sRis′<=> sPis′或s=s′。如果是sPi，学校s是可以接受的toi, 否则是不可接受的。设Ac（Pi）={c∈ S:cPi}.在本文的其余部分，我们考虑元组（I，S，, q）作为问题的通俗原语，并将其称为市场。我们从问题符号中抑制所有这些，并简单地写P来表示pr问题。匹配是一个函数u：I→ s∪ {} 因此，对于任何∈ S、 |u-1(s)≤ qs。如果u（i）6=. 对于任何k∈ 我∪ S、我们用uk表示k的分配。让|u|为u下分配的学生总数。如果任何学生i∈ 一、 uiRi. 如果任何学校的sPiui对某些学生来说∈ 一、 |us |=qs。如果没有像sPiui这样的学生-学校对，那么匹配的u是公平的，并且对于一些学生j∈ 是的，我sj。如果个体理性、不浪费、公平，那么一个团队是稳定的。在本文的其余部分，我们将只考虑单独的理性匹配。因此，当我们提到匹配时，除非明确说明，否则我们指的是单独的理性匹配。

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何人来此

2022-4-24 18:35:07

让我来做一组配对。一个匹配的u支配另一个匹配的u′，如果对于任何一个学生∈ S、 uiRiu′i，对于某些学生j，则为ujPju′j。如果没有任何其他匹配项占主导地位，则mat chingu是有效的。我们认为，如果|u|>|u′|，则一个匹配的u尺寸方向主导另一个匹配的u′。如果匹配的u不是按大小控制的，则为最大值。机制ψ是从P | I |到M的函数。如果不存在问题P，那么机制ψ是策略证明，并且具有错误偏好P′的学生I与ψI（P′I，P′）是一致的-i） πψi（P）。如果对于任何问题P，φ（P）不在尺寸上支配ψ（P），而对于某些问题P′，ψ（P′）在尺寸上支配φ（P′）。无机制ψ是最大的，如果它在大小上不受任何其他机制的支配。我们首先观察到，对于我们正在考虑的分配问题，四种常见且被考虑的著名机制——延迟接受（DA）、顶级交易周期（TC）、波士顿（BM）和连续独裁（SD）——中没有一种是最大的。提议1。DA、TC、BM和SD都不是最大值。当然。设I={I，I}和S={a，b}，每个都有单位配额。让Pi:a，b， Pi:a，. 优先级是这样的，代理I是目标a的最高优先级。然后，DA、TC和BMT的结果是相同的。如果我们为他们的结果写u，那么ui=a和ui=. 同样，对于SD，让我们考虑代理ICAMS RST的排序。然后，SD结果与u相同。这表明这些机制中没有哪一个是最大的，因为匹配的u′i=b和u′i=a是单独的，匹配的试剂比u多。鉴于已知机制缺乏极大性，在本文的其余部分，我们介绍了两种极大机制并研究了它们的性质。3.1. 一类有效的最大机制。

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可人4

2022-4-24 18:35:15

给出一个问题P和一个学生s的枚举，在I（I，…in）中，步骤0。设ξ=M。步骤1。子步骤1.1。定义集合ξ ξ如下：注意，我们使用的大小控制和最大化的概念是在一个匹配中涉及的代理（或节点）集合中。在大多数图论文献中，匹配的基数是在作为匹配一部分的图的边集合中度量的。当康塞德环集的边缘有一个最大和最大基数匹配之间的差异，在我们的设置中，这些是等价的：最大匹配总是最大的。关于这些机制的描述，读者可以参考BDulkadiroglu和S¨onmez（2003）。分配最大化4ξ={u ∈ ξ：ui6=} 如果u ∈ ξ，即ui6=ξ一般来说，对于每k≤ n、子步骤1。k、定义集合ξk ξk-1as如下：ξk={u ∈ ξk-1：uik6=} 如果u ∈ ξk-1这类微体6=ξk-1否则，步骤1以选择匹配的选项结束∈ ξn.第2步。一般情况下：子步骤2。k、设|u为在程序的前一步中获得的匹配。如果|u没有引入改进链或循环，则算法以|u的最终结果结束。否则，选择这样一个链或循环，并通过将所选链（循环）中的每个学生分配到链（循环）中他喜欢的学校来获得新的匹配，然后转到下一个子步骤。定理1。每个EAM机制都是最大且有效的。然而，请注意，尽管EAM机制是最大的，但它们并不公平。一类最大且公平的未分配学生机制。如果没有学生-学校对（i，s），且ui=而我sj代表一些j∈ us.如果对于任何问题P，ψ（P）对未分配的学生是公平的，那么机制ψ对未分配的学生是公平的。下面是这个类中每个机制的工作原理的描述。

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能者818

2022-4-24 18:35:21

给出一个问题P，第一步。选择一个n EAM机制ψ，让ψ（P）=u。第二步。一般来说，子步骤2。k、设|u为上一步中获得的匹配。如果对于未分配的学生来说√u是公平的，则算法将以结果√u终止。否则，选择一对学生学校（i，s），使sPi, ui=, 而我sj代表一些j∈ §us.将学生i安排在学校s，让低优先级的学生不被分配，同时保持其他所有学生的分配不变。请注意，在每个子步骤中，分配的学生人数都是保留的，~u是最大的。因此，我们有| |us |=qs。让^u成为获得的匹配，并移动到下一个子步骤。由于在每个子步骤中，优先级别较高的学生被安排在学校，而优先级别较低的学生被安排在学校，而且学生和学校都是有限的，因此算法会在无数轮中终止。上述程序定义了一类机制，每个机制都与第一阶段EAM机制的不同选择以及第2步课程中的学生-学校对相关联。我们称之为“公平分配最大化”（FAM）机制。定理2。每个FAM机制对未分配的学生来说都是公平的，并且是最大的。当然。设ψ为fam机制，u为其第一步的结果。由于u是EAM机制的结果，在ψ的第2步中，没有学生被分配到他不可接受的选择中，ψ是个体理性的。因为u是最大的，并且在第2步中指定的学生人数保持为|u|，所以ψ是最大的。此外，由于ψ在没有学生学校违反未分配学生的公平性之前不会停止，因此ψ对未分配学生也是公平的。4.激励与均衡分析在本节中，我们展示了EAM和F AM类的机制在均衡结果方面具有惊人的调节特性。

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2022-4-24 18:35:27

通过机制席，考虑偏好报告博弈归纳分配最大化问题。在问题P中，偏好提交P′=（P′i）i∈iisa（Nash）平衡ψif对于每个学生i，ψi（P′）Riψi（P′i，P′）-i）对于任何P′i∈ 让我Ohm 是一组在任何问题上都允许平衡的机制∈ P | I |。在本节的其余部分中，我们仅考虑Ohm.提议2。每个EAM和F AM mec hanism都在Ohm. 此外，对于任何问题，EAM机制都有一个唯一的均衡结果，它相当于连续独裁的结果，而学生顺序与EAM机制中使用的相同。因此，命题2表明，EAM的均衡结果不仅是帕累托有效的，而且将与常用的防策略机制一样匹配。我们的下一个问题是，在平衡状态下，机制如何在分配数量方面进行比较。为此，我们定义了均衡中规模主导的概念。定义1。对于给定的市场（I，S，, q）在平衡态下，一个机制ψ的大小决定了另一个机制φ的大小，如果对于任何问题P和每个平衡态P′，P′分别在ψ和φ下|ψ（P′）|≥ |φ（P′）|，存在一个问题P*对于每一个平衡点^P，~Punderψ和φ，分别为|ψ（^P）|>φ（~P）|。定理3。在任何市场（I，S，, q）然而，没有哪种EAM机制是由一种均衡的个体理性机制主导的。虽然我们没有与上述F AM机制类似的结果，但我们能够比较F AM均衡和DA弱优势策略均衡下分配的学生数量，这是讲真话的。定理4。

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能者818

2022-4-24 18:35:33

关于F AM mechan i sms：（i）对于任何问题P和任何稳定匹配Pu*, 对于a F AMmechan i smψ的每个平衡点P′，|ψ（P′）|≥ |u*|.（ii）复存在一个F AM机制ψ，问题P，以及ψ在P上的平衡曲线P′，例如|ψ（P′）|>u**|, 在哪里**是P的任何稳定匹配。有人可能会将本节中的结果解释为，使用EAM和FAM等最大化机制并没有多少好处，因为当代理人对其激励做出反应时，结果与其他非最大化机制产生的结果相似。然而，下面我们展示的是，只要部分学生是真诚的，匹配的基数就会有所改善。提议3。对于任何最大的机制ψ，问题P，以及具有错误偏好的学生，P′都是ψi（P′i，P-i） πψi（P），我们有|ψ（P）|≥ |ψ（P′i，P-i） |。此外，还存在一个问题，即带有错误偏好的学生i和ψi（`Pi，`P-i） ~Piψi（~P）和|ψ（~P）|>ψ（\'Pi，~Pi）|。在一个由最大机制诱导的偏好报告ga me中，唯一活跃的玩家是策略性学生，在这个意义上，其他人总是真诚的，命题3导致以下推论。推论1。在任何一种最大机制下，随着学生数量的增加，在任何问题中，均衡匹配的学生数量要么保持不变，要么增加。作业最大化6参考Abdulkadiroglu、Atila和Tayfun S–onmez，“学校选择：一种机制设计方法”，《美国经济评论》，2003年，93（3），729–747。3法坎，M.O，Z.H。

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能者818

2022-4-24 18:35:39

Aliogullari和Mehmet Barlo，“学校选择中的粘性匹配”，经济理论，2017年，64509–538。Afacan、Mustafa O和Umut M Dur，“经战略验证的规模改进：可能吗？”mimeo，2018年。Andersson、Tommy和J¨orgen Kratz，“血型屏障上的成对肾脏交换”，mimeo，2018年。拉尔斯·埃勒斯，“将难民分配给瑞典的安德洛兹：高效稳定的最大匹配”，即将出版，斯堪的纳维亚经济杂志，2018年。Ashlagi、Itai、Amin Saberi和Ali Shameli，“分配约束下的分配机制”，运营研究，2020年3月，6 8（2），46 7–479。克劳德·伯格，“图论中的两个定理”，《美国国家科学院院刊》，1957年，43（9），842-844。Bogomolnaia，Anna和Herv\'e Moulin，“随机分配问题的新解决方案”，经济理论杂志，2001年，100（2），2 95–328。和Herve Moulin，“二分偏好下的随机匹配”，Economo e trica，2004，72（1），257–279。以及《分配问题中的规模与公平》，《游戏与经济》cBehavior，2015年，90119-127页。Chun，Youngsub，Eun Jeong Heo和Sunghoon Hong，“免疫抑制剂的肾脏交换”，mimeo，2018年。Dur，Umut和Onur Kesten，“顺序与同时分配系统和两种应用”，经济理论，2019年，68（2），251–283。，Arda Gitmez和¨Ozgur Yilmaz，“部分公平的学校选择”，Forthcoming，《理论经济学》，2018年。Ergin、Haluk I、Tayfun Sonmez和M Utku–Unver，“双供体器官交换”，计量经济学，2017年，851645–1671年。，以及“高效且激励相容的肝脏交换”，m imeo，2018年。Gale，David and Lloyd S Shapley，“大学入学和婚姻的稳定性”，美国数学月刊，1962年，69（1），9-15.1，2里文，罗伯特·W.和大卫·F·曼洛夫，“寻找大型稳定匹配”，ACM J。

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2022-4-24 18:35:46

实验算法，2010年1月14日。Korte，Bernhard和Jens Vygen，算法与组合学2011。2Krysta，Piotr，David Manlove，Baharak Rastegari和Jinshan Zhang，“房屋分配问题中的规模与真实性”，第五届ACM经济与计算会议论文集——EC\'14，2014年。哈罗德·W·库恩，“分配问题的匈牙利方法”，《海军研究后勤季刊》，1955年，第2期（1-2），第83-97页。Morrill，Thayer和Lars Ehlers，“（Il）学校选择中的法律作业”，mi meo，2018年。2Nicol\'o，A ntonio和Carmelo Rodriguez Alvarez，“配对肾脏交换中基于年龄的参考”，游戏与经济行为，2017102508–524。野田俊彦，“供应灵活的大型市场中的大型匹配”，mimeo，2018年。阿尔文·E·罗思，“医学实习生和住院医师劳动力市场的演变：博弈论中的案例研究”，《政治经济学杂志》，1984年，92（6），991-1016。Roth、Alvin E、Tayfun S¨onmez和M Utku¨Unver，“肾脏交换”，经济学季刊，20041119105-129。2分配最大化7和《成对肾脏交换》，经济理论杂志，2005125（2），151–188。S¨onmez，Tayfun，M Utku¨Unver和¨Ozgur Yilmaz，“如何（不）将血液亚型技术整合到肾脏交换中，”经济理论杂志，2018年，176193–231。Troyan、Peter、David Delacr’etaz和Andrew Kloosterman，《基本稳定的配对》，mimeo，2018年。分配最大化8附录证明。定理1。我们将使用以下引理：引理。最大匹配u是有效的，当且仅当它不允许改进链或循环。当然。“只要”部分。设u为有效匹配。如果它允许一个改进链{i，..in，c，..cn+1}，那么我们可以通过将每个代理分配给ck+1，同时保持其他代理的分配不变，来定义一个新的匹配。

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能者818

2022-4-24 18:35:53

通过改进链定义，新匹配主导着u，这与我们最初认为u有效的假设相矛盾。同样的论点也适用于改进周期的情况。“如果”部分。设u为不允许改进链或循环的最大匹配。假设存在一个矛盾，即存在一个支配u的匹配u′。设W={i∈ I:u′iPiuI}。根据假设，w6=. 请注意，对于任何具有ui6的学生i=,我们有u′i6=. 这以及u的最大值意味着|u′|=|u|。因此，对于任何具有ui=, u′i=.用W={i，…，in}列举学生，并为任何k=1，…，写出u′ik=ck。。，n、如果|uck |<qckforsome k，那么对{ik，ck}构成一个改进链，一个矛盾。假设|uck |=qckf对于任何k=1。。，由于CID没有在Ca和S\' i= C上有多余的CAPA城市，所以我们有另一个学生在W，比如I，C，然后考虑学生I，并且因为没有超额容量，在I和C＝C，我们有另一个学生在W，我说，所以I = C。如果我们继续与我们的W W的其他学生相同的参数，我们将得到一个改进的循环，矛盾。现在让ψ成为EAM机制，u和u′分别是其第一阶段和最终结果。由于在ψ的第1步中，学生没有被分配到他们不可接受的学校，u是个人的。假设u不是最大值，并且存在u′\'6=u，使得|u′\'|>u|。设{i，…，in}为ψ下使用的代理枚举。作为|u′′|>u|，存在一些代理ik∈ I使得u′ik6= 和uik=. 根据上述列举，将ik′作为起始点，使得u′ik′6= 和uik′=. 这意味着对于eachk<k′，μik6= 或μik= 和u′ik=. 设B（u，k′）=i∈ N：uik6= 对于任何k<k′}。

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可人4

2022-4-24 18:35:59

也就是说，这是一组在上述枚举中位于代理ik′之前的代理，它们被分配到匹配不足的u。现在考虑代理IK’。通过定义ψ，uik′= 因为在将B（u，k′）中的所有代理分配给其中一个可接受对象的同时，不可能将agentik′与他的一些可接受对象匹配。这意味着，为了让代理ik′接收其可接受的对象之一，必须取消从B（u，k′）分配的u下的一个代理的分配。这一论点适用于根据u′’分配但不根据u分配的每个其他代理。这意味着u是最大的。在ψ的第2步中，通过实施改进链和循环（如果有）来获得新的匹配。根据他们的定义，没有哪个学生的学校比他的作业更差。这一点，加上u的个体合理性，意味着tu′是最大的。u′的效率直接来自上述困境。命题2。设ψb为EAM机制。EAM第0步中的第一个学生通过将其报告为唯一可接受的选择，获得了自己的首选。根据同样的理由，第二名学生可以在考虑学生的作业后，在剩余的有座位的学校中，通过报告该学校是他唯一可接受的选择，获得他的首选。一旦我们对其他学生重复相同的论点，我们不仅找到ψ的n平衡，而且还得出结论，分配最大化9这是唯一的平衡结果，它与连续独裁的结果一致，顺序与ψ的步骤0相同。设φ为fam机制。设u为P处的稳定匹配。考虑偏好SubasePoP，对于任何学生I，唯一可接受的学校是：I。任何未分配的学生在P’s报告没有学校可接受。很容易验证φ（P′）=u。其次，我们认为P′是φ下的平衡提交。

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mingdashike22

2022-4-24 18:36:05

假设一个矛盾存在一个学生i和P′i，φi（P′i，P′）-i） Piφi（P′）。为了便于编写，设φi（P′i，P′）-i） =砂φi（P′）=s′。由于u是稳定的，|us |=qs。这与P′和φi（P′i，P′）的定义有关-i） =s，意味着存在一个学生j6=i，使得uj=s和φj（P′i，P′）-i） =. 此外，从μ的稳定性来看，我们还有j硅。这些结果与未分配φ的学生的公平性相矛盾，表明P′是φ的平衡。理论3。我们将使用以下方法。引理。设ψ为EAM，φ为个体理性机制。在任何市场（I，S，, q）问题P，如果|ψ（P′）|<|φ（P′）|其中P′和P′分别是ψ和φ下的平衡，那么存在一个学生i，使得ψi（P′）Piφi（P′）Pi.当然。在一个市场（I，S，, q）问题P，设|ψ（P′）|<|φ（P′）|其中P′和P′分别在ψ和φ下平衡。这意味着，对于某些学派而言，|ψs（P′）|<|φs（P′）|≤ qs。因此，让我∈ φs（P′）\\ψs（P′）。通过φ和P′在φ下平衡的个体合理性，我们得到了sPi, 式中φi（P′）=s。由于ψ的唯一平衡结果与SD机制（命题5）的（真相）结果一致，我们得到了ψ（P′）=SD（P）。因此，在SD（P）下，学校有n过剩容量。此外，从上面看，ψi（P′）=SDi（P）6=s。因此，由于SD的非浪费性，我必须与严格优于s的school匹配，因此ψi（P′）=SDi（P）Piφi（P′）Pi, 这就完成了证据。现在让我们（我，S，, q）做一个市场，ψ做一个团队机制。假设存在一个矛盾，即在平衡状态下，一个单独合理的机制φ尺寸方面主导着ψ。这特别说明，对于某些问题P，|ψ（P′）|<|φ（P′）|对于ψ和φ下的每个平衡点P′和P′。在下面的内容中，我们将固定一对这样的P′，P′。

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何人来此

2022-4-24 18:36:13

我们分两步来证明这个结果。第一步。通过上面的引理，存在一个学生i，使得ψi（P′）Piφi（P′）Pi. 让“Pibeth偏好关系”保持学校的相对优势与Pi下相同，同时将任何比ψi（P′）更差的学校报告为不可接受。换句话说，“Pitruncates”在ψi（P′）以下。让我们写下\'P=（\'Pi，P-i）。回想一下，ψ的唯一平衡结果总是与SD机制的真实结果一致（命题5）。更重要的是，通过'P的构造，SD（P）=SD（'P）。这又意味着ψ（P′）=ψ“P”对于ψ在问题P下的每个平衡点P。接下来我们考虑问题P。如果不存在学生j，则ψj“P”\'-Pjφj“P”“-Pj 对于ψ和φ下的一些平衡‘P’和‘P’，我们进入第2步。否则，我们选择这样的学生j。注意，由于“Pistates”的定义，任何低于ψi的结果“P”是不可接受的，因为i和φ分别是有理的，ψj“P”\'-Pjφj“P”“-Pj 不能为j=i保留，因此j 6=i。那么，如上所述，让¨Pjbe表示截断pjblowψj的首选项列表“P”. 让我们写下P=（\'Pi，\'Pj，P-{i，j}）。根据上述相同原因，ψ（P′）=ψ~P′对于问题P中ψ下的任意平衡点P′。接下来我们考虑问题P。如果不存在学生k，则ψk~P′~Pkφk~P′\'~Pk 对于ψ和φ下的一些平衡点P′和P′，我们进入第2步。否则，我们选择这样一个学生k。基于上述相同的原因，学生k与i和j都不同。然后，我们遵循上述相同的论点，获得一个新的偏好公式。在每次迭代中，我们必须考虑不同的学生。但是，由于学生人数众多，这种情况不可能永远持续下去。

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何人来此

2022-4-24 18:36:19

因此，我们最终得到了一个问题，比如^P，其中不存在学生h，使得作业最大化10ψh（^P′）^Phφh^P′\'^Ph f分别为ψ和φ下的一些平衡态^P′和^P′，并移动到步骤2。我们也有ψ（P′）=ψ（P′）f或问题^P中ψ下的任何平衡点^P′。第二步。根据上面的引理，在问题^P中，我们有ψ^P′≥φ^P′\'对于ψ和φ下的任意平衡态^P′和^P′。如果它严格适用于某些平衡，那么我们就达成了一个矛盾。认为ψ（^P′）=φ^P′\'对于任何平衡态^P′和^P′。我们现在宣称，P′是问题P中φ下的平衡。假设不是，让学生k与^P′k有一个可证明的偏差，比如¨Pk。这意味着φk¨Pk，^P′\'-KPkφk^P′\'.但是，通过上面的构造，^Pk保留了Pk下的相对排名。这意味着φk¨Pk，^P′\'-K^Pkφk^P′\', 与^P′问题中φ下的平衡点相矛盾。回想一下ψ（P′）=ψ（^P′）。因此，这个ψ（^P′）=φ^P′\'我们的上述发现意味着在问题P中，|ψ（P′）|=φ^P′\'其中P′和^P′分别是ψ和φ下的平衡。因此，我们为问题P构造了一个平衡对，其中ψ与φ匹配，与我们的假设相矛盾，即这在问题P中不成立。理论4。（i）。首先，根据乡村医院定理（Roth，1984），任何稳定匹配中的赋值数与DA中的赋值数相同。设ψ为fam机制。假设在ψ下存在一个问题P和一个平衡函数P′，使得|ψ（P′）|<|DA（P）|。为了便于编写，设DA（P）=ua和ψ（P′）=u′。我们现在宣称，对于某些学生i，对于某些学校s，ui=s，而u′i= 而且，更重要的是，|u′s |<qs。为了证明这一说法，让我们定义W={i∈ I:uI=s和u′I=}. 通过我们的假设| DA（P）|>ψ（P′）|，我们有w6=.

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nandehutu2022

2022-4-24 18:36:25

假设每个∈ W，其中ui=s，|u′s |=qs。但这意味着|u′|≥ |u|，与我们最初的假设相矛盾，我们最初的假设最终证明了这一论点。让我∈ I使得μI=s，μ′I=, 和|u′s |<qs。现在，考虑下列偏好p’：p’k＝P′kIf k 6=is，如果k=i首先，观察在P′处存在一个（单独的有理）匹配，分配|u′|+1个学生s（要看到这一点，除了学生i，其他所有人的分配与学生i在u′处的分配相同，学生i在学校s处的分配相同）。因此，由于ψ的极大值，我们有|ψ（P′）|≥ |u′| + 1. 如果学生被分配到位于ψ（P′）t的学校，那么这与P′在ψ下的平衡相矛盾。因此，ψi（P′）=. 但是，根据P′的定义，ψ（P′）在P′处是单独有理的。这与ψ的最大值一起意味着|ψ（P′）|≥ |ψ（P′）|，与我们之前的结论相矛盾，即|ψ（P′）|≥ |ψ（P′）|+1，完成了第一部分的证明。（二）。让我们考虑i＝{i，j，k，h }和s＝{a，b，c}，每个都具有单位容量。优先权和优先权如下所示。Pi:a，b，; Pj:c，a，; Pk:c，a，; 博士：c，.a:k，i，j，h；b:k，h，j，i；c:k，h，i，j。设ψ是一个fam机制，学生顺序为k，j，i，h。机制ψ是这样的，它在P处产生匹配的u，其中ui=b，uj=a，uk=c，uh=. 任何P\'i∈ P与bP′i,设ψ（P′i，P-i） =u′，其中u′i=b，u′j=, u′k=a和u′h=c。此外，对于任何P′i∈ P与P′ib，ψ（P′i，P-i） =u′，其中u′i=, u′j=, u′k=a，a和u′h=c，对于任何P′h∈ P、设ψ（P）-h、 P′h）=u。请注意，学生j永远不能通过误报而获得ψ下的学校c，因为否则学生H将被取消分配，并且他在学校c有更高的优先级。可以立即看到，在F AM的过程中，通过特定选择可以获得上述匹配。

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能者818

2022-4-24 18:36:31

所有这些都表明，在ψ下，讲真话是P处的平衡，|ψ（P）|=3。另一方面，DAi（P）表示DAi（P）=a，DAk（P）=c，DAh（P）=DAj（P）=. 因此，|ψ（P）|>|DA（P）|，完成了第二部分的证明。命题3。设P′=（P′i，P-i），ψ（P）=u，和ψ（P′i，P-i） =u′。假设|u′|>u|。根据我们的假设，u′iPiui。这与Pj=P′jj对于每个j6=i，u′是单独的理性问题P的事实一起。但是，|u′|>|u|与问题P中u最大的事实相矛盾。考虑{i，j}中的一个问题 N、 {a，b} S、每个都有单位容量。让Pi:a，, Pj:a，,而其他学生（如果是纽约人）发现每所学校都不可接受。在不丧失普遍性的情况下，该问题中ψ的结果，例如u，是这样的，即ui=a，并且每个学生都是未分配的。考虑一个问题，其中p’i：a，b，, 而每个学生的偏好都是一样的。在真实偏好下，ψ产生u′，其中u′i=b，u′j=a，并且每个学生都是未分配的。然而，学生i可以通过提交Piabove来歪曲他的偏好，因为在这个错误的文件下，ψ产生了上面匹配的u。最后，请注意，|u′|>|u|，完成证明。

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